有时候,你会遇到一个问题,该问题的描述如下:
你有一个已知体积的容器,设容器体积为 ,里面装有一定压力(初始压力)的气体,如空气或氢气等,设初始压力为 ,容器出口连接着一个阀门开关,开关后面接直径为![](https://latex.csdn.net/eq?) 的钢管,钢管出口为一个大气压 。当阀门瞬间全开时,气体出口的瞬时流量值随时间变化到底是怎么样的呢?
该问题相当于已知气体管道直径![](https://latex.csdn.net/eq?) ,即已知管道横截面积 ,已知气体管道两端的气压差 ,同时知道进口气体总温 为323K,求出口瞬时质量流量 或瞬时体积流量 随时间 的变化关系和曲线,其中 是气体密度, 为出口气体流速, 即为气体流过管道的横截面积。
![](https://img-blog.csdnimg.cn/c9a45c263ec1424f8c23c67916f1d0d4.png)
1. 第一种方法:根据哈根泊谡叶方程
利用理想气体方程: (假设放气是等温过程, )和哈根泊谡叶关系式: , 表示的是体积流量,单位为 , 是管子的半径, 是流体的动力黏度,单位是 , 是管子的长度,压强 的单位为 。两个方程联立,
,考虑等温过程,有 ,也就是说, 的变化仅与容器内压力的变化有关。进一步,根据 ,假设密度 不变,有: ,积分后得到: ,有 ,利用该关系式,得到 随时间 的关系如下图所示,为一指数函数形式,而且可以通过积分,得到积分总流量为 ,根据 ,可见积分与差分得出的总流量非常接近。
![](https://img-blog.csdnimg.cn/ce951df8858440d29cf597de8eaf2fbe.png)
![](https://img-blog.csdnimg.cn/53106e5c26f748f5bb8c706224204f66.png)
若气体密度 不是常数,则根据 ,有 ,进一步有:
,进一步积分,得到 ,得到的曲线如下图所示。![](https://img-blog.csdnimg.cn/96b1245a171f4e548f0fc3a9777e9e60.png)
通过数值计算,时间小量取 ,得到的质量流量曲线如下图,积分得到总流过的质量为 ,与 有差异,这是因为时间小量 不够小导致的,当你取 时,积分得到总流过的质量为 ,此时就已经与 非常接近了。
以密度 不变的解法为例,一开始的瞬时流量值非常离谱,可以去到 ,根据 , 可以知道出口流体平均速度 ,光速是 ,出口速度已经达到 倍的光速,也超过空气声速 ,妥妥是一个超音速流,而且放气过程时间非常短,不超过 。经过大量的资料查询,该结果似乎与实际测试不符。
附:关于哈根泊谡叶关系式的推导,见下图。
![](https://img-blog.csdnimg.cn/2bd7954a96194f92b175fe5a4d9f24c1.png)
2. 第二种方法:根据气体动力学推算
为什么第一种方法就不符合实际呢?前人发现,收缩的出口在气流流速加速到马赫数1时,即 时,气体流速达到上限。
假设排气过程与气体管道壁面的换热忽略不计,即壁面是绝热的,气体流体是一个准稳态问题,排气口相当于是收缩,没有扩张,根据气体动力学可知,出口气体流速只能加速到1马赫数,即 。根据总静温关系式 ,得知 。再根据马赫数定义式 ,这里 是气体比热容比,定义为定压比热 与定容比热 之比,变换后有 , , ,比气体常数 为: ,得到氢气气体流速 。
根据 , , , , , , 为一个大气压。在 的壅塞流阶段,可解得 。这阶段,理解为流速 不变, 变化导致的 变化,瞬时质量流量也会随之变化,但体积流量 不变。如下图所示,绿色曲线是瞬时流量,紫色曲线是体积流量,绿色部分面积是积分得到的总质量流量,通过积分得到壅塞流下的总质量流量为 ,换算成密度为 的体积流量为 。
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后面非壅塞流状态下的亚声速流,原则上也是利用 , , , , ,这5个式子得到 的关系,我用欧拉法获得解析解的近似值,得到后续的流量曲线,具体步骤是,知道压力初始条件 ,初始瞬时流量为 ,也就是等于壅塞流状态下最后一刻时间的流量,然后利用瞬时流量乘以时间小量,得到 ,再利用关系式 ,得到 的变化量,然后计算马赫数 、速度 ,温度 等参数,不断进行迭代计算,当 时结束迭代。如下图中绿色的质量流量曲线和紫色的体积流量曲线,通过积分面积算得亚声速流下总质量流量为 ,换算成密度为 的体积流量为 ,因此放氢整个过程总质量流量为 ,与 算出来的基本一致。整个过程的总体积流量为 。
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3. 第三种方法:绝热小孔自由放气模型
![](https://img-blog.csdnimg.cn/06f7b08fcd654df88992ba326cea884a.png)
根据伯努利方程得到气体的能量方程 ,根据能量守恒定律,将上述方程应用于小孔,得到小孔上游和下游状态参数的关系: ,容腔内气体近似保持静止,即小孔上游速度 。根据焓值的定义,上式可变为 ,其中 为气体的恒压热容, 为上游热力学温度, 为下游热力学温度。
由于气流流经小孔时,与管壁接触面小,流动快,可近似认为气体流动过程是绝热过程。将绝热方程式 , , , 是比热容比, 是定压热容, 是定容热容,以及将 代入方程 ,可得 ,根据理想气体方程式 ,可得到以下关系:
