摘  要

        随着网络游戏的快速发展，与之相关的各种产业也在不断成长。而抽卡游戏作为当下最为火热的游戏类型，吸引了大量的流量和造就巨额的流水，其背后的数学原理更值得我们分析。本文从简单的条件分布开始分析，接着引入了马尔科夫链对这类的概率模型加以分析，得到了相同的结果。同时对得到的结果进行反思，提出可以进一步分析的方向。

关键词：网络游戏；抽卡；条件概率；几何分布；马尔可夫链

一、   研究背景以及研究意义

        最近几年，互联网技术的快速发展，与之相关的各种产业也在不断成长。在这当中，电子游戏的发展尤为突出。归功于游戏产业，现代个人电脑的许多进步和创新如声卡、显示卡和图形处理器，CD-ROM和DVD-ROM驱动器等设备的性能都有了巨大的提升。同时，电子游戏还促进了宽带，音乐娱乐，移动设备等行业的发展。[1]由此可见电子游戏作为一个新兴产业的重要积极带动作用。而每当提到游戏产业，首先会想到如今最具有影响力的几款游戏，如《原神》，《明日方舟》，《王者荣耀》等。在这些游戏当中，或多或少都涉及到了一个相同的概念—— “抽卡”。很难想象，这样一些知名游戏的巨大流水背后，其实是“抽卡”这样一个简单的概率统计相关行为起到了关键作用。玩家在游戏里通过抽卡可以获得强大的角色或者是喜欢的角色，而“1.6%”、“2%”这类的抽卡概率又给予了玩家“一发入魂”的念想。从心理学或的角度上看，人们在预期收益的时候，总是希望得到好的结果，而这类的游戏通过各种宣传或者是其他人好的结果影响，将这种好的结果的反馈提前了，于是就有了众多沉迷于抽卡的群体。

        抽卡系统已经成为众多手游的重要组成部分，同时也是其盈利的重要来源之一。对于抽卡这类问题的研究，一方面，有利于分析这类抽卡游戏成功的原因，从而学习经验，为将来的游戏产业的发展寻找方向。另一方面，有利于让玩家看清抽卡行为背后的本质，避免盲目的抽卡行为和不必要的金钱损失，更加合理地运用手上的资源，规划自己的养成路线。

二、   问题分析

2.1 对象选取

        基于市面上众多的抽卡游戏，综合考虑下，我们选取《明日方舟(Arknights)》和《原神(Genshin)》作为代表进行分析。

2.2 《明日方舟》抽卡机制

        抽卡概率：一般情况下获得六星的概率为2%。

        保底机制：在所有【标准寻访】中，如果连续50次没有获得6星干员，则下一次获得6星干员的概率将从原本的2%提升至4%。如果该次还没有寻访到6星干员，则下一次寻访获得6星的概率由4%提升到6%。依此类推，每次提高2%获得6星干员的概率,直至达到100%时必定获得6星干员。

2.3 《原神》抽卡机制

        抽卡概率：一般情况下获得五星的概率为0.6%。

        保底机制：在本期活动祈愿中，5星角色祈愿的基础概率为0.600%,综合概率(含保底)为1.600%,最多90次祈愿必定能通过保底获取5星角色。

三、   模型建立与分析

3.1 基于条件概率的简单抽卡模型

3.1.1 《明日方舟》抽卡模型

        从上述《明日方舟》抽卡机制中，我们可以得到抽出一个六星的离散型概率分布：

        此时，我们注意到上述的概率都是基于上一次抽卡没有抽到的条件概率分布，即条件概率，可以表示为如下形式：

        而真实的抽卡概率应为：

        此时，如果我们假设每次的抽卡事件都是相互独立的，即前一次的抽卡对后一次的抽卡结果没有影响，那么我们可以得到：

        综合上述分析，我们可以得到抽卡的实际概率分布为：

        从上述概率分布中我们可以发现，当抽卡次数少于51次时该概率分布满足几何分布。在该算法下，我们可以得到条件概率和真实概率的分布如图所示： 

        同时，由计算可得在该概率分布下的数学期望EX= 34.59455493520977，在抽第55发时真实概率最大，且为0.03352308018618802。

        参考计算代码如下：

3.1.2 《原神》抽卡模型

        事实上，我们未能够了解到官方的具体保底机制，所以我们假设《原神》游戏里具有和《明日方舟》类似的抽卡保底机制，基于相同的简单条件概率模型并参考一颗平衡树的概率模型[2]，我们可以得到《原神》抽出一个五星的离散型概率模型：

