極限 (數列) |
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極限 (數列)
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極限（英語：Limit）為某些數列才擁有的特殊值，當數列的下標越來越大的時候，數列的值也就越接近那個特殊值。 目录 1 定義 1.1 實數數列的極限 2 基本性質 2.1 唯一性 2.2 有界性 2.3 保序性 3 四則運算定理 4 審斂法 5 柯西數列 6 参考文献列表 7 參看 定義[编辑]取一复数數列 { z i ∈ C } i ∈ N {\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }} ，若有一複數 z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } ，使得 「对于任意的正实数 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在自然数 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ，使得任意的自然数 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } ，只要 i > n {\displaystyle i>n} ，則 | z i − z | ϵ > 0 ) ( ∃ n ∈ N ) ( ∀ n ∈ N ) [ ( i > n ) ⇒ ( | z i − z | C } i ∈ N {\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }} 收敛于 z {\displaystyle z} （convergent to z {\displaystyle z} ），並记作 lim i → ∞ z i = z {\displaystyle \lim _{i\to \infty }z_{i}=z}如果不存在這樣的複數 z ∈ C {\displaystyle z\in \mathbb {C} } ，則稱 { z i ∈ C } i ∈ N {\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }} 是發散的（divergent）。 實數數列的極限[编辑]從上面的定義可以證明，對實數數列 { z i ∈ R } i ∈ N {\displaystyle \{z_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }} 來說，若 lim i → ∞ z i = z {\displaystyle \lim _{i\to \infty }z_{i}=z}則其極限 z {\displaystyle z} 一定為实数 ，因為假設 z {\displaystyle z} 的虛部 Im ( z ) ≠ 0 {\displaystyle \operatorname {Im} (z)\neq 0} 的話，則對上面的定義取 ϵ = | Im ( z ) | > 0 {\displaystyle \epsilon =|\operatorname {Im} (z)|>0} 的話，會存在 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ，使得任意的 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } ，只要 i > n {\displaystyle i>n} 有 ( z i ) 2 + ( Im ( z ) ) 2 ( z ) = 0 {\displaystyle \operatorname {Im} (z)=0} ，即 z ∈ R {\displaystyle z\in \mathbb {R} } 。 基本性質[编辑] 唯一性[编辑]定理 — 若數列 { z i ∈ C } i ∈ N {\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }} 的極限存在，則極限是唯一的。[1]:29 證明設數列 { z i ∈ C } i ∈ N {\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }} 有兩個不相等的極限值 z 1 , z 2 ∈ C {\displaystyle z_{1},\,z_{2}\in \mathbb {C} } ，則根據假設，對任意的 ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在 n 1 , n 2 ∈ N {\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} } ，使任意 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } ，只要 i > max { n 1 , n 2 } {\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}} 就有 | z i − z 1 | z 2 | > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ， 只要自然數 i > n {\displaystyle i>n} 就有則 | z 1 − z 2 | = | ( z 1 − z i ) − ( z 2 − z i ) | ≤ | z 1 − z i | + | z 2 − z i | z 2 | > 0 {\displaystyle |z_{1}-z_{2}|>0} 會得到 | z 1 − z 2 | z 2 | = 0 {\displaystyle |z_{1}-z_{2}|=0} ，也就是 z 1 = z 2 {\displaystyle z_{1}=z_{2}} ，故極限唯一。 ◻ {\displaystyle \Box } 有界性[编辑]定理 — 若數列 { x i ∈ R } i ∈ N {\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }} 有極限，則存在正实数 M > 0 {\displaystyle M>0} ，使得對所有的自然数 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 都有 | x i | ≤ M {\displaystyle |x_{i}|\leq M} 。[1]:29-30 （即 { x i ∈ R } i ∈ N {\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }} 有極限則必為有界數列） 證明因為 { x i ∈ R } i ∈ N {\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }} 有極限，假設有实数 L ∈ R {\displaystyle L\in \mathbb {R} } 滿足 lim n → ∞ x n = L {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=L}這樣的話，對於 ϵ = 1 {\displaystyle \epsilon =1} ，存在自然数 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ，使得任意的自然数 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } ，只要 i > n {\displaystyle i>n} ，則 | x i − L | L ) + L | ≤ | x n − L | + | L | M {\displaystyle |x_{i}|\leq M}故得証。 ◻ {\displaystyle \Box } 根據实质条件的意義，上面的定理等價於「如果一個實數數列無界，則這個實數數列一定發散。」[1]:30 注意有界數列不一定有極限，如數列 1 , 0 , 1 , 0 , ⋯ , 1 − ( − 1 ) n 2 , ⋯ {\displaystyle 1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots } 是一個有界數列，但沒有極限。 