![P_1=\rho _1R_gT_1\Leftrightarrow \frac{P_1}{\rho _1}=(C_p-C_v)T_1=C_pT_1(1-\frac{C_v}{C_p})=C_pT_1(1-\frac{1}{k})\Leftrightarrow C_pT_1=\frac{k}{k-1}\cdot \frac{P_1}{\rho _1}](https://latex.csdn.net/eq?P_1%3D%5Crho%20_1R_gT_1%5CLeftrightarrow%20%5Cfrac%7BP_1%7D%7B%5Crho%20_1%7D%3D%28C_p-C_v%29T_1%3DC_pT_1%281-%5Cfrac%7BC_v%7D%7BC_p%7D%29%3DC_pT_1%281-%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%29%5CLeftrightarrow%20C_pT_1%3D%5Cfrac%7Bk%7D%7Bk-1%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7BP_1%7D%7B%5Crho%20_1%7D)
,因此可进一步得到:
![u_{2}=\sqrt{\frac{2k}{k-1}\frac{P_1}{\rho _1}[1-(\frac{P_2}{P_1})^{\frac{k-1}{k}}]}](https://latex.csdn.net/eq?u_%7B2%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2k%7D%7Bk-1%7D%5Cfrac%7BP_1%7D%7B%5Crho%20_1%7D%5B1-%28%5Cfrac%7BP_2%7D%7BP_1%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7Bk-1%7D%7Bk%7D%7D%5D%7D)
根据质量流量的定义,有 ,这里由于计算的是小孔的气体流速,因此密度 ,速度即为 , 为气体流过小孔管的横截面积。将绝热关系式 ,和 代入质量流量定义式,首先有 , ,因此有 ,所以有 ,化简有:
,其中 , 气体常数, 是气体的摩尔质量。如空气的气体常数 。
,定义流量函数 ,则有: ,将 看成自变量, 是因变量,研究 随 的变化曲线,有以下图形关系:
![](https://img-blog.csdnimg.cn/b1ccc19715f94521ad37071912e43d21.png)
通过对 进行求导,令 , , ,![\frac{d\phi }{dx}=C\frac{\frac{2}{k}x^{\frac{2}{k}-1}-\frac{k+1}{k}x^{\frac{k+1}{k}-1}}{2\sqrt{x^{\frac{2}{k}}-x^{\frac{k+1}{k}}}}=0\Leftrightarrow \frac{2}{k}x^{\frac{2-k}{k}}=\frac{k+1}{k}x^{\frac{1}{k}}\Leftrightarrow x^{\frac{1-k}{k}}=\frac{k+1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{P_2}{P_1}=(\frac{2}{k+1})^{\frac{k}{k-1}}](https://latex.csdn.net/eq?%5Cfrac%7Bd%5Cphi%20%7D%7Bdx%7D%3DC%5Cfrac%7B%5Cfrac%7B2%7D%7Bk%7Dx%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7Bk%7D-1%7D-%5Cfrac%7Bk+1%7D%7Bk%7Dx%5E%7B%5Cfrac%7Bk+1%7D%7Bk%7D-1%7D%7D%7B2%5Csqrt%7Bx%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7Bk%7D%7D-x%5E%7B%5Cfrac%7Bk+1%7D%7Bk%7D%7D%7D%7D%3D0%5CLeftrightarrow%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bk%7Dx%5E%7B%5Cfrac%7B2-k%7D%7Bk%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bk+1%7D%7Bk%7Dx%5E%7B%5Cfrac%7B1%7D%7Bk%7D%7D%5CLeftrightarrow%20x%5E%7B%5Cfrac%7B1-k%7D%7Bk%7D%7D%3D%5Cfrac%7Bk+1%7D%7B2%7D%5CLeftrightarrow%20x%3D%5Cfrac%7BP_2%7D%7BP_1%7D%3D%28%5Cfrac%7B2%7D%7Bk+1%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7Bk-1%7D%7D)
当 , ,进一步,选取 ,可以计算得到此时 。将 代入 ,可化简为: , 。
根据《气动系统的基础与计算特性》一书所述,雷诺首先对上述 时, 获得极值的物理现象,解释为:当马赫数等于1的状态时,气流处于声速,下游的气流信息不能向上传递,上游的气流状态不随下游压力的变化而变化,许多学者称该现象为壅塞状态。 被称为临界压力比,小于此值时,流量达到饱和,也可称为声速流。因此有如下式子,其图形如下图红实线所示。
