测度论笔记（五）：乘积测度

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测度论笔记（五）：乘积测度

2023-05-04 13:57| 来源: 网络整理| 查看: 265

写在前面：本来几天前就该完结这篇笔记的，但阳了。

这是笔记的终章。

我们先研究两个测度空间的乘积测度空间，至于有限个是容易推广的。接着给出可数维乘积概率空间的构造方法，在此基础上，最后推广到任意无穷维。

一、两个测度空间的情形

设 $(X,\mathscr{F},\mu),(Y,\mathscr{G},\nu)$ 是两个测度空间，做笛卡尔积 $X\times Y=\left\{ (x,y):x\in X,y\in Y\right\}\\$ 欲在其上建立测度。首先是建立 $\sigma$ 代数，自然想到 $\mathscr{C}=\left\{ A\times B:A\in\mathscr{F},B\in\mathscr{G} \right\}\\$ $\mathscr{C}$ 中集称为可测矩形，但 $\mathscr{C}$ 并非 $\sigma$ 代数，但只需取 $\mathscr{F}\times \mathscr{G}=\sigma(\mathscr{C})\\$ 即可。于是我们得到了可测空间 $(X\times Y,\mathscr{F}\times \mathscr{G})\\$ 在建立测度之前，我们首先要介绍一个在以后将发挥巨大威力的定理。

定义5.1.1 称一集合系是 $\pi$ 系，若它对交封闭。称集合系 $\mathscr{L}$ 是 $\lambda$ 系，若它满足（1） $X\in\mathscr{L}$ ；（2） $A,B\in\mathscr{L}\Rightarrow A\setminus B\in\mathscr{L}$ ;（3） $E_n\uparrow\in\mathscr{L}\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}E_n\in\mathscr{L}.$

从定义直接看出 $\mathscr{C}$ 是 $\pi$ 系。另外，若某集合系同时是 $\pi$ 系和 $\lambda$ 系，则它一定是 $\sigma$ 代数。

定理5.1.1（ $\pi-\lambda$ 定理） $\pi$ 系生成的 $\lambda$ 系等于它生成的 $\sigma$ 代数。

$\text{Proof:}$

设 $\mathscr{C}$ 是一 $\pi$ 系，显然有 $\lambda(\mathscr{C})\subset\sigma(\mathscr{C})\\$ 为证反方向，只需证 $\lambda(\mathscr{C})$ 是一 $\sigma$ 代数。而这又只需证 $\lambda(\mathscr{C})$ 是 $\pi$ 系，即 $E,F\in\lambda(\mathscr{C})\Rightarrow E\cap F\in\lambda(\mathscr{C})\\$ 我们先证一个稍弱的结论 $E\in\mathscr{C},F\in\lambda(\mathscr{C})\Rightarrow E\cap F\in\lambda(\mathscr{C})\\$ 固定 $E\in\mathscr{C}$ ，做 $\mathscr{M_1}(E)=\left\{ F\in\lambda(\mathscr{C}):E\cap F\in\lambda(\mathscr{C}) \right\}\\$ 显然 $\mathscr{C}\subset\mathscr{M_1}(E)\subset \lambda(\mathscr{C})\\$ 于是只需证 $\mathscr{M_1}(E)$ 是一 $\lambda$ 系就证得结论。而这是容易验证的。

接着，固定 $E\in\lambda(\mathscr{C})$ ，做 $\mathscr{M_2}(E)=\left\{ F\in\lambda(\mathscr{C}):E\cap F\in\lambda(\mathscr{C}) \right\}\\$ 由刚才证得的结论，仍然有 $\mathscr{C}\subset\mathscr{M_2}(E)\subset \lambda(\mathscr{C})$ ，再验证 $\mathscr{M_2}(E)$ 是 $\lambda$ 系即可。证毕。