但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，則可以證明，數列存在極限。 保序性[编辑]定理 — 有實數數列 { x i ∈ R } i ∈ N {\displaystyle \{x_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }} 和 { y i ∈ R } i ∈ N {\displaystyle \{y_{i}\in \mathbb {R} \}_{i\in \mathbb {N} }} ，若 lim n → ∞ x n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a} lim n → ∞ y n = b {\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}則「 a > b {\displaystyle a>b} 」等價於「存在 n ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } 使任何 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 只要 i > n {\displaystyle i>n} 就有 x i > y i {\displaystyle x_{i}>y_{i}} 」。[1]:30 證明左至右： 取 ϵ = a − b 2 > 0 {\displaystyle \epsilon ={\frac {a-b}{2}}>0} ，則由前提假設，存在 n 1 , n 2 ∈ N {\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} } 使任何 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 只要 i > max { n 1 , n 2 } {\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2}\}} 就有 | x i − a | b | b 2 = a + b 2 {\displaystyle y_{n} > 0 {\displaystyle \epsilon >0} ，存在 n 1 , n 2 ∈ N {\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} } 使任何 i ∈ N {\displaystyle i\in \mathbb {N} } 只要 i > max { n 1 , n 2 , n } {\displaystyle i>\max\{n_{1},\,n_{2},\,n\}} 就有 ϵ − a − b y i {\displaystyle \Box } 四則運算定理[编辑]設 lim n → ∞ x n = a {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=a} ， lim n → ∞ y n = b {\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b} ，則 lim n → ∞ ( x n ± y n ) = a ± b {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=a\pm b} ； lim n → ∞ x n ⋅ y n = a ⋅ b {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=a\cdot b} ； 若 b ≠ 0 , y n ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0,{y_{n}}\neq 0} ,則 lim n → ∞ x n y n = a b {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}} . 審斂法[编辑]其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。 柯西數列[编辑] 主条目：柯西序列 参考文献列表[编辑] ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 华东师范大学数学系. 数学分析 第四版 上册. 北京: 高等教育出版社. 2010年7月第4版. ISBN 978-7-04-029566-5. 请检查|date=中的日期值 (帮助) 參看[编辑] 级数 函数极限 |
，若有一複數
z
∈
C
{\displaystyle z\in \mathbb {C} }
，使得
，存在自然数
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
，使得任意的自然数
i
∈
N
{\displaystyle i\in \mathbb {N} }
，只要
i
>
n
{\displaystyle i>n}
，則
|
z
i
−
z
|
ϵ
>
0
)
(
∃
n
∈
N
)
(
∀
n
∈
N
)
[
(
i
>
n
)
⇒
(
|
z
i
−
z
|
C
}
i
∈
N
{\displaystyle {\{z_{i}\in \mathbb {C} \}}_{i\in \mathbb {N} }}
（convergent to
z
{\displaystyle z}
來說，若
的話，則對上面的定義取
ϵ
=
|
Im
(
z
)
|
>
0
{\displaystyle \epsilon =|\operatorname {Im} (z)|>0}
的話，會存在
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
，即
z
∈
R
{\displaystyle z\in \mathbb {R} }
。
基本性質[编辑]
唯一性[编辑]
，則根據假設，對任意的
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
，使任意
i
∈
N
{\displaystyle i\in \mathbb {N} }
就有
會得到
|
z
1
−
z
2
|
z
2
|
=
0
{\displaystyle |z_{1}-z_{2}|=0}
，也就是
z
1
=
z
2
{\displaystyle z_{1}=z_{2}}
，故極限唯一。
◻
{\displaystyle \Box }
有界性[编辑]
有極限，則存在正实数
M
>
0
{\displaystyle M>0}
，使得對所有的自然数
i
∈
N
{\displaystyle i\in \mathbb {N} }
。[1]:29-30
滿足
，存在自然数
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
是一個有界數列，但沒有極限。
，若
lim
n
→
∞
y
n
=
b
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=b}
」等價於「存在
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
」。[1]:30
，則由前提假設，存在
n
1
,
n
2
∈
N
{\displaystyle n_{1},\,n_{2}\in \mathbb {N} }
就有
ϵ
−
a
−
b
y
i
{\displaystyle \Box }
；
lim
n
→
∞
x
n
⋅
y
n
=
a
⋅
b
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=a\cdot b}
；
若
b
≠
0
,
y
n
≠
0
{\displaystyle b\neq 0,{y_{n}}\neq 0}
,則
lim
n
→
∞
x
n
y
n
=
a
b
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {a}{b}}}
.
審斂法[编辑]
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