一元正态总体参数 μ , σ 2 \mu,\sigma^2 μ,σ2的参数检验，涉及到单总体、多总体，有三种比较常见的分布： χ 2 \chi^2 χ2分布， t t t分布， F F F分布；推广到多元正态总体上，也有三种对应的分布。在介绍多元统计的三大分布之前，先介绍正态变量二次型的分布以及非中心三大分布。

正态变量二次型的分布，是对独立的同方差正态变量 X i ∼ N 1 ( μ i , σ 2 ) , σ 2 ≠ 0 X_i\sim N_1(\mu_i,\sigma^2),\sigma^2\ne 0 Xi​∼N1​(μi​,σ2),σ2​=0而言的。如果记 X = ( X 1 , ⋯   , X n ) ′ X=(X_1,\cdots,X_n)' X=(X1​,⋯,Xn​)′，则 X ∼ N p ( μ , σ 2 I n ) X\sim N_p(\mu,\sigma^2I_n) X∼Np​(μ,σ2In​)，这里 μ = ( μ 1 , ⋯   , μ n ) ′ \mu=(\mu_1,\cdots,\mu_n)' μ=(μ1​,⋯,μn​)′。对于一个矩阵 A n × n A_{n\times n} An×n​， X ′ A X X'AX X′AX就称为二次型，很多时候 A A A还会是对称阵。

从简单的开始讨论，首先讨论 A = I n A=I_n A=In​，此时 ξ = X ′ I n X = X ′ X \xi=X'I_nX=X'X ξ=X′In​X=X′X。更进一步简化 μ = 0 \mu=0 μ=0，就得到 ξ σ 2 = ∑ α = 1 n X α 2 σ 2 ∼ χ 2 ( n ) . \frac{\xi}{\sigma^2}=\sum_{\alpha=1}^n \frac{X_{\alpha}^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n). σ2ξ​=α=1∑n​σ2Xα2​​∼χ2(n). 这就是我们对 χ 2 \chi^2 χ2分布的定义，为了方便记忆，我们也可以写成 X ′ X ∼ σ 2 χ 2 ( n ) X'X\sim \sigma^2\chi^2(n) X′X∼σ2χ2(n)。

而如果 μ ≠ 0 \mu\ne0 μ​=0，我们可以类似定义非中心 χ 2 \chi^2 χ2分布，只需要加入非中心参数 δ = μ ′ μ = ∑ α = 1 n μ α 2 \delta=\mu'\mu=\sum_{\alpha=1}^n \mu_\alpha^2 δ=μ′μ=∑α=1n​μα2​，此时对 σ 2 = 1 \sigma^2=1 σ2=1时，就应该有 X ′ X ∼ χ 2 ( n , δ ) X'X\sim \chi^2(n,\delta) X′X∼χ2(n,δ)；当 σ 2 ≠ 1 \sigma^2\ne 1 σ2​=1时，令 Y i = X i / σ Y_i=X_i/\sigma Yi​=Xi​/σ，则 Y i ∼ N 1 ( μ / σ , 1 ) Y_i\sim N_1(\mu/\sigma,1) Yi​∼N1​(μ/σ,1)，且 Y ′ Y ∼ χ 2 ( n , δ / σ 2 ) Y'Y\sim \chi^2(n,\delta/\sigma^2) Y′Y∼χ2(n,δ/σ2)，所以 X ′ X ∼ σ 2 χ 2 ( n , δ σ 2 ) . X'X\sim \sigma^2\chi^2(n,\frac{\delta}{\sigma^2}). X′X∼σ2χ2(n,σ2δ​). 既然提出了非中心 χ 2 \chi^2 χ2分布，就顺道提一下非中心 t t t分布与非中心 F F F分布。非中心 t t t分布是指对相互独立的 X ∼ N ( δ , 1 ) , Y ∼ χ 2 ( n ) X\sim N(\delta,1),Y\sim \chi^2(n) X∼N(δ,1),Y∼χ2(n)， T = X Y / n T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}} T=Y/n ​X​的分布，记作 T ∼ t ( n , δ ) T\sim t(n,\delta) T∼t(n,δ)；非中心 F F F分布是指对相互独立的 X ∼ χ 2 ( m , δ ) , Y ∼ χ 2 ( n ) X\sim \chi^2(m,\delta),Y\sim \chi^2(n) X∼χ2(m,δ),Y∼χ2(n)， F = X / m Y / n F=\frac{X/m}{Y/n} F=Y/nX/m​的分布，记作 F ∼ F ( m , n , δ ) F\sim F(m,n,\delta) F∼F(m,n,δ)。

接下来，将情况变得复杂一点， A A A不是单位阵，而扩展到幂等对称阵，即 A 2 = A A^2=A A2=A。幂等矩阵有一个特征，是它的特征值只能是0或1，因为 A ( A − I ) = 0 ⇔ λ ( λ − 1 ) = 0 A(A-I)=0\Leftrightarrow \lambda(\lambda-1)=0 A(A−I)=0⇔λ(λ−1)=0。基于此，我们得到以下结论：