回到我们的主线任务，我们已经建立了乘积可测空间，而欲在其上建立测度。回想数学分析中用二重积分或者说累次积分计算面积的方法，对任意 $E\in\mathscr{F}\times\mathscr{G}$ ，我们定义 $\varphi(E)=\int_{X}\mu(\mathrm{d}x)\int_{{E_x}}\nu(\mathrm{d}y)\equiv\int_{X}\mu(\mathrm{d}x)\int_Y1_{E_x}\nu(\mathrm{d}y)\\$ 这里 E_x 是所谓的截口，定义为 $E_x\triangleq\left\{ y\in Y:(x,y)\in E \right\}\\$ $\varphi$ 的定义，读者只需类比于数学分析中的累次积分定限的方法就能理解。或许下面的等价形式更好理解 $\varphi(E)=\int_{X}\nu(E_x)\mu(\mathrm{d}x)\\$ 但是，上式中出现了 $\nu(E_x)$ ，所以我们必须证明如下的命题：

定理5.1.2 对任意 $E\in\mathscr{F}\times\mathscr{G},x\in X$ ， E_x

都是 $\nu$ 可测的。

$\text{Proof:}$

令 $\mathscr{L}=\left\{ E\in\mathscr{F}\times\mathscr{G}:\forall x\in X,E_x关于\nu可测 \right\}\\$ 当 $E=A\times B$ 时，显然 $E\in\mathscr{L}$ ，从而 $\mathscr{C}\subset \mathscr{L}\subset\mathscr{F}\times\mathscr{G}\\$ 由 $\pi-\lambda$ 定理，只需证明 $\mathscr{L}$ 是一 $\lambda$ 系，令上述三者同时生成 $\lambda$ 系就得到 $\mathscr{L}=\mathscr{F}\times\mathscr{G}\\$ 注意截口的下列性质 $(E^c)_x=(E_x)^c\\ \left( \bigcup_{i\in I}E \right)_x= \bigcup_{i\in I}\left(E_x \right)\\ \left( \bigcap_{i\in I}E \right)_x= \bigcap_{i\in I}\left(E_x \right)\\$ 这里是任意指标集。由这些性质不难证明 $\mathscr{L}$ 是一 $\lambda$ 系。证毕。

从而可以有

定理5.1.3 设 $(X,\mathscr{F},\mu),(Y,\mathscr{G},\nu)$ 是两个有限测度空间，则在 $(X\times Y,\mathscr{F}\times \mathscr{G})$ 上有唯一的测度 $\mu\times\nu$ 使得任意 $A\in\mathscr{F},B\in\mathscr{G}$ 都有 $(\mu\times\nu)(A\times B)=\mu(A)\nu(B)\\$

$\text{Proof:}$

先证唯一性，设 $\varphi_1,\varphi_2$ 都满足定理条件，我们证明 $\varphi_1=\varphi_2.$ 令 $\mathscr{L}=\left\{ E\in\mathscr{F}\times\mathscr{G}:\varphi_1(E)=\varphi_2(E) \right\}\\$ 显然 $\mathscr{C}\subset\mathscr{L}$ ，验证 $\mathscr{L}$ 是 $\lambda$ 系，由 $\pi-\lambda$ 定理可知唯一性成立。

为造这测度，如同以前说的，定义 $(\mu\times\nu)(E)=\int_{X}\nu(E_x)\mu(\mathrm{d}x)\\$ 显然是非负集函数，至于可列可加性，直接推导有 $\begin{align} (\mu\times\nu)\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n\right)&=\int_{X}\nu\left(\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n\right)_x\right)\mu(\mathrm{d}x)\\ &=\int_{X}\nu\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(E_n\right)_x\right)\mu(\mathrm{d}x)\\ &=\int_X\sum_{n=1}^{\infty}\nu((E_n)_x)\mathscr{d}\mu\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\int_X\nu((E_n)_x)\mathscr{d}\mu\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}(\mu\times\nu)\left(E_n\right) \end{align}\\$ 显然这测度满足定理要求，证毕。

自然，以上所有定理都可以对调 x,y 的位置而不影响其正确性。

二、 $\text{Fubini}$ 定理

我们已经建立了乘积测度空间 $(X\times Y,\mathscr{F}\times \mathscr{G},\mu\times\nu)$ ，那么自然有所谓的重积分。与数学分析一样，我们要研究重积分何时可以化为累次积分，而累次积分什么时候可以换序。

