抛物线的基本知识点(定义+方程+易错点+公式+例题)归纳总结 |
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抛物线是数学中一种重要的曲线形式,具有广泛的应用和理论意义。掌握抛物线的基本知识点不仅可以帮助我们解决实际问题,还有助于拓展我们的数学思维和推理能力。下面是小编整理的抛物线的基本知识点总结,拉至文末查看完整的领取方式可下载打印! 资源内容展示如下文章目录抛物线的定义与性质 抛物线的方程与解析式 抛物线易错知识点汇总 数学抛物线的公式及复习技巧 抛物线习题与例题解析 抛物线的定义与性质抛物线及其性质 1.抛物线定义:平面内到一定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线. 2.抛物线四种标准方程的几何性质: 图形 参数p几何意义参数p表示焦点到准线的距离,p越大,开口越阔.开口方向右左上下标 准方 程 焦 点位 置X正X负Y正Y负焦 点坐 标 准 线方 程 范 围 对 称轴X轴X轴Y轴Y轴顶 点坐 标(0,0)离心率 通 径2p焦半径 焦点弦长 焦点弦长的补充 以为直径的圆必与准线相切若的倾斜角为,若的倾斜角为,则3.抛物线的几何性质: (1)范围:因为p>0,由方程可知x≥0,所以抛物线在轴的右侧, 当的值增大时,||也增大,说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. (2)对称性:对称轴要看一次项,符号决定开口方向. (3)顶点(0,0),离心率:,焦点,准线,焦准距p. (4) 焦点弦:抛物线的焦点弦,, ,则. 弦长|AB|=x1+x2+p,当x1=x2时,通径最短为2p。 4.焦点弦的相关性质:焦点弦,,,焦点 (1) 若AB是抛物线的焦点弦(过焦点的弦),且,,则:,。 (2) 若AB是抛物线的焦点弦,且直线AB的倾斜角为α,则(α≠0)。 (3) 已知直线AB是过抛物线焦点F , (4) 焦点弦中通径最短长为2p。通径:过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径. (5) 两个相切:以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切.过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线,以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。 5.弦长公式:,是抛物线上两点,则 6.直线与抛物线的位置关系 直线,抛物线, ,消y得:(1)当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行,有一个交点; (2)当k≠0时, Δ>0,直线与抛物线相交,两个不同交点; Δ=0, 直线与抛物线相切,一个切点; Δ<0,直线与抛物线相离,无公共点。 (3)若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?(不一定) 7.关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线: 抛物线, 1 联立方程法: 设交点坐标为,,则有,以及,还可进一步求出, 在涉及弦长,中点,对称,面积等问题时,常用此法,比如 a. 相交弦AB的弦长 或 b. 中点,, 2 点差法: 设交点坐标为,,代入抛物线方程,得 将两式相减,可得 a. 在涉及斜率问题时, b. 在涉及中点轨迹问题时,设线段的中点为,, 即, 同理,对于抛物线,若直线与抛物线相交于两点,点是弦的中点,则有 (注意能用这个公式的条件:1)直线与抛物线有两个不同的交点,2)直线的斜率存在,且不等于零) 【经典例题】 (1)抛物线——二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法,可抛物线只有一种:到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1,这使它既与椭圆、双曲线相依相伴,又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1,既使它享尽和谐之美,又生出多少华丽的篇章. 【例1】P为抛物线上任一点,F为焦点,则以PF为直径的圆与y轴( ) 相交 相切 相离 位置由P确定 【解析】如图,抛物线的焦点为,准线是 .作PH⊥于H,交y轴于Q,那么, 且.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的 中位线,.故以 PF为直径的圆与y轴相切,选B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说,其结论则 分别是相离或相交的. (2)焦点弦——常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题,许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质,对破解这些试题是大有帮助的. 【例2】 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点,求证: (1) (2) 【证明】(1)如图设抛物线的准线为,作 , .两式相加即得: (2)当AB⊥x轴时,有 成立; 当AB与x轴不垂直时,设焦点弦AB的方程为:.代入抛物线方程: .化简得: ∵方程(1)之二根为x1,x2,∴. . 故不论弦AB与x轴是否垂直,恒有成立. (3)切线——抛物线与函数有缘 有关抛物线的许多试题,又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程,是解题者不可或缺的基本功. 【例3】证明:过抛物线上一点M(x0,y0)的切线方程是:y0y=p(x+x0) 【证明】对方程两边取导数: .由点斜式方程: y0y=p(x+x0) (4)定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现,却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们,在解题中常会有意想不到的收获. 例如:1.一动圆的圆心在抛物线上,且动圆恒与直线相切,则此动圆必过定点 ( ) 显然.本题是例1的翻版,该圆必过抛物线的焦点,选B. 2.抛物线的通径长为2p; 3.设抛物线过焦点的弦两端分别为,那么: 以下再举一例 【例4】设抛物线的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1,证明:以A1B1为直径的圆必过一定点 【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径,那么A1B1=AB=2p,而A1B1与AB的距离为p,可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想:一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明. 