若 X ∼ N n ( 0 , σ 2 I n ) X\sim N_n(0,\sigma^2I_n) X∼Nn​(0,σ2In​)， A A A为对称阵且 r a n k ( A ) = r {\rm rank}(A)=r rank(A)=r，则 X ′ A X ∼ σ 2 χ 2 ( r ) ⇔ A 2 = A . X'AX\sim \sigma^2\chi^2(r)\Leftrightarrow A^2=A. X′AX∼σ2χ2(r)⇔A2=A. 若 X ∼ N n ( μ , σ 2 I n ) X\sim N_n(\mu,\sigma^2I_n) X∼Nn​(μ,σ2In​)， A A A为对称阵，则令 δ = μ ′ A μ / σ 2 \delta=\mu'A\mu/\sigma^2 δ=μ′Aμ/σ2，有 X ′ A X ∼ σ 2 χ 2 ( r , δ ) ⇔ A 2 = A 且 r a n k ( A ) = r . X'AX\sim \sigma^2\chi^2(r,\delta)\Leftrightarrow A^2=A且{\rm rank}(A)=r. X′AX∼σ2χ2(r,δ)⇔A2=A且rank(A)=r.

证明第一个结论，先证充分性 ⇒ \Rightarrow ⇒。因为 A A A对称，所以存在正交阵 Γ \Gamma Γ使得 Γ A Γ ′ = d i a g ( λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ r , 0 , ⋯   , 0 ) = d Λ . \Gamma A\Gamma'={\rm diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r,0,\cdots,0)\stackrel {\rm d}=\Lambda. ΓAΓ′=diag(λ1​,λ2​,⋯,λr​,0,⋯,0)=dΛ. 令 Y = Γ ′ X ∼ N ( 0 , σ 2 I n ) Y=\Gamma'X\sim N(0,\sigma^2I_n) Y=Γ′X∼N(0,σ2In​)，则 X = Γ Y X=\Gamma Y X=ΓY，有 ξ = X ′ A X σ 2 = Y ′ Λ Y σ 2 = ∑ α = 1 r λ α Y α 2 / σ 2 . \xi=\frac{X'AX}{\sigma^2}=\frac{Y'\Lambda Y}{\sigma^2}=\sum_{\alpha=1}^r \lambda_\alpha Y_{\alpha}^2/\sigma^2. ξ=σ2X′AX​=σ2Y′ΛY​=α=1∑r​λα​Yα2​/σ2. 这里 Y α 2 / σ 2 Y_\alpha^2/\sigma^2 Yα2​/σ2服从 χ 2 ( 1 ) \chi^2(1) χ2(1)分布。又因为 χ 2 ( k ) \chi^2(k) χ2(k)分布的特征函数是 ( 1 − 2 i t ) − k / 2 (1-2{\rm i}t)^{-k/2} (1−2it)−k/2且各 Y α Y_{\alpha} Yα​独立，所以 ξ \xi ξ的特征函数是 φ ξ ( t ) = [ ( 1 − 2 i λ 1 t ) ⋯ ( 1 − 2 i λ r t ) ] 1 / 2 = ( 1 − 2 i t ) r / 2 . \varphi_\xi(t)=[(1-2{\rm i}\lambda_1t)\cdots(1-2{\rm i}\lambda_rt)]^{1/2}=(1-2{\rm i}t)^{r/2}. φξ​(t)=[(1−2iλ1​t)⋯(1−2iλr​t)]1/2=(1−2it)r/2. 由此可以推出 λ 1 = ⋯ = λ r = 1 \lambda_1=\cdots=\lambda_r=1 λ1​=⋯=λr​=1，从而 A 2 = Γ ′ Λ Γ Γ ′ Λ Γ = Γ ′ Λ 2 Γ = A A^2=\Gamma'\Lambda\Gamma\Gamma'\Lambda\Gamma=\Gamma'\Lambda^2\Gamma=A A2=Γ′ΛΓΓ′ΛΓ=Γ′Λ2Γ=A。