为此，需介绍可测函数的单调类定理：

定理5.2.1（函数单调类定理） 设 $\mathscr{H}$ 是 $(X,\mathscr{F},\mu)$ 上可测函数的集合，满足（1） $1\in\mathscr{H}$ ；（2） $\mathscr{H}$ 是一线性空间；（3）对 $f_n\in\mathscr{H},f_n\uparrow f$ 有界，有 $f\in\mathscr{H}$ ；（4）对某个满足 $\sigma(\mathscr{P})=\mathscr{F}$ 的 $\pi$ 系 $\mathscr{P}$ ，任意 $E\in\mathscr{P}$ 有 $1_E\in\mathscr{H}.$ 则 $\mathscr{H}$ 包含了所有的有界可测函数。

$\text{Proof:}$

我们先证明 $\mathscr{H}$ 包含所有示性函数，然后由（2）知其包含所有简单函数，由（3）知其包含所有有界非负可测函数，再由（2）知其包含所有有界可测函数。

令 $\mathscr{L}=\left\{ E\in\mathscr{F}:1_E\in\mathscr{H} \right\}\\$ 那么有 $\mathscr{P}\subset\mathscr{L}\subset\mathscr{F}\\$ 由 $\pi-\lambda$ 定理及（4）知只需证 $\mathscr{L}$ 是一 $\lambda$ 系即可。而这是显然的，证毕。

定理5.2.1可以用来证明诸如“任意可测函数具有性质 ”的命题，重要的是找到（4）中的 $\pi$ 系，而在本章，它显然就是全体可测矩形之集 $\mathscr{C}.$

定理5.2.2（ $\text{Fubini}$ 定理） 对 $(X\times Y,\mathscr{F}\times \mathscr{G},\mu\times\nu)$ 上所有非负可测函数

，重积分可化为累次积分 $\iint_{X\times Y}f(x,y)\mathrm{d}(\mu\times\nu)=\int_X\mu(\mathrm{d}x)\int_Yf(x,y)\nu(\mathrm{d}y)\\$ 对调 x,y

位置结论同样成立。

$\text{Proof:}$

我们用函数的单调类定理来证明之。令 $\mathscr{H}$ 是使得定理成立的有界可测函数之集。那么

（1） $1\in\mathscr{H}$ ；

（2）由积分的线性可知 $\mathscr{H}$ 是一线性空间；

（3）由单调收敛定理可知本条性质成立；

（4）取 $\mathscr{P}=\mathscr{C}$ 即可。

因此 $\mathscr{H}$ 包含了全体有界可测函数。对任意非负可测的，取 $\mathscr{H}$ 中的 $f_n\uparrow f$ ，再由单调收敛定理得证。

事实上，对未必非负的情形，只需要积分存在，再做正部负部的分解可知 $\text{Fubini}$ 定理照样成立。

三、可数维乘积概率空间

接下来我们只探讨概率空间。

设 $(\Omega_i,\mathscr{F}_i,\mathbb{P}_i)_{i\geq1}$ 是一列概率空间，令 $\prod_{i=1}^{\infty}\Omega_i\triangleq\left\{ \omega:\mathbb{N}\rightarrow\bigcup_{i=1}^{\infty}\Omega_i\Big|\omega(i)\in\Omega_i,\forall i\geq1 \right\}\\$ 之所以这样定义是为了方便后面任意无穷维乘积概率空间的构造。

接着构造 $\sigma$ 代数，令 $\mathscr{A}_n=\left\{ A_n\times\prod_{i=n+1}^{\infty}\Omega_i:A_n\in\prod_{i=1}^{n}\mathscr{F}_i \right\}\\$ 其中之集称为维可测柱集，所谓维可测自然来自于 $A_n\in\prod_{i=1}^{n}\mathscr{F}_i$ ，而所谓“柱”当然是指 $\prod_{i=n+1}^{\infty}\Omega_i.$ 再令 $\mathscr{A}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\mathscr{A}_n,\prod_{i=1}^{\infty}\mathscr{F}_i=\sigma(\mathscr{A})\\$ 这里 $\mathscr{A}$ 就是全体有限维可测柱集之集合，将 $\sigma$ 代数定义为全体有限维可测柱集生成的 $\sigma$ 代数。现在就有可数无穷维可测空间 $(\prod_{i=1}^{\infty}\Omega_i,\prod_{i=1}^{\infty}\mathscr{F}_i)\\$ 如何在其上建立概率测度？我们指出，不必大费周章，只需注意到 $\mathscr{A}_n$ 是 $\sigma$ 代数且单调递增，那么 $\mathscr{A}$ 是代数。依第一章所言，只需在 $\mathscr{A}$ 上建立概率测度，自然就可扩张到 $\prod_{i=1}^{\infty}\mathscr{F}_i$ 上。

