【数学基础】矩阵的特征向量、特征值及其含义 |
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在线代课上,老师会教我们怎么求矩阵的特征值与特征向量。但是并不会讲特征值与特征向量到底有着什么样的几何意义或者物理意义,或许讲了但也比较模糊。矩阵的特征值与特征向量在各种机器学习算法与应用场景中都有出现,每次出现都有着其独特的意义。在这里也只是简述一二。 一、方阵的特征值与特征向量1、特征值与特征向量的定义: 定义1:设 注: ![]() ![]() 2、特征值与特征向量的几何意义(引自https://www.matongxue.com/madocs/228.html): 我们先记线性变换一个T(Transformation)为 在 对 调整下 可以观察到,调整后的 此时,我们就称 即 从特征向量和特征值的定义中还可以看出,特征向量所在直线上的向量都是特征向量。 3、特征值与特征向量的一些性质 1)、如果 2)、一些实际问题中,常常会涉及到一系列的运算, 3)、矩阵的迹trace,即为矩阵 ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 4)、特征向量的性质 矩阵![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 例1:求矩阵 第一步:写出矩阵 特征值为 三阶方阵的行列式计算: 第二步:对每个特征值 当 系数矩阵 自由未知量:
所以 当 系数矩阵
所以 上面一二两大点旨在回忆特征值与特征向量的定义与计算,对于为什么这样定义并未做过多的讲解。接下来进入重点,讲一下特征值与特征向量到底发挥了怎样的作用,以及为什么会将这样的向量定义为矩阵的特征向量。 乘幂法求矩阵的特征值及特征向量上面求解矩阵特征值与特征向量的方法是常规的方法,不过在 假定 关于 任取初始向量 …………………… 因为 通过上面的分析,可将乘幂法求矩阵的特征值及特征向量的方法可归纳如下: 计算特征值 当
λi=maxxk(xk中的最大分量);
在A中去掉主特征λi对应向量的因素 A=A−λizkzTk, 接下来再找下一个特征对,然后类似计算。
针对特征值相等的情况,假定|λ1|=|λ2|=…=|λm|>|λm+1|>…>|λn|,由于向量α1v1+α2v2+α3v3+…+αmvm仍是属于λ1的特征向量,故利用上述方法依旧可求解λ1,λm+1,…,λi特征值及其对应的特征向量。 运动1、从调色谈起 我有一管不知道颜色的颜料,而且这管颜料有点特殊,我不能直接挤出来看颜色,只能通过调色来观察: 为了分辨出它是什么颜色(记得它只能通过调色来辨别): 因为反复混合之后,这管颜料的特征就凸显了出来,所以我们判断,这管颜料应该是蓝色。 说这个干什么?矩阵也有类似的情况。 2、矩阵的混合 一般来说,矩阵我们可以看作某种运动,而二维向量可以看作平面上的一个点(或者说一个箭头)。对于点我们是可以观察的,但是运动我们是不能直接观察的。 就好像,跑步这个动作,我们不附加到具体的某个事物上是观察不到的,我们只能观察到:人跑步、猪跑步、老虎跑步、......,然后从中总结出跑步的特点。 就好像之前举的不能直接观察的颜料一样,要观察矩阵所代表的运动,需要把它附加到向量上才观察的出来: 似乎还看不出什么。但是如果我反复运用矩阵乘法的话: 至于为什么会产生这样的现象,可以通过乘幂法来证明。 就像之前颜料混合一样,反复运用矩阵乘法,矩阵所代表的运动的最明显的特征,即速度最大的方向,就由最大特征值对应的特征向量展现了出来。利用乘幂法的思想,每次将最大的特征值对应的向量因素从矩阵中除去,就可以依次得到各个特征值所对应的特征向量。 OK!知道了上述运动这个关系之后,我们可以思考这样一件事情。 1、解释1 我们可以将矩阵 此时如果我们对任一向量 这就是为什么我们将这样的向量定义为矩阵 再啰嗦几句,概括来说就是,特征值与特征向量可以告诉我们这个矩阵 2、解释2 另一个更直观的解释就是颜料混合。我们将矩阵 假设我们现在有办法可以去掉篮子中指定颜色的所有颜料。则可以依次根据特征值排序得到特征向量。 通过这么一个比喻,我们也可以得出同样的结论。 矩阵 OK!到此大致讲解了三块内容:1、特征值与特征向量的定义及性质。2、特征值与特征向量的计算。3、特征值与特征向量的直观解释与含义。 线性代数中还有很多的概念,想要彻底搞清楚特征值与特征向量在实际应用中发挥的作用,需要连贯各种知识点。接下来会写一系列的文章来加深那些即将被遗忘的知识…… 参考文章:如何理解矩阵特征值和特征向量? |
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