再证必要性 ⇐ \Leftarrow ⇐，由题意存在一个 Γ \Gamma Γ，使得 Γ ′ A Γ = [ I r O O O ] . \Gamma' A\Gamma=\begin{bmatrix} I_r & O\\ O & O \end{bmatrix}. Γ′AΓ=[Ir​O​OO​]. 令 Y = Γ ′ X , X = Γ Y Y=\Gamma'X,X=\Gamma Y Y=Γ′X,X=ΓY，则 Y ∼ N ( 0 , σ 2 I n ) Y\sim N(0,\sigma^2I_n) Y∼N(0,σ2In​)，且 ξ = X ′ A X σ 2 = Y ′ Γ A Γ Y σ 2 = 1 σ 2 Y ′ [ I r O O O ] Y = 1 σ 2 ∑ α = 1 r Y α 2 . \xi=\frac{X'AX}{\sigma^2}=\frac{Y'\Gamma A\Gamma Y}{\sigma^2}=\frac1{\sigma^2}Y'\begin{bmatrix}I_r & O \\ O & O \end{bmatrix}Y=\frac 1{\sigma^2}\sum_{\alpha=1}^r Y_\alpha^2. ξ=σ2X′AX​=σ2Y′ΓAΓY​=σ21​Y′[Ir​O​OO​]Y=σ21​α=1∑r​Yα2​. 所以 X ′ A X ∼ σ 2 χ 2 ( r ) X'AX\sim \sigma^2\chi^2(r) X′AX∼σ2χ2(r)。对于非中心的情况，在不知道非中心 χ 2 \chi^2 χ2分布特征函数的情况下不太好证明，记住结论即可。

对于随机正态变量的二次型，还有以下关于独立性的结论：

设 X ∼ N n ( μ , σ 2 I n ) X\sim N_n(\mu,\sigma^2I_n) X∼Nn​(μ,σ2In​)， A A A为 n n n阶对称矩阵， B B B为 m × n m\times n m×n矩阵，令 ξ = X ′ A X , Z = B X \xi=X'AX,Z=BX ξ=X′AX,Z=BX，则 B A = O ⇔ Z = B X 与 ξ = X ′ A X 相 互 独 立 . BA=O\Leftrightarrow Z=BX与\xi=X'AX相互独立. BA=O⇔Z=BX与ξ=X′AX相互独立.

也就是，当 B A = O BA=O BA=O时，多元正态分布 Z = B X Z=BX Z=BX与二次型随机向量 X ′ A X X'AX X′AX相互独立。

最后，对于一般 p p p维正态随机向量 X ∼ N p ( μ , Σ ) , Σ > 0 X\sim N_p(\mu,\Sigma),\Sigma>0 X∼Np​(μ,Σ),Σ>0，有以下结论：

结论一： X ′ Σ − 1 X ∼ χ 2 ( p , δ ) X'\Sigma^{-1}X\sim \chi^2(p,\delta) X′Σ−1X∼χ2(p,δ)，其中 δ = μ ′ Σ − 1 μ \delta=\mu'\Sigma^{-1}\mu δ=μ′Σ−1μ。证明的关键是将 Σ \Sigma Σ分解成 C C ′ CC' CC′。

结论二：对于对称阵 A A A， r a n k ( A ) = r {\rm rank}(A)=r rank(A)=r，则 ( X − μ ) ′ A ( X − μ ) ∼ χ 2 ( r ) ⇔ Σ A Σ A Σ = Σ A Σ . (X-\mu)'A(X-\mu)\sim \chi^2(r)\Leftrightarrow \Sigma A\Sigma A\Sigma=\Sigma A\Sigma. (X−μ)′A(X−μ)∼χ2(r)⇔ΣAΣAΣ=ΣAΣ. 证明的关键是将 Σ \Sigma Σ分解为 ( Σ 1 / 2 ) 2 (\Sigma^{1/2})^2 (Σ1/2)2，且用到 Y ′ C Y ∼ χ 2 ( p ) ⇔ C 2 = C Y'CY\sim \chi^2(p)\Leftrightarrow C^2=C Y′CY∼χ2(p)⇔C2=C结论。

结论三：对于对称阵 A , B A,B A,B，有 ( X − μ ) ′ A ( X − μ ) 与 ( X − μ ) ′ B ( X − μ ) 独 立 ⇔ Σ A Σ B Σ = O . (X-\mu)'A(X-\mu)与(X-\mu)'B(X-\mu)独立\Leftrightarrow \Sigma A\Sigma B\Sigma =O. (X−μ)′A(X−μ)与(X−μ)′B(X−μ)独立⇔ΣAΣBΣ=O.

在一元统计中， χ 2 \chi^2 χ2分布用来刻画正态样本的样本方差分布，推广到多元统计，对应的样本离差阵的分布，也应该由一种分布来刻画，这种分布就是Wishart分布。其定义如下：

Wishart分布：设 X ( α ) ∼ N p ( 0 , Σ ) ( α = 1 , ⋯   , n ) X_{(\alpha)}\sim N_p(0,\Sigma)(\alpha=1,\cdots,n) X(α)​∼Np​(0,Σ)(α=1,⋯,n)相互独立，记 X = ( X ( 1 ) , ⋯   , X ( n ) ) ′ X=(X_{(1)},\cdots,X_{(n)})' X=(X(1)​,⋯,X(n)​)′为 n × p n\times p n×p矩阵，则称随机阵 W = ∑ α = 1 n X ( α ) X ( α ) ′ = X ′ X W=\sum\limits_{\alpha=1}^n X_{(\alpha)}X_{(\alpha)}'=X'X W=α=1∑n​X(α)​X(α)′​=X′X的分布为Wishart分布，记作 W ∼ W p ( n , Σ ) W\sim W_p(n,\Sigma) W∼Wp​(n,Σ)。