对 $E\in\mathscr{A}$ ， $E=A_n\times\prod_{i=n+1}^{\infty}\mathscr{F}_i$ ，这里 $A_n\in\prod_{i=1}^{n}\mathscr{F}_i.$ 定义 $\left(\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}_i\right)(E)=\left(\prod_{i=1}^{n}\mathbb{P}_i\right)(A_n)\\$ 显然是良定义的。接下来我们证明这是一个测度，不加证明地给出下面的引理：

引理5.3.1 代数上有限的有限可加集函数是有限测度当且仅当它在 $\emptyset$ 处上连续。

那么

定理5.3.2 如上定义的 $\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}_i$ 是 $\mathscr{A}$ 上的测度。

这定理的证明相当有技巧性。

$\text{Proof:}$

（1）先证明 $\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}_i$ 是有限可加的。设不交的 $E,F\in\mathscr{A}$ ，不妨设，假设 $E=A_n\times\prod_{i=n+1}^{\infty}\Omega_i,A_n\in\prod_{i=1}^{n}\mathscr{F}_i;\\ F=B_m\times\prod_{i=m+1}^{\infty}\Omega_i,B_m\in\prod_{i=1}^{m}\mathscr{F}_i;\\$ 那么 $A_n\cap \left( B_m\times\prod_{i=m+1}^{n}\Omega_i \right)=\emptyset.$ 从而 $\begin{align} &\left(\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}_i\right)(E\cup F)\\ &=\left(\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}_i\right)\left( \left(A_n\cup\left( B_m\times\prod_{i=m+1}^{n}\Omega_i\right)\right)\times\prod_{i=n+1}^{\infty}\Omega_i \right)\\ &=\left(\prod_{i=1}^{n}\mathbb{P}_i\right)\left(A_n\cup\left( B_m\times\prod_{i=m+1}^{n}\Omega_i\right)\right)\\ &=\left(\prod_{i=1}^{n}\mathbb{P}_i\right)\left(A_n\right)+\left(\prod_{i=1}^{n}\mathbb{P}_i\right)\left( B_m\times\prod_{i=m+1}^{n}\Omega_i\right)\\ &=\left(\prod_{i=1}^{n}\mathbb{P}_i\right)\left(A_n\right)+\left(\prod_{i=1}^{m}\mathbb{P}_i\right)\left( B_m\right)\\ &=\left(\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}_i\right)(E)+\left(\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}_i\right)(F)\\ \end{align}\\$ 得证。

（2）现在证 $\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}_i$ 在 $\emptyset$ 处上连续。设 $E_n\in\mathscr{A},E_n\downarrow\emptyset$ ，我们证明 $\left(\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}_i\right)(E_n)\downarrow0.$

设 $E_n=A_{n}\times\prod_{i=\pi(n)+1}^{\infty}\Omega_i$ ，这里 $A_n\in\prod_{i=1}^{\pi(n)}\mathscr{F}_i.$ 由 E_n 的单调性，可知 $\pi(n)$ 单调不减。进一步可设 $\pi(n)$ 严格增，这是因为若有使得 $E_m=A_{m}\times\prod_{i=\pi(m)+1}^{\infty}\Omega_i\\ E_{m+1}=A_{m+1}\times\prod_{i=\pi(m)+1}^{\infty}\Omega_i\\$ 而后者可以改写为 $E_{m+1}=A_{m+1}\times\Omega_{\pi(m)+1}\times\prod_{i=\pi(m)+2}^{\infty}\Omega_i\\$ 再进一步，可设 $\pi(n)=n$ ，这是因为这序列必要时可重复若干项。现在我们有 $E_n=A_{n}\times\prod_{i=n+1}^{\infty}\Omega_i$ ， $A_n\in\prod_{i=1}^{n}\mathscr{F}_i.$ 因此现在要证明 $\left(\prod_{i=1}^{n}\mathbb{P}_i\right)(A_n)\downarrow0.\\$ 反设这式子不成立，那么有某个 $\varepsilon0$ 使得 $\left(\prod_{i=1}^{n}\mathbb{P}_i\right)(A_n)\geq\varepsilon$ 对所有成立。

