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什么是反函数
一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x,这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作y=f-1(x) 。反函数y=f-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。 例1:y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2x的反函数是y=log2x 例2:求函数3x-2的反函数 y=3x-2的定义域为R,值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是y=1/3(x+2) 反函数的性质这个厉害了,反函数一般具有以下几种性质: 1、互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称; 2、函数存在反函数的充要条件是,函数在它的定义域上是单调的; 3、一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致; 4、偶函数一定不存在反函数,奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。 5、一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性; 6、严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】。 7、反函数是相互的 8、定义域、值域相反对应法则互逆 9、不是所有函数都有反函数如y=x的偶次方(不满足第2条如y=x2在x=0时是递增的) 10、反函数的导数关系:如果X=F(Y)在区间I上单调,可导,且F‘(Y)不等于0,那么他的反函数Y=F’(X)在区间S={X|X=F(Y),Y属于I}内也可导,且[F‘(X)]'=1\[F’(Y)]'。 反函数求导用隐函数微分法可以求导任意反函数,只要我们知道原函数的导数。 示例1:(tan-1x)’y = tan-1x = arctanx,定义域是(-π/2, π/2),值域是(-∞,+∞),原函数是tany = x 先来看图形,中间的红色曲线是定义域是(-π/2, π/2)时tanx的曲线,蓝色曲线是其对应的反函数y = arctanx 以下是y = tan-1x求导过程: 上式等价于tany=x,求导等价于对tany=x求导。对隐函数tany=x两侧同时求导: 在上图直角三角形中,tany=a/b,siny=a/c,cosy=b/c,由此,tany=siny/cosy。代入(1): 在上图直角三角形中,,代入(2): y是x的函数,我们需要将y替换成x,如果直接替换,将得到cos2(tan-1x),可以对其化简,但这很繁琐,所以还是回到直角三角形中考虑使用更简单化简的方法。 由于tany=x,所以将直角三角形中的两个直角边分别设为x和1,这样就可以求得斜边,由此可以计算cosy: 示例2:(sin-1x)’
作者:我是8位的 出处:http://www.cnblogs.com/bigmonkey 本文以学习、研究和分享为主,如需转载,请联系本人,标明作者和出处,非商业用途!
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