非中心Wishart分布：设 X ( α ) ∼ N p ( μ , Σ ) ( α = 1 , ⋯   , n ) X_{(\alpha)}\sim N_p(\mu,\Sigma)(\alpha=1,\cdots,n) X(α)​∼Np​(μ,Σ)(α=1,⋯,n)相互独立，记 M = [ μ 1 ⋯ μ p ⋮ ⋮ μ 1 ⋯ μ p ] = 1 n μ ′ , Δ = M ′ M = m μ μ ′ , M=\begin{bmatrix} \mu_1 & \cdots & \mu_p \\ \vdots & & \vdots \\ \mu_1 & \cdots & \mu_p \end{bmatrix}=\boldsymbol 1_n\mu',\quad \Delta=M'M=m\mu \mu', M=⎣⎢⎡​μ1​⋮μ1​​⋯⋯​μp​⋮μp​​⎦⎥⎤​=1n​μ′,Δ=M′M=mμμ′, 则称 W = X ′ X W=X'X W=X′X服从非中心参数为 Δ \Delta Δ的非中心Wishart分布，记作 W ∼ W p ( n , Σ , Δ ) W\sim W_p(n,\Sigma,\Delta) W∼Wp​(n,Σ,Δ)。

更一般地如果 X ( α ) ∼ N p ( μ p , Σ ) X_{(\alpha)}\sim N_p(\mu_p,\Sigma) X(α)​∼Np​(μp​,Σ)相互独立，则 M = [ μ 11 ⋯ μ 1 p ⋮ ⋮ μ n 1 ⋯ μ n p ] , Δ = M ′ M = ∑ α = 1 n μ α μ α ′ . M=\begin{bmatrix} \mu_{11} & \cdots & \mu_{1p} \\ \vdots & & \vdots \\ \mu_{n1} & \cdots & \mu_{np} \end{bmatrix},\quad \Delta =M'M=\sum_{\alpha=1}^n \mu_{\alpha}\mu_\alpha'. M=⎣⎢⎡​μ11​⋮μn1​​⋯⋯​μ1p​⋮μnp​​⎦⎥⎤​,Δ=M′M=α=1∑n​μα​μα′​. 称 W = X ′ X W=X'X W=X′X服从非中心参数为 Δ \Delta Δ的非中心Wishart分布，记作 W ∼ W p ( n , Σ , Δ ) W\sim W_p(n,\Sigma,\Delta) W∼Wp​(n,Σ,Δ)。

可以看到，区分Wishart分布是中心化的还是非中心的，以及非中心参数的情况如何，关键在于正态总体 N p ( μ , Σ ) N_p(\mu,\Sigma) Np​(μ,Σ)是不是零均值的，均值是否随样本变化。当然，离差阵作为自协方差矩阵的估计，抽取的样本肯定要是同方差的。

关于Wishart分布，类似数理统计中的三大分布一样，有一些结论是不需证明，但需要记忆的。

设 X ( α ) ∼ N p ( μ , Σ ) X_{(\alpha)}\sim N_p(\mu,\Sigma) X(α)​∼Np​(μ,Σ)，则样本离差阵服从自由度为 n − 1 n-1 n−1的Wishart分布，即 A = ∑ α = 1 n ( X ( α ) − X ˉ ) ( X ( α ) − X ˉ ) ′ ∼ W p ( n − 1 , Σ ) . A=\sum_{\alpha=1}^{n}(X_{(\alpha)}-\bar X)(X_{(\alpha)}-\bar X)'\sim W_p(n-1,\Sigma). A=α=1∑n​(X(α)​−Xˉ)(X(α)​−Xˉ)′∼Wp​(n−1,Σ). 这是因为我们已经证明了 W = d ∑ t = 1 n − 1 Z t Z t ′ W\stackrel {\rm d}=\sum_{t=1}^{n-1}Z_tZ_t' W=d∑t=1n−1​Zt​Zt′​，这里 Z t Z_t Zt​独立同分布于 N p ( 0 , Σ ) N_p(0,\Sigma) Np​(0,Σ)。

Wishart分布关于自由度 n n n具有可加性，这与 χ 2 \chi^2 χ2分布类似，即 W i ∼ W p ( n i , Σ ) W_i\sim W_p(n_i,\Sigma) Wi​∼Wp​(ni​,Σ)相互独立，则 ∑ i = 1 k W i ∼ W p ( ∑ i = 1 k n i , Σ ) . \sum_{i=1}^k W_i\sim W_p(\sum_{i=1}^k n_i,\Sigma). i=1∑k​Wi​∼Wp​(i=1∑k​ni​,Σ).