任意 $\omega_1\in\Omega_1$ ， $n\geq2$ ，令 $A_n(\omega_1)=\left\{ (\omega_2,\cdots,\omega_n)\in\prod_{i=2}^{n}\Omega_i:(\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n)\in A_n \right\}\\$ 由于 $A_n\subset A_1\times\Omega_2\times\cdots\times\Omega_n$ ，则当 $\omega_1\not\in A_1$ 时 $A_n(\omega_1)=\emptyset.$ 那么 $\varepsilon\leq\left(\prod_{i=1}^{n}\mathbb{P}_i\right)(A_n)=\int_{A_1}\left(\prod_{i=2}^{n}\mathbb{P}_i\right) \left(A_n(\omega_1)\right)\mathbb{P}_1(\mathrm{d}\omega_1)\\$ 令 $G_n=\left\{ \omega_1\in\ A_1:\left(\prod_{i=2}^{n}\mathbb{P}_i\right) \left(A_n(\omega_1)\right)\geq\frac{\varepsilon}{2} \right\}\\$ 则有 $\varepsilon\leq\mathbb{P}_1(G_n)+\frac{\varepsilon}{2}\\$ 即 $\mathbb{P}_1(G_n)\geq\varepsilon/2.$ 又 $A_{n+1}(\omega_1)\subset A_{n}(\omega_1)\times\Omega_{n+1}$ ，从而 $\left(\prod_{i=2}^{n+1}\mathbb{P}_i\right) \left(A_{n+1}(\omega_1)\right)\leq\left(\prod_{i=2}^{n+1}\mathbb{P}_i\right) \left(A_{n}(\omega_1)\times\Omega_{n+1}\right)=\left(\prod_{i=2}^{n}\mathbb{P}_i\right) \left(A_{n}(\omega_1)\right)\\$ 因此 G_n 单调不增，则 $\mathbb{P}_1(\bigcap_{n=2}^{\infty}G_n)=\lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb{P}_1(G_n)\geq\frac{\varepsilon}{2}\\$ 从而有某 $\omega_1^0\in A_1$ 使得 $\omega_1^0\in G_n$ 对所有 $n\geq2$ 成立，也即 $\left(\prod_{i=2}^{n}\mathbb{P}_i\right) \left(A_n(\omega_1^0)\right)\geq\frac{\varepsilon}{2},\forall n\geq2.\\$ 现在对 $n\geq2$ 令 $E_n(\omega_1^0)=A_n(\omega_1^0)\times\prod_{i=n+1}^{\infty}\Omega_i.$ 并且以 $\left( \frac{\varepsilon}{2},\prod_{i=2}^{\infty}\Omega_i,\prod_{i=2}^{\infty}\mathscr{F}_i,\prod_{i=2}^{\infty}\mathbb{P}_i,E_n(\omega_1^0) \right)\\$ 代替上面的 $\left( \varepsilon,\prod_{i=1}^{\infty}\Omega_i,\prod_{i=1}^{\infty}\mathscr{F}_i,\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}_i,E_n \right)\\$ 进行重复推理。可知有 $\omega_2^0\in A_2(\omega_1^0)$ ——即 $(\omega_1^0,\omega_1^1)\in A_2$ ——使得 $\left(\prod_{i=3}^{n}\mathbb{P}_i\right) \left(A_n(\omega_1^0,\omega_1^1)\right)\geq\frac{\varepsilon}{4},\forall n\geq3.\\$ 如此这般，有一列 $\left\{ \omega_1^n,n\geq0 \right\}$ 使得 $(\omega_1^0,\omega_1^1,\cdots,\omega_1^n)\in A_n\\$ 自然有 $(\omega_1^0,\omega_1^1,\cdots,\omega_1^n\cdots)\in E_n\\$ 那么 $\bigcap_{n=1}^{\infty}E_n\not=\emptyset.$ 矛盾，故 $\left(\prod_{i=1}^{n}\mathbb{P}_i\right)(A_n)\downarrow0.\\$ （3）显然有 $\left(\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}_i\right)\left(\prod_{i=1}^{\infty}\Omega_i\right)=1.\\$ 因此 $\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}_i$ 是概率测度。证毕。