【证明】如图设焦点两端分别为, 那么: 设抛物线的准线交x轴于C,那么 . 这就说明:以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点. ● 通法 特法 妙法 (1)解析法——为对称问题解困排难 解析几何是用代数的方法去研究几何,所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题(如对称问题等). 【例5】(10.四川文科卷.10题)已知抛物线 y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点 A、B,则|AB|等于( ) A.3 B.4 C.3 D.4 【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直,且线段 AB的中点必在直线x+y=0上,因得解法如下. 【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称,∴设直线AB的方程为:. 由 设方程(1)之两根为x1,x2,则. 设AB的中点为M(x0,y0),则.代入x+y=0:y0=.故有. 从而.直线AB的方程为:.方程(1)成为:.解得: ,从而,故得:A(-2,-1),B(1,2).,选C. (2)几何法——为解析法添彩扬威 虽然解析法使几何学得到长足的发展,但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算,这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状,人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法,其中最有成效的就是几何法. 【例6】(11.全国1卷.11题)抛物线的焦点为,准线为,经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点,,垂足为,则的面积( ) A. B. C. D. 【解析】如图直线AF的斜率为时∠AFX=60°. △AFK为正三角形.设准线交x轴于M,则 且∠KFM=60°,∴.选C. 【评注】(1)平面几何知识:边长为a的正三角形的 面积用公式计算. (2)本题如果用解析法,需先列方程组求点A的坐标,,再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难,但决没有如上的几何法简单. (3)定义法——追本求真的简单一着 许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真,用最原始的定义去做,反而特别简单. 【例7】(07.湖北卷.7题)双曲线 的左准线为,左焦点和右焦点分别为和;抛物线的线为,焦点为与的一个交点为,则等于( ) A. B. C. D. 【分析】 这道题如果用解析法去做,计算会特别繁杂,而平面几何知识又一时用不上,那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧. 如图,我们先做必要的准备工作:设双曲线的半 焦距c,离心率为e,作,令 .∵点M在抛物线上, , 这就是说:的实质是离心率e. 其次,与离心率e有什么关系?注意到: . 这样,最后的答案就自然浮出水面了:由于.∴选 A.. (4)三角法——本身也是一种解析 三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段,可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数,然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的. 因此,在解析几何解题中,恰当地引入三角资源,常可以摆脱困境,简化计算. 【例8】(09.重庆文科.21题)如图,倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A、B两点。 (Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程; (Ⅱ)若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交 x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值。 【解析】(Ⅰ)焦点F(2,0),准线. (Ⅱ)直线AB: 代入(1),整理得: 设方程(2)之二根为y1,y2,则. 设AB中点为 AB的垂直平分线方程是:. 令y=0,则 故 于是|FP|-|FP|cos2a=,故为定值. (5)消去法——合理减负的常用方法. 避免解析几何中的繁杂运算,是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求,它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”. 【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线:(1)与抛物线有两个不同的交点A和B;(2)线段AB被直线:x+5y-5=0垂直平分.若不存在,说明理由,若存在,求出直线的方程. 【解析】假定在抛物线上存在这样的两点 ∵线段AB被直线:x+5y-5=0垂直平分,且 . 设线段AB的中点为.代入x+5y-5=0得x=1.于是: AB中点为.故存在符合题设条件的直线,其方程为: (6)探索法——奔向数学方法的高深层次 有一些解析几何习题,初看起来好似“树高荫深,叫樵夫难以下手”.这时就得冷静分析,探索规律,不断地猜想——证明——再猜想——再证明.终于发现“无限风光在险峰”. 【例10】(10.安徽卷.14题)如图,抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A,将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,…,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线,与抛物线的交点依次为Q1,Q2,…,Qn-1,从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,…, △Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时,这些三角形的面积之和的极限为 . 