Wishart分布服从可线性变换性，设 W ∼ W p ( n , Σ ) W\sim W_p(n,\Sigma) W∼Wp​(n,Σ)， C C C是 m × p m\times p m×p常数阵，则 C W C ′ ∼ W m ( n   , C Σ C ′ ) . CWC' \sim W_m(n\,,C\Sigma C'). CWC′∼Wm​(n,CΣC′). 可以从定义式入手， W = ∑ i = 1 n Z α Z α ′ W=\sum_{i=1}^n Z_\alpha Z_\alpha' W=∑i=1n​Zα​Zα′​，令 Y α = C Z α ∼ N m ( 0 , C Σ C ′ ) Y_{\alpha}=CZ_{\alpha}\sim N_m(0,C\Sigma C') Yα​=CZα​∼Nm​(0,CΣC′)，计算 C W C ′ CWC' CWC′就得结论。

特别地，取 C = a I p C=\sqrt aI_p C=a ​Ip​时，得到 a W ∼ W p ( n , a Σ ) aW\sim W_p(n,a\Sigma) aW∼Wp​(n,aΣ)；

特别地，取 C ′ = l = ( l 1 , ⋯   , l p ) ′ C'=l=(l_1,\cdots,l_p)' C′=l=(l1​,⋯,lp​)′时，得到 l ′ W l = ξ ∼ W ( n , l ′ Σ l ) l'Wl=\xi\sim W(n,l'\Sigma l) l′Wl=ξ∼W(n,l′Σl)。设 σ 2 = l ′ Σ l \sigma^2=l'\Sigma l σ2=l′Σl，则将Wishart分布与 χ 2 \chi^2 χ2分布联系起来，有 ξ ∼ σ 2 χ 2 ( n ) \xi\sim \sigma^2\chi^2(n) ξ∼σ2χ2(n)。这里建立了Wishart分布与一元统计的桥梁。

分块Wishart分布：将 W W W类似 X , Σ X,\Sigma X,Σ一样分解，则 W 11 ∼ W r ( n , Σ 11 ) , W 22 ∼ W p − r ( n , Σ 22 ) W_{11}\sim W_r(n,\Sigma_{11}),W_{22}\sim W_{p-r}(n,\Sigma_{22}) W11​∼Wr​(n,Σ11​),W22​∼Wp−r​(n,Σ22​)，且当 Σ 12 = O \Sigma_{12}=O Σ12​=O时 W 11 W_{11} W11​与 W 22 W_{22} W22​相互独立。

条件Wishart分布： W W W也可以类似寻找 W 11 W_{11} W11​对 W 22 W_{22} W22​的回归，记 W 11 ⋅ 2 = W 11 − W 12 W 22 − 1 W 21 W_{11\cdot2}=W_{11}-W_{12}W_{22}^{-1}W_{21} W11⋅2​=W11​−W12​W22−1​W21​，则 W 11 ⋅ 2 ∼ W p ( r , Σ 11 ⋅ 2 ) , W_{11\cdot 2}\sim W_p(r,\Sigma_{11\cdot2}), W11⋅2​∼Wp​(r,Σ11⋅2​), 且 W 11 ⋅ 2 W_{11\cdot 2} W11⋅2​与 W 22 W_{22} W22​相互独立，这点与 X ( 1 ) X_{(1)} X(1)​对 X ( 2 ) X_{(2)} X(2)​的回归类似。

Wishart分布的期望： W ∼ W p ( n , Σ ) W\sim W_p(n,\Sigma) W∼Wp​(n,Σ)，则 E W = n Σ {\rm E}W=n\Sigma EW=nΣ。在 χ 2 \chi^2 χ2的情形，如果 ξ ∼ σ 2 χ 2 ( n ) \xi \sim \sigma^2\chi^2(n) ξ∼σ2χ2(n)，则 E W = σ 2 n {\rm E}W=\sigma^2n EW=σ2n。

与一元统计中二次型类似的结论：设 X ∼ N n × p ( M , I n ⊗ Σ ) X\sim N_{n\times p}(M,I_n\otimes \Sigma) X∼Nn×p​(M,In​⊗Σ)， A , B A,B A,B都是 n n n阶幂等矩阵，设 Δ = M ′ A M \Delta =M'AM Δ=M′AM，则 X ′ A X ∼ W p ( r , Σ , Δ ) ⇔ A 2 = A , 且 r a n k ( A ) = r ; X ′ A X 与 X ′ B X 相 互 独 立 ⇔ A B = O . X'AX\sim W_p(r, \Sigma, \Delta)\Leftrightarrow A^2=A,且{\rm rank}(A)=r;\\ X'AX与X'BX相互独立\Leftrightarrow AB=O. X′AX∼Wp​(r,Σ,Δ)⇔A2=A,且rank(A)=r;X′AX与X′BX相互独立⇔AB=O.