下面的定理表明 $\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}_i$ 确实是“乘起来的概率”。

定理5.3.3 设 $E_n\in \mathscr{F}_n$ ，则 $\left(\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}_i\right)\left( \prod_{i=1}^{\infty}E_i \right)=\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}_i(E_i)\\$

$\text{Proof:}$

令 $F_n=\prod_{i=1}^{n}E_i\times\prod_{i=n+1}^{\infty}\Omega_i$ ，则 $F_n\downarrow\prod_{i=1}^{\infty}E_i$ ，那么 $\begin{align} \left(\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}_i\right)\left( \prod_{i=1}^{\infty}E_i \right)&=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}_i\right)\left( F_n \right)\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\prod_{i=1}^{\infty}\mathbb{P}_i\right)\left( \prod_{i=1}^{n}E_i\times\prod_{i=n+1}^{\infty}\Omega_i \right)\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\prod_{i=1}^{n}\mathbb{P}_i\right)\left( \prod_{i=1}^{n}E_i \right)\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{i=1}^{n}\mathbb{P}_i(E_i)\\ &=\prod_{i=1}^{n}\mathbb{P}_i(E_i)\\ \end{align}\\$ 证毕。

四、 $\text{Kolmogorov}$ 相容性定理

给定可数无穷维 $\text{Borel}$ 可测空间 $(\mathbb{R}^{\infty},\mathscr{B}^{\infty})$ ，并赋予一概率测度 $\mathbb{P}.$ 定义投影映射 $\pi_n:\mathbb{R}^{\infty}\rightarrow\mathbb{R}^{n}\\$ 这里 $\pi_n(x_1,x_2,\cdots)=(x_1,\cdots ,x_n).$ 那么 $\mathbb{P}_n\triangleq\mathbb{P}\circ\pi_n^{-1}$ 成为 $(\mathbb{R}^{n},\mathscr{B}^{n})$ 上的概率测度，并且对 $\mathbb{P}_n=\mathbb{P}_m\circ\pi_{mn}^{-1}\\$ 这里 $\pi_{mn}$ 是 $\mathbb{R}^{m}$ 到 $\mathbb{R}^{n}$ 的投影映射。上式称为相容性条件。

现在要问反问题：对每个， $\mathbb{P}_n$ 都是 $(\mathbb{R}^{n},\mathscr{B}^{n})$ 上的概率测度，并满足相容性条件。是否有 $(\mathbb{R}^{\infty},\mathscr{B}^{\infty})$ 上的概率测度 $\mathbb{P}$ ，使得 $\mathbb{P}_n=\mathbb{P}\circ\pi_n^{-1}$ ？

这个问题由苏联最伟大的数学家之一、伟大的概率论导师 $\text{Kolmogorov}$ 解决：

定理5.4.1 设对每个

， $\mathbb{P}_n$ 都是 $(\mathbb{R}^{n},\mathscr{B}^{n})$ 上的概率测度，并满足相容性条件。那么在 $(\mathbb{R}^{\infty},\mathscr{B}^{\infty})$ 上存在唯一的概率测度 $\mathbb{P}$ ，使得 $\mathbb{P}_n=\mathbb{P}\circ\pi_n^{-1}\\$

这个定理的证明相当复杂，并且涉及一定的拓扑知识，我们略去（其实是不想写了）。

五、任意无穷维乘积概率空间

设是不可数指标集， $(\Omega_t,\mathscr{F}_t,\mathbb{P}_t)_{t\in T}$ 是概率空间。类似可数的情况，令 $\prod_{t\in T}\Omega_t=\left\{ \omega:T\rightarrow\bigcup_{t\in T}\Omega_i\Big|\omega(t)\in\Omega_t,\forall t\in T \right\}\\$ 设 $E\subset\prod_{t\in T}\Omega_t$ ，若存在的可数子集以及 $A\in \prod_{t\in S}\mathscr{F}_t$ ，使得 $E=A\times\prod_{t\in T\setminus S}\Omega_t$ ，则称是以为底的可测柱集。全体可测柱集生成的 $\sigma$ 代数称为任意无穷维乘积 $\sigma$ 代数，记作 $\prod_{t\in T}\mathscr{F}_t.$