![\phi =\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{k}{R_g}( \frac{2}{k+1})^{\frac{k+1}{k-1}}} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \; \frac{P_2}{P_1}\leq b=0.5283 \\ \sqrt{\frac{2k}{R_g(k-1)}[(\frac{P_2}{P_1})^{\frac{2}{k}}-(\frac{P_2}{P_1})^{\frac{k+1}{k}}]} \, \, \, \; \frac{P_2}{P_1}b=0.5283 \end{matrix}\right.](https://latex.csdn.net/eq?%5Cphi%20%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7BR_g%7D%28%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bk+1%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7Bk+1%7D%7Bk-1%7D%7D%7D%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%3B%20%5Cfrac%7BP_2%7D%7BP_1%7D%5Cleq%20b%3D0.5283%20%5C%5C%20%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2k%7D%7BR_g%28k-1%29%7D%5B%28%5Cfrac%7BP_2%7D%7BP_1%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7Bk%7D%7D-%28%5Cfrac%7BP_2%7D%7BP_1%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7Bk+1%7D%7Bk%7D%7D%5D%7D%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%3B%20%5Cfrac%7BP_2%7D%7BP_1%7D%3Eb%3D0.5283%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.)
![q_m=\left\{\begin{matrix} A\cdot P_{1}\sqrt{\frac{k}{R_gT_1}( \frac{2}{k+1})^{\frac{k+1}{k-1}}}\, \, \, \, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \, \! \! \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \,\frac{P_2}{P_1}\leq b=0.5283 \\ A\cdot P_{1}\sqrt{\frac{2k}{k-1}\frac{1}{R_gT_{1}}[(\frac{P_2}{P_1})^{\frac{2}{k}}-(\frac{P_2}{P_1})^{\frac{k+1}{k}}]}\, \,\, \, \, \, \, \, \, \, \frac{P_2}{P_1}b=0.5283\end{matrix}\right.](https://latex.csdn.net/eq?q_m%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20A%5Ccdot%20P_%7B1%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7Bk%7D%7BR_gT_1%7D%28%20%5Cfrac%7B2%7D%7Bk+1%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7Bk+1%7D%7Bk-1%7D%7D%7D%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%21%20%5C%21%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%5Cfrac%7BP_2%7D%7BP_1%7D%5Cleq%20b%3D0.5283%20%5C%5C%20A%5Ccdot%20P_%7B1%7D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B2k%7D%7Bk-1%7D%5Cfrac%7B1%7D%7BR_gT_%7B1%7D%7D%5B%28%5Cfrac%7BP_2%7D%7BP_1%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7B2%7D%7Bk%7D%7D-%28%5Cfrac%7BP_2%7D%7BP_1%7D%29%5E%7B%5Cfrac%7Bk+1%7D%7Bk%7D%7D%5D%7D%5C%2C%20%5C%2C%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5C%2C%20%5Cfrac%7BP_2%7D%7BP_1%7D%3Eb%3D0.5283%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.)