Hotelling T 2 T^2 T2分布是一元统计中 t t t分布的推广，在一元统计中定义的 t t t变量为 X / ξ / n X/\sqrt{\xi /n} X/ξ/n ​，其中 X , ξ X,\xi X,ξ相互独立，且 X X X是标准正态变量， ξ \xi ξ服从自由度为 n n n的卡方分布。现将 t 2 t^2 t2推广为 T 2 T^2 T2，就得到Hotelling T 2 T^2 T2分布的定义。

Hotelling T 2 T^2 T2分布：设 X ∼ N p ( 0 , Σ ) X\sim N_p(0,\Sigma) X∼Np​(0,Σ)，随机阵 W ∼ W p ( n , Σ ) W\sim W_p(n,\Sigma) W∼Wp​(n,Σ)， Σ > 0 , n ≥ p \Sigma>0,n\ge p Σ>0,n≥p，且 X , W X,W X,W相互独立，则Hotelling T 2 T^2 T2统计量定义为 T 2 = X ′ ( W − 1 n ) X = n X ′ W − 1 X T^2=X'(\frac {W^{-1}}n)X=nX'W^{-1}X T2=X′(nW−1​)X=nX′W−1X，记作 T 2 ∼ T 2 ( p , n ) T^2\sim T^2(p,n) T2∼T2(p,n)。

非中心Hotelling T 2 T^2 T2分布：设 X ∼ N p ( μ , Σ ) X\sim N_p(\mu,\Sigma) X∼Np​(μ,Σ)，则存在非中心Hotelling T 2 T^2 T2分布 T 2 = n X ′ W − 1 X T^2=nX'W^{-1}X T2=nX′W−1X，记作 T 2 ∼ T 2 ( p , n , μ ) T^2\sim T^2(p,n,\mu) T2∼T2(p,n,μ)。

注意到，定义Hotelling T 2 T^2 T2统计量时，虽然为正态向量与Wishart向量都指定了自协方差矩阵 Σ \Sigma Σ，但在最后 T 2 T^2 T2分布的表达式中却没有出现，这说明Hotelling T 2 T^2 T2统计量是与 Σ \Sigma Σ无关的。同时，非中心Hotelling T 2 T^2 T2分布的非中心参数也只是 μ \mu μ，而不是非中心Wishart分布中的 n μ μ ′ n\mu\mu' nμμ′。

现在证明Hotelling T 2 T^2 T2统计量的分布与 Σ \Sigma Σ无关，只要证明对任何 T 2 = n X ′ W − 1 X T^2=nX' W^{-1}X T2=nX′W−1X，都与标准正态随机向量 U ∼ N p ( 0 , I p ) U\sim N_p(0,I_p) U∼Np​(0,Ip​)与对应的Wishart统计量 W 0 ∼ W p ( n , I n ) W_0\sim W_p(n,I_n) W0​∼Wp​(n,In​)构成的 T 0 2 = n U ′ W 0 − 1 U T_0^2=nU'W_0^{-1}U T02​=nU′W0−1​U同分布即可。由于 X ∼ N p ( 0 , Σ ) , W ∼ W p ( n , Σ ) X\sim N_p(0,\Sigma),W\sim W_p(n,\Sigma) X∼Np​(0,Σ),W∼Wp​(n,Σ)，所以 U = d Σ − 1 / 2 X , W 0 = d Σ − 1 / 2 W Σ − 1 / 2 . n U ′ W 0 − 1 / 2 U = d n X ′ Σ − 1 / 2 Σ 1 / 2 W − 1 Σ 1 / 2 Σ 1 / 2 X = n X ′ W − 1 X . U\stackrel {\rm d}= \Sigma^{-1/2}X,\quad W_0\stackrel {\rm d}= \Sigma^{-1/2}W\Sigma^{-1/2}.\\ nU'W_0^{-1/2} U\stackrel {\rm d}= nX'\Sigma^{-1/2}\Sigma^{1/2}W^{-1}\Sigma^{1/2}\Sigma^{1/2}X=nX'W^{-1}X. U=dΣ−1/2X,W0​=dΣ−1/2WΣ−1/2.nU′W0−1/2​U=dnX′Σ−1/2Σ1/2W−1Σ1/2Σ1/2X=nX′W−1X. 除此之外，Hotelling T 2 T^2 T2分布还有以下不需证明，但需要记忆的性质。

