向心加速度又名法向加速度 a_n 。

假设在一个很小的时间 \Delta t 内；圆周上的 A 点时，有线速度 v_A ；运动到圆周上的 B 点，有线速度 v_B 。

由于\color{red}{匀速} 圆周运动： v_A= v_B=v ；设在时间 \Delta t 内，线速度的改变量为 \Delta v .

线速度 v ：弧长 S 对时间 t 的一阶导数。可表示为 \color{blue}{v=\frac{dS}{dt}} 。

根据以上分析作图如下：

当 Δt→0 时，“以直代曲”简化有：

Δt 时间内速度改变量：\Delta v = v\theta ……①； Δt 时间内的路程（弧长）： \Delta S=\theta R ……②；

① / ② 式有： \dfrac{\Delta v}{\Delta S}=\dfrac{v_{A}}{R} ……③；

③式两边同除以 Δt 再恒等变形有： \dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{v_{A}}{R}\cdot \dfrac{\Delta S}{\Delta t} ……④

④式两边取极限 Δt→0，有 \Delta 变“符号” d ,

a_{n}=\dfrac{d v}{d t}=\dfrac{v}{R}\times \dfrac{d S}{d t}=\dfrac{v^{2}}{R} ……⑤（注： \color{blue}{v=\frac{dS}{dt}} ）

故圆周运动向心加速度（法向加速度） \color{blue}{a_{n}=\dfrac{v^{2}}{R}} ……⑥

字母的各种物理意义：

\varphi ：转角，单位弧度 （rad ） ; t ：时间，单位 （ s ）; \omega ：角速度，单位 (rad/s) ;

转角 \varphi 随时间 t 变化的函数： \varphi=f(t) ……⑦

故角速度 \color{blue}{\omega =\dfrac{d\varphi }{dt} }

\color{red}{角加速度} 为角速度对时间的一阶导数： \color{blue}{\alpha =\dfrac{d\omega }{dt} }

step1: 向量坐标分解：

单位法向量 \overrightarrow{n} 与单位切向量 \overrightarrow{\tau} 向直角坐标系 x,y 两个方向分解， x 方向的单位向量用 i 表示，y 方向的单位向量用 j 表示。

\overrightarrow{n}=-i\cos \varphi -j\sin \varphi ；

\overrightarrow{\tau}=i\cos \left( \varphi +\dfrac{\pi }{2}\right) +j\sin \left( \varphi +\dfrac{\pi }{2}\right) =-i\sin \varphi +j\cos \varphi 。

注：转角 \varphi 是时间 t 的函数： \varphi=f(t) ……⑦

step2: 加速度的原始定义：

加速度的定义： \begin{cases}1.物理定义：描述速度变化快慢的物理量。\\ \\ 2.数学-物理定义：速度对时间的一阶导数,即\color{blue}{a=\dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}}。\end{cases}

step3: 利用加速度的原始定义进行推导。

由加速度的定义可知： \color{blue}{a=\dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}} ……⑧； \color{red}{\overrightarrow{v}=v\cdot \overrightarrow{\tau}} ……⑨

⑨式说明： \begin{cases}1.圆周运动的速度方向总是与其切线方向相同.\\ \\ 2. 速度\overrightarrow{v}=速率v \cdot 切向单位向量\overrightarrow{\tau} .\end{cases}

⑨式代入⑧式有：

\begin{aligned}a&=\dfrac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\dfrac{d\left( v\cdot \overrightarrow{\tau }\right) }{dt}=\dfrac{dv\cdot \overrightarrow{\tau }+v\cdot d\overrightarrow{\tau }}{dt}=\dfrac{dv}{dt}\overrightarrow{\tau }+v\cdot \dfrac{d\overrightarrow{\tau }}{dt}\\ &=\dfrac{d\left( rw\right) }{dt}\overrightarrow{\tau }+v\cdot \dfrac{d\left( -i\sin \varphi +j\cos \varphi \right) }{dt}\\ &=r\cdot \dfrac{d\omega }{dt}\overrightarrow{\tau }+v\cdot \dfrac{-i\cos \varphi d\varphi -j\sin \varphi d\varphi }{dt}\\ &=r\cdot \alpha \cdot \overrightarrow{\tau }+v\cdot \dfrac{d\varphi }{dt}\cdot \left( -i\cos \varphi -j\sin \varphi \right) \\ &=\color{blue}{r\cdot \alpha \cdot \overrightarrow{\tau }}+\color{red}{v\cdot \omega \cdot \overrightarrow{n}}\end{aligned}

从上式可以得出：切向加速度 \color{blue}{a_\tau=r\alpha} ；法向加速度 \color{blue}{a_n=v\omega=\frac{v^2}{r}=r\omega^2} .

总加速度 a 的大小： a=\sqrt{a_\tau^2+a_n^2}=r\sqrt{\alpha^2+\omega^4}

注：（ \color{blue}{\alpha =\dfrac{d\omega }{dt} } 表示角加速度； v 表示速率； \overrightarrow{v} 表示速度；切向单位向量 \overrightarrow{\tau} 与速率 v 均是时间的函数：故 d\left( v\cdot \overrightarrow{\tau }\right)=dv\cdot \overrightarrow{\tau }+v\cdot d\overrightarrow{\tau } ）