工程上,经常用 来代替 ,曲线如下图的蓝色虚线所示,从图形上看,两者曲线基本吻合,且当 时, ,因此 。两者曲线如下图所示,两者最大误差为3%。
这样得到小孔的一维等熵流动的质量流量的近似公式:
, 。
![](https://img-blog.csdnimg.cn/a509f983a4894d919d96c47d8d209d7f.png)
由于 ,可得 ,当 和 恒定时,有:
![q_m=\frac{dm}{dt}=\frac{d(\frac{PV}{R_gT_1)})}{dt}=\frac{V}{R_gT_1}\frac{dP}{dt}](https://latex.csdn.net/eq?q_m%3D%5Cfrac%7Bdm%7D%7Bdt%7D%3D%5Cfrac%7Bd%28%5Cfrac%7BPV%7D%7BR_gT_1%29%7D%29%7D%7Bdt%7D%3D%5Cfrac%7BV%7D%7BR_gT_1%7D%5Cfrac%7BdP%7D%7Bdt%7D)
,有
, 时,移项得 ,积分得 ,
也就是说,壅塞状态下(声速流)质量流量曲线是指数形式下降的。亚声速流下的质量流量计算则比较复杂,根据状态方程的微分形式,并按绝热过程处理,有以下公式:
,其中将质量流量公式 代入,使用差分形式,取时间微小量为 ,取 , ,取 , , ,并进行数值计算,得到的质量流量曲线初看真的很像一条直线,但细看还是有点往上凸的。数值计算结果表明,亚声速流时间约为0.0287s,气体从初始323K降低至最后的269.17K。
若按简化后公式 ,这里 ,所以有 ,根据此式计算质量流量,同样进行数值计算,亚声速流时间约为0.0361s,气体从初始323K降低至最后的257.32K。两者曲线偏差还不小。![](https://img-blog.csdnimg.cn/affa7d2541384be6b2205574f30a2051.png) ![](https://img-blog.csdnimg.cn/e9e6bfcec3b74011bf92afa0a4bef0ad.png)
下面是压力、温度、压力比、质量流量随时间的变化曲线,该图计算过程如下,先知道初始各状态,如初始压力 ,初始温度 ,初始压力比 。用流量公式 ,计算当前时刻的质量流量 ,将 乘以时间小量 ,得到 ,再用理想气体方程 计算出 , 取当前时刻温度。由于这里当成是绝热放气过程,因此容器内气体温度也会变化,按公式 的差分形式,将上述计算好的 ,当前温度 ,当前压力 ,代入后获得温度变化量 ,放气是对外界做功,因此气体温度下降。用当前压力减去 ,获得下一时刻压力 ;同理,获得下一刻温度 。这样,壅塞(声速)状态下,各物理量的曲线就出来了。当压力比 时,变为亚声速流,此式流量公式变为 ,按同样的数值计算方法,获得亚声速流下的各物理量随时间的变化曲线。
从曲线可以看出,压力曲线是类似指数型下降的,温度指数型下降,压力比有点类似S型曲线,质量流量在声速阶段是一下凹的曲线,亚声速是上凸的曲线,图中中间连接点不太连续的情况是因为数值计算中,受时间小量的限制,计算到临界压力比时,并不会恰好等于0.5283,压力变化会有个台阶,显得不是那么“连续”。
另外,整个放气过程时间为 ,对质量流量曲线进行积分,可以知道总流过的质量为 ,即 ,与 算出来的还是一样。
![](https://img-blog.csdnimg.cn/cf331c554aab44b3a52067589b592240.png)
当然,压力差也可以完全用绝热公式 计算,得到的曲线如下图,好像更丝滑一些,整个放气过程时间为 ,积分算出总流过的质量仍为 ,即 。![](https://img-blog.csdnimg.cn/c8a39c17badb48bd8f9fcdc00978fd48.png)
这是《气动系统的基础特性与计算》一书中的“容腔充放气”的曲线图, 其中各物理量进行了无量纲化(无因次响应)。从图中可以看出,流量曲线和压力曲线跟上述推导和计算过程基本类似,唯一区别是,温度曲线它是会回升的,这是因为书本中考虑了放气过程与外界换热的过程,不是单纯的绝热条件。
![](https://img-blog.csdnimg.cn/09bdcfad555147e8893b29813ff4ed9d.jpeg)
具体更可靠的计算,请读者参考GB/T 14513.3-2020中的方法。
4、结束语
假如你能阅读到这里,说明你对该问题有着同样的困惑和思考,希望这篇文章对你有所帮助。当然,这也仅仅是我个人对书本和网上所能搜到资料进行整理、推导,并加上自己的理解,难免会有错漏之处,如果你认为该文章有错误的地方,欢迎各位大佬后台私信交流。
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