设 X ( α ) X_{(\alpha)} X(α)​是来自 N p ( μ , Σ ) N_p(\mu,\Sigma) Np​(μ,Σ)的随机样本， X ˉ , A \bar X,A Xˉ,A分别是正态总体 N p ( μ , Σ ) N_p(\mu,\Sigma) Np​(μ,Σ)的样本均值向量和样本离差阵，则建立如下统计量可以在 Σ \Sigma Σ未知时用来对 μ \mu μ进行参数检验 T 2 = [ n ( X ˉ − μ ) ] ′ ( A n − 1 ) [ n ( X ˉ − μ ) ] = n ( n − 1 ) ( X ˉ − μ ) ′ A ( X ˉ − μ ) ∼ T 2 ( p , n − 1 ) . T^2=[\sqrt n(\bar X-\mu)]'(\frac{A}{n-1})[\sqrt n(\bar X-\mu)]=n(n-1)(\bar X-\mu)'A(\bar X-\mu)\sim T^2(p,n-1). T2=[n ​(Xˉ−μ)]′(n−1A​)[n ​(Xˉ−μ)]=n(n−1)(Xˉ−μ)′A(Xˉ−μ)∼T2(p,n−1). 这一点与一元统计中 t t t分布的应用是类似的。

T 2 T^2 T2分布与 F F F分布之间存在关系：若 T 2 ∼ T 2 ( p , n ) T^2\sim T^2(p,n) T2∼T2(p,n)，则 n − p + 1 n p T 2 ∼ F ( p , n − p + 1 ) . \frac{n-p+1}{np}T^2\sim F(p,n-p+1). npn−p+1​T2∼F(p,n−p+1). 这就建立了 T 2 T^2 T2分布与一元三大分布的联系。另外，令 δ = n μ ′ Σ − 1 μ \delta=n\mu'\Sigma^{-1}\mu δ=nμ′Σ−1μ，还有 n − p ( n − 1 ) p T 2 ∼ F ( p , n − p , δ ) . \frac{n-p}{(n-1)p}T^2\sim F(p,n-p,\delta). (n−1)pn−p​T2∼F(p,n−p,δ).

T 2 T^2 T2统计量对非退化变换不变，即如果存在一个常数阵 C p × p C_{p\times p} Cp×p​和 p p p维向量 d d d， Y ( α ) = C X ( α ) + d Y_{(\alpha)}=CX_{(\alpha)}+d Y(α)​=CX(α)​+d，则 T y 2 = n ( n − 1 ) [ Y ˉ − ( C μ + d ) ] ′ A y − 1 [ Y ˉ − ( C μ + d ) ] = T x 2 T_y^2=n(n-1)[\bar Y-(C\mu+d)]'A_y^{-1}[\bar Y-(C\mu+d)]=T_x^2 Ty2​=n(n−1)[Yˉ−(Cμ+d)]′Ay−1​[Yˉ−(Cμ+d)]=Tx2​，只要注意到 Y = X C ′ + 1 p d ′ Y=XC'+\boldsymbol 1_pd' Y=XC′+1p​d′。

显然，Wilks分布应该对应一元分布中的 F F F分布，而 F F F分布主要用于检验两个正态总体的方差比。在多元统计中，方差变成了自协方差矩阵，不能直接作比，除非我们用一个数值来描述总体的离散程度。为此，我们定义广义方差的概念。

对于正态总体 X ∼ N p ( μ , Σ ) X\sim N_p(\mu,\Sigma) X∼Np​(μ,Σ)，协方差阵的行列式 ∣ Σ ∣ |\Sigma| ∣Σ∣称为总体 X X X的广义方差；如果从总体中抽取样本 X ( α ) ( α = 1 , ⋯   , n ) X_{(\alpha)}(\alpha=1,\cdots,n) X(α)​(α=1,⋯,n)，则样本广义方差定义为 det ⁡ ( A n ) \det(\frac An) det(nA​)或 det ⁡ ( A n − 1 ) \det(\frac A{n-1}) det(n−1A​)。

在有了样本广义方差的定义后，我们可以介绍Wilks分布的定义。

Wilks分布：设 A 1 ∼ W p ( n 1 , Σ ) , A 2 ∼ W p ( n 2 , Σ ) A_1\sim W_p(n_1,\Sigma),A_2\sim W_p(n_2,\Sigma) A1​∼Wp​(n1​,Σ),A2​∼Wp​(n2​,Σ)，则定义Wilks统计量为 Λ = ∣ A 1 ∣ ∣ A 1 + A 2 ∣ . \Lambda=\frac{|A_1|}{|A_1+A_2|}. Λ=∣A1​+A2​∣∣A1​∣​. 记作 Λ ∼ Λ ( p , n 1 , n 2 ) \Lambda \sim \Lambda(p,n_1,n_2) Λ∼Λ(p,n1​,n2​)。

如果 p = 1 p=1 p=1，则上下两个Wishart分布将退化成 χ 2 \chi^2 χ2分布，而 χ 2 \chi^2 χ2分布又是同尺度参数的 Γ \Gamma Γ分布，故 Λ ( 1 , n 1 , n 2 ) = β ( n 1 2 , n 2 2 ) \Lambda(1,n_1,n_2)=\beta(\frac {n_1}2,\frac{n_2}2) Λ(1,n1​,n2​)=β(2n1​​,2n2​​)。