条件概率模型：

真实概率模型：

        同样的，在抽数小于74发时，模型满足几何分布。在该算法下，我们可以得到条件概率和真实概率的分布如图所示：

        同时，由计算可得在该概率分布下的数学期望EX= 62.964454998744，在抽第77发时真实概率最大，且为0.10321431719795217。 

        参考计算代码如下：

3.2 基于马尔可夫链的抽卡模型

3.2.1 马尔可夫链

        1906年，马尔可夫在论文《大数定律关于相依变量的扩展》中第一次提到这种如同锁链般环环相扣的随机变量序列，其特点是：当一些随机变量依次被观测时，随机变量的分布仅仅依赖于前一个被观测的随机变量，而不依赖于更前面的随机变量，这就是被后人称作马尔可夫链的著名概率模型。[3-4]

        马尔可夫链是一组具有马尔可夫性质的离散随机变量的集合。具体地，对概率空间内以一维可数集为指数集的随机变量集合，若随机变量的取值都在可数集内,且随机变量的条件概率满足如下关系[5]：

        则被称为马尔可夫链，可数集被称为状态空间(state space)，马尔可夫链在状态空间内的取值称为状态[5]。这里定义的马尔可夫链是离散时间马尔可夫链(Discrete-Time MC,DTMC）。

        n-阶马尔可夫链拥有n阶的记忆性，可视为马尔可夫链的推广。类比马尔可夫链的定义，n-阶马尔可夫链满足如下条件：

        马尔可夫链中随机变量间的条件概率可定义为如下形式的（单步）转移概率和n-步转移概率[5]：

        若一个马尔可夫链的状态空间是有限的，则可在单步演变中将所有状态的转移概率按矩阵排列，得到转移矩阵[5]：

        其中，该转移矩阵满足一定的性质：

3.2.2 《明日方舟》马尔可夫链抽卡模型

        同样，从上述《明日方舟》抽卡机制中，我们可以得到抽出一个六星的离散型概率分布：

        此时假设s=k表示在抽了次卡还没有抽出六星的状态。初始状态是s=0，表示抽卡行为开始前的状态（一发没抽）,令。当s=1时表示抽卡行为的开始，此时。将问题抽象出其马尔科夫链(转移图)如下：

        由此得到的转移矩阵：

        即：

        由此方法我们可以算出抽卡出金（六星）的数学期望为34.59455493520979。

        参考计算代码如下： 

3.2.3 《原神》马尔可夫链抽卡模型

        类比《明日方舟》马尔可夫链抽卡模型，我们可以得到的转移矩阵：

        即：

        由此方法我们可以算出抽卡出金（五星）的数学期望为64.11756466250239。

四、   结果分析与总结

        （1）通过对上述模型的分析，我们可以对这类抽卡问题有更加清晰的认识，在没有保底机制的影响下，这类概率模型近似可以看成几何分布的概率模型。

        （2）而在抽卡的保底机制作用下，真实概率会先迅速提升，然后再缓慢下降，此时，玩家抽到角色的概率会迅速提升。

        （3）基于上述模型的讨论都是基于理想条件下，即玩家拥有足够多的钱或是足够丰富的资源，可以一直抽卡。而实际上的玩家手上的资源是有限的，这时候运气占了极大的成分，想要真正模拟某一个玩家在抽卡时的状态是困难的。

        （4）对上述的模型可讨论的还有很多方面。比如，《原神》的祈愿定轨（出两个不同的就保底一个指定的），抽卡时“歪卡”问题（抽出与指定不同的角色）。还有对于《原神》具体的保底机制还可以有多种不同的假设。本问题还有许多方面的研究价值。

        （5）对于概率模型来说期望是恒定的，但是对于不同的玩家来说，每个人的抽卡期望是不同的，可能会出现“十连五金”或者“90抽保底”之类的极端情况，还希望玩家能够理性看待可能会出现的极端事件。

参考文献

[1]  付雪. 浅议网络游戏产业发展和规划[J]. 商场现代化,2005(35):208-209. DOI:10.3969/j.issn.1006-3102.2005.35.141.

[2]  一颗平衡树. 原神抽卡机制研究（一）——五星的保底机制 - 哔哩哔哩 (bilibili.com). 2020-12-11.

[3]  李自玲. 基于马尔可夫链的历史和现状的研究[J].  2021(2017-3):132-133.

[4]  Brémaud, P.．Markov chains: Gibbs fields, Monte Carlo simulation, and queues (Vol. 31) ：Springer Science & Business Media，1999：Chapter 2-4, pp.53-156

[5]  Serfozo, R.．Basics of applied stochastic processes. ：Springer Science & Business Media.，2009：pp.1-99, 241-242