下面是关键的定理，它帮助我们把任意无穷维转化为可数无穷维。

定理5.5.1 记 $\mathscr{F}_S=\prod_{t\in S}\mathscr{F}_t$ ，下式成立 $\prod_{t\in T}\mathscr{F}_t=\bigcup_{S\subset T,S可数}\mathscr{F}_S\times\prod_{t\in T\setminus S}\Omega_t\\$

证明略去。

对 $E=A\times\prod_{t\in T\setminus S}\Omega_t$ ， $A\in \prod_{t\in S}\mathscr{F}_t$ ，定义 $\mathbb{P}(E)=\left(\prod_{t\in S}\mathbb{P}_t\right)(A)\\$ 自然要验证定义的一意性。设 $E=A_1\times\prod_{t\in T\setminus S_1}\Omega_t=A_2\times\prod_{t\in T\setminus S_2}\Omega_t\\$ 其中 $A_i\in \prod_{t\in S_i}\mathscr{F}_t,i=1,2.$

令 $S=S_1\cap S_2$ ，是在 $\prod_{t\in S}\Omega_t$ 上的投影，它等于 A_1 在 $\prod_{t\in S}\Omega_t$ 上的投影，对 A_2 也同样成立。那么 $\begin{align} \left(\prod_{t\in S_1}\mathbb{P}_t\right)(A_1)&= \left(\prod_{t\in S_1}\mathbb{P}_t\right)(A)\cdot\prod_{t\in S\setminus S_1}\mathbb{P}_t(\Omega_t)\\ &=\left(\prod_{t\in S_2}\mathbb{P}_t\right)(A)\cdot\prod_{t\in S\setminus S_2}\mathbb{P}_t(\Omega_t)\\ &=\left(\prod_{t\in S_2}\mathbb{P}_t\right)(A_2) \end{align}\\$

定理5.5.2 如上定义的 $\mathbb{P}$ 是一个测度。

$\text{Proof:}$

显然只要证明可列可加性。

设不交的 $E_n\in\prod_{t\in T}\mathscr{F}_t$ ， $E_n=A_n\times\prod_{t\in T\setminus S_n}\Omega_t$ ，这里 S_n 可数，并且 $A_n\in\prod_{t\in S_n}\mathscr{F}_t.$

令 $S=\bigcup_{n=1}^{\infty}S_n$ 仍可数，则所有的 $E_n\in\prod_{t\in S}\mathscr{F}_t\times\prod_{t\in T\setminus S}\Omega_t$ ，从而依可数维乘积概率空间的知识可知可列可加性成立。

仿第四节的定理，推广到任意维空间上，我们有

定理5.5.3 设

是无穷指标集， $\Omega_t=\mathbb{R},\mathscr{F}_t=\mathscr{B}.$ 对任意有限的 $\tau=\left\{ t_1,t_2,\cdots,t_n \right\}\subset T$ ，有 $(\mathbb{R}^{\tau},\mathscr{B}^{\tau})=(\mathbb{R}_{t_1},\mathscr{B}_{t_1})\times(\mathbb{R}_{t_2},\mathscr{B}_{t_2})\times\cdots\times(\mathbb{R}_{t_n},\mathscr{B}_{t_n})\\$ 上的概率测度 $\mathbb{P}^{\tau}.$ 并且满足相容性条件：对任意 $\tau_1\subset\tau_2$ 有 $\mathbb{P}^{\tau_1}=\mathbb{P}^{\tau_2}\circ\pi_{\tau_2,\tau_1}^{-1}\\$ 那么在 $(\mathbb{R}^{T},\mathscr{B}^{T})$ 上存在唯一的概率测度 $\mathbb{P}^{T}$ 使得 $\mathbb{P}^{\tau}=\mathbb{P}^{T}\circ\pi_{\tau_1}^{-1}\\$ 对任意 $\tau=\left\{ t_1,t_2,\cdots,t_n \right\}\subset T$ 成立。

到此，测度论笔记就告一段落了。这是笔者这学期的主要收获。当然，笔者的水平非常有限，笔误、疏漏甚至是错误一定在所难免，恳请读者读到时能私信我加以改正，不胜感激！

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测度论笔记（五）：乘积测度

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