以下是一些 Λ \Lambda Λ分布与 T 2 T^2 T2分布的联系，由于 T 2 T^2 T2分布可以直接转化成 F F F分布，所以 Λ \Lambda Λ分布也可以联系上 F F F分布。

n 2 = 1 n_2=1 n2​=1时，设 n = n 1 > p n=n_1>p n=n1​>p，则 Λ ( p , n , 1 ) = d 1 1 + 1 n T 2 ( p , n ) , T 2 ( p , n ) = d n ⋅ 1 − Λ ( p , n , 1 ) Λ ( p , n , 1 ) . n − p + 1 n p T 2 ( p , n ) = d n − p + 1 p 1 − Λ ( p , n , 1 ) Λ ( p , n , 1 ) = d F ( p , n − p + 1 ) . \Lambda(p,n,1)\stackrel {\rm d}=\frac{1}{1+\frac 1nT^2(p,n)},\quad T^2(p,n)\stackrel {\rm d}=n\cdot\frac{1-\Lambda(p,n,1)}{\Lambda(p,n,1)}.\\ \frac{n-p+1}{np}T^2(p,n)\stackrel {\rm d}=\frac{n-p+1}{p}\frac{1-\Lambda(p,n,1)}{\Lambda(p,n,1)}\stackrel {\rm d}=F(p,n-p+1). Λ(p,n,1)=d1+n1​T2(p,n)1​,T2(p,n)=dn⋅Λ(p,n,1)1−Λ(p,n,1)​.npn−p+1​T2(p,n)=dpn−p+1​Λ(p,n,1)1−Λ(p,n,1)​=dF(p,n−p+1).

n 2 = 2 n_2=2 n2​=2时，设 n = n 1 > p n=n_1>p n=n1​>p，则 n − p + 1 n 1 − Λ ( p , n , 2 ) Λ ( p , n , 2 ) = d F ( 2 p , 2 ( n − p + 1 ) ) . \frac{n-p+1}{n}\frac{1-\sqrt{\Lambda(p,n,2)}}{\sqrt{\Lambda(p,n,2)}}\stackrel {\rm d}= F(2p,2(n-p+1)). nn−p+1​Λ(p,n,2) ​1−Λ(p,n,2) ​​=dF(2p,2(n−p+1)).

p = 1 p=1 p=1时， n 1 n 2 1 − Λ ( 1 , n 1 , n 2 ) Λ ( 1 , n 1 , n 2 ) = d F ( n 2 , n 1 ) . \frac{n_1}{n_2}\frac{1-\Lambda(1,n_1,n_2)}{\Lambda(1,n_1,n_2)}\stackrel {\rm d}=F(n_2,n_1). n2​n1​​Λ(1,n1​,n2​)1−Λ(1,n1​,n2​)​=dF(n2​,n1​).

p = 2 p=2 p=2时， n 1 − 1 n 2 1 − Λ ( 2 , n 1 , n 2 ) Λ ( 2 , n 1 , n 2 ) = d F ( 2 n 2 , 2 ( n 1 − 1 ) ) . \frac{n_1-1}{n_2}\frac{1-\sqrt{\Lambda(2,n_1,n_2)}}{\sqrt{\Lambda(2,n_1,n_2)}}\stackrel {\rm d}=F(2n_2,2(n_1-1)). n2​n1​−1​Λ(2,n1​,n2​) ​1−Λ(2,n1​,n2​) ​​=dF(2n2​,2(n1​−1)).

n 2 > 2 , p > 2 n_2>2,p>2 n2​>2,p>2时，可以用 χ 2 \chi^2 χ2统计量近似，即对于 Λ ( p , n 1 , n 2 ) \Lambda(p,n_1,n_2) Λ(p,n1​,n2​)，当 n → ∞ n\to \infty n→∞时有 − r ln ⁡ Λ ∼ χ 2 ( p n 2 ) , r = n 1 − 1 2 ( p − n 2 + 1 ) . -r\ln \Lambda\sim \chi^2(pn_2),\quad r=n_1-\frac12(p-n_2+1). −rlnΛ∼χ2(pn2​),r=n1​−21​(p−n2​+1).

除此之外，还有两个结论：

若 Λ ∼ Λ ( p , n 1 , n 2 ) \Lambda\sim\Lambda(p,n_1,n_2) Λ∼Λ(p,n1​,n2​)，则存在 B k ∼ β ( n 1 − p + k 2 , n 2 2 ) ( k = 1 , ⋯   , p ) B_k\sim \beta(\frac{n_1-p+k}{2},\frac{n_2}{2})(k=1,\cdots,p) Bk​∼β(2n1​−p+k​,2n2​​)(k=1,⋯,p)相互独立，使得 Λ = d B 1 B 2 ⋯ B k . \Lambda\stackrel {\rm d}=B_1B_2\cdots B_k. Λ=dB1​B2​⋯Bk​.

若 n 2 < p n_2