【解析】∵ 设OA上第k个分点为 第k个三角形的面积为: . 故这些三角形的面积之和的极限 抛物线的方程与解析式抛物线的解析式有三种形式: ①一般式:(a≠0); ②顶点式:,(h,k)是顶点坐标; ③交点式:(a≠0),其中x1,x2是方程的两个实根。 在实际应用中,需要根据题目的条件选择相应的形式以简化计算。 利用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤可以总结为五个字:设、列、求、定。 例1、已知二次函数图像顶点坐标为(-2,3),且过点(1,0),求此二次函数的解析式。(试用两种不同的方法) 分析:根据所给条件中有顶点坐标的特点,可以选用顶点式。 解法一: 设二次函数的解析式为: 因为二次函数图像过点(1,0) 所以 所以 所以函数解析式为。 分析:根据所给条件中顶点坐标可知,抛物线的对称轴为x=-2,利用抛物线的对称性,可求得点(1,0)关于对称轴x=-2的对称点(-5,0),可选用交点式。 解法二: 设二次函数的解析式为:, 因为二次函数图像过点(-2,3) 所以 所以函数解析式为。 点评:当题目条件中有顶点坐标时,选用顶点式;当条件中有两个与x轴的交点时,一般选用交点式。但我们注意到,解法二是在知道抛物线与x轴的一个交点后,利用对称轴可从顶点坐标中得到,再利用抛物线的对称性获得另外一个与x轴的交点坐标,再利用交点式获得结果。两种方法各有千秋,仔细体会必定会有所收获。当然此题也可使用一般式,但不如这两种方法简单。 例2、已知二次函数,当x=-1时有最小值-4,且图像在x轴上截得线段长为4,求函数解析式。 分析:当题目条件中点的条件不足三个时,要充分利用二次函数的对称性转化条件。在本题中由于所给条件能得到一个顶点坐标(-1,-4),另外一个条件是图像在x轴上截得的线段长,条件似乎不是特别充分。仔细分析,有“当x=-1时有最小值-4”就知道对称轴,再有“图像在x轴上截得线段长为4”,利用对称性可得图像与x轴的交点坐标为(-3,0),(1,0),从而可利用交点式解决问题。 解:∵当x=-1时有最小值-4,且图像在x轴上截得线段长为4 ∴函数图像与x轴交于(-3,0),(1,0)两点。 ∴设二次函数的解析式为 ∵二次函数过(-1,-4) ∴ ∴a=1 ∴ 点评:本题当然还可直接使用顶点坐标公式转化为关于a,b,c的两个等式,再利用“图像在x轴上截得线段长为4”转化为,组合成一个关于a,b,c的方程组来解。不过这种方法计算量大一些。 例3、如图,已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C。 (1)用尺规画出该圆弧所在圆的圆心M的位置; (2)若A点的坐标为(0,4),D点的坐标为(7,0),试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上; (3)在(2)的条件下,求证直线CD是⊙M的切线。 解:(1)如图,点M即为所求。 (2)由A(0,4),可得小正方形的边长为1,从而B(4,4)、C(6,2)。 设经过点A、B、C的抛物线的解析式为, 依题意,解得, 所以经过点A、B、C的抛物线的解析式为, 把点D(7,0)的横坐标代入上述解析式, 得: , 所以点D不在经过A、B、C的抛物线上。 (3)如下图,设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E,连结MC,作直线CD。 所以CE=2,ME=4,ED=1,MD=5, 在Rt△CEM中,∠CEM=90°, 所以, 在Rt△CED中,∠CED=90°, 所以, 所以, 所以∠MCD=90°, 因为MC为半径, 所以直线CD是⊙M的切线。 点评:本题第(1)问是一个尺规作图题,需要确定圆心的位置;第(2)问中所给三个点的坐标不具有使用顶点式和交点式的特点,所以只能踏踏实实地利用一般式求解;第(3)问和圆的知识结合起来,求证直线与圆相切。要求熟练使用线段与坐标的相互转化,在证明线与线的垂直关系时还需要使用勾股定理的逆定理。 例4、已知抛物线与轴交于点,与轴分别交于,两点. (1)求此抛物线的解析式; (2)若点为线段的一个三等分点,求直线的解析式; (3)若一个动点自的中点出发,先到达轴上的某点(设为点),再到达抛物线的对称轴上某点(设为点),最后运动到点.求使点运动的总路径最短的点,点的坐标,并求出这个最短总路径的长. 解:(1)根据题意,, 所以 解得 所以抛物线解析式为. (2)依题意可得的三等分点分别为,. 设直线的解析式为. 当点的坐标为时,直线的解析式为; 当点的坐标为时,直线的解析式为. (3)如图,由题意,可得. 点关于轴的对称点为, 点关于抛物线对称轴的对称点为. 连结. 根据轴对称性及两点间线段最短可知,的长就是所求点运动的最短总路径的长. 5分 所以与轴的交点为所求点,与直线的交点为所求点. 可求得直线的解析式为. 可得点坐标为,点坐标为. 由勾股定理可求出. 所以点运动的最短总路径的长为. 点评:第(1)问是一个常规的求解析式的问题,比较简单;第(2)问如果注意到线段OA的三等分点有两个,从而判断直线DC有两条,利用待定系数法求出直线解析式,也不难;本题的难点是第(3)问,要求“最短总路径”需要具有扎实的基本功和分析、理解、转化问题的能力。 例5、已知二次函数的图象如图1所示,抛物线与x轴、y轴分别交于点A(-1,0)、B(2,0)、C(0,-2). (1)求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标. (2)若点N为线段BM上的一点,过点N作x轴的垂线,垂足为点Q,当点N在线段MB上运动时(点N不与点B、点M重合),设OQ的长为t,四边形NQAC的面积为s,求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围. (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△PAC为直角三角形?若存在,求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. (4)将△OAC补成矩形,使△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶点坐标(不需要计算过程). 图1 解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-2), ∴-2=a×1×(-2), ∴a=1, ∴y=x2-x-2; 其顶点M的坐标是(). (2)设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b,点N的坐标为N(t, h), ∴解得:k=,b=-3, ∴线段BM所在的直线的解析式为y=x-3 ∴h=t-3, ∵-2 |
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