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线性代数:增广矩阵学习笔记
增广矩阵
定义
对于一个 n × m n\times m n×m的矩阵 A = [ a i j ] A=[a_{ij}] A=[aij],我们可以在它的右边加上一个 n × 1 n\times1 n×1的列向量 b b b,得到一个 n × ( m + 1 ) n\times(m+1) n×(m+1)的矩阵 [ A ∣ b ] \begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix} [A b],这个矩阵被称为 A A A的增广矩阵。 A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 m a 21 a 22 ⋯ a 2 m ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n m ] , [ A ∣ b ] = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 m ∣ b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 m ∣ b 2 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∣ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n m ∣ b n ] A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm} \end{bmatrix},\quad \begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} & | & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} & | & b_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & | & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm} & | & b_n \end{bmatrix} A= a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1ma2m⋮anm ,[A b]= a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1ma2m⋮anm∣∣∣∣b1b2⋮bn 示例对于矩阵 A = [ 1 2 3 4 5 6 ] A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6\end{bmatrix} A=[142536]和列向量 b = [ 7 8 ] b=\begin{bmatrix}7 \\ 8\end{bmatrix} b=[78],它们的增广矩阵为: [ A ∣ b ] = [ 1 2 3 ∣ 7 4 5 6 ∣ 8 ] \begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & | & 7\\ 4 & 5 & 6 & | & 8 \end{bmatrix} [A b]=[142536∣∣78] 线性方程组与增广矩阵 定义一个线性方程组可以表示为 A x = b Ax=b Ax=b的形式,其中 A A A是系数矩阵, x x x和 b b b都是列向量。 设 A A A为 m × n m\times n m×n的矩阵, x x x和 b b b都是 n n n维列向量,则 A x = b Ax=b Ax=b是一个包含 m m m个线性方程的线性方程组。这个线性方程组可以转化为增广矩阵 [ A ∣ b ] \begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix} [A b]的形式。 示例下面的线性方程组可以表示为 A x = b Ax=b Ax=b的形式: { x 1 + 2 x 2 − 3 x 3 = − 1 4 x 1 + 5 x 2 + 6 x 3 = 2 7 x 1 + 8 x 2 + 9 x 3 = 5 \begin{cases} x_1+2x_2-3x_3=-1\\ 4x_1+5x_2+6x_3=2\\ 7x_1+8x_2+9x_3=5 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧x1+2x2−3x3=−14x1+5x2+6x3=27x1+8x2+9x3=5 对应的系数矩阵 A A A和列向量 b b b分别为: A = [ 1 2 − 3 4 5 6 7 8 9 ] , b = [ − 1 2 5 ] A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & -3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix},\quad b=\begin{bmatrix} -1\\ 2\\ 5 \end{bmatrix} A= 147258−369 ,b= −125 将它们组合在一起,得到增广矩阵 [ A ∣ b ] \begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix} [A b]: [ A ∣ b ] = [ 1 2 − 3 ∣ − 1 4 5 6 ∣ 2 7 8 9 ∣ 5 ] \begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 4 & 5 & 6 & | & 2\\ 7 & 8 & 9 & | & 5 \end{bmatrix} [A b]= 147258−369∣∣∣−125 增广矩阵的初等行变换 定义3 3 3种初等行变换可以在增广矩阵上进行,它们分别是: 将某一行乘以一个非零常数 k k k;交换矩阵中的任意两行;将某一行加上另外一行的 k k k倍。 示例下面是一个增广矩阵的例子: [ 1 2 − 3 ∣ − 1 4 5 6 ∣ 2 7 8 9 ∣ 5 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 4 & 5 & 6 & | & 2\\ 7 & 8 & 9 & | & 5 \end{bmatrix} 147258−369∣∣∣−125 对它进行以下初等行变换: 将第 2 2 2行加上第 1 1 1行的 − 4 -4 −4倍;交换第 2 2 2行和第 3 3 3行;将第 2 2 2行乘以 1 3 \frac{1}{3} 31。得到新的增广矩阵为: [ 1 2 − 3 ∣ − 1 0 − 3 18 ∣ 6 0 − 6 12 ∣ 4 ] → [ 1 2 − 3 ∣ − 1 0 − 6 12 ∣ 4 0 − 3 18 ∣ 6 ] → [ 1 2 − 3 ∣ − 1 0 − 2 4 ∣ 4 3 0 − 3 18 ∣ 6 ] → [ 1 2 − 3 ∣ − 1 0 1 − 2 ∣ − 2 3 0 − 3 18 ∣ 6 ] → [ 1 2 − 3 ∣ − 1 0 1 − 2 ∣ − 2 3 0 0 0 ∣ 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & -3 & 18 & | & 6\\ 0 & -6 & 12 & | & 4 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & -6 & 12 & | & 4\\ 0 & -3 & 18 & | & 6 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & -2 & 4 & | & \frac{4}{3}\\ 0 & -3 & 18 & | & 6 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & 1 & -2 & | & -\frac{2}{3}\\ 0 & -3 & 18 & | & 6 \end{bmatrix}\to \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & 1 & -2 & | & -\frac{2}{3}\\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} 1002−3−6−31812∣∣∣−164 → 1002−6−3−31218∣∣∣−146 → 1002−2−3−3418∣∣∣−1346 → 10021−3−3−218∣∣∣−1−326 → 100210−3−20∣∣∣−1−320 矩阵的行阶梯形式 定义一个矩阵是行阶梯形式的,当且仅当它满足以下两个条件: 矩阵的第一行有非零元素;除第一行外,每一行的第一个非零元素的列数均大于前一行的该非零元素的列数。 示例对于增广矩阵 [ A ∣ b ] \begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix} [A b],如果它的行阶梯形式为: [ 1 2 − 3 ∣ − 1 0 1 − 2 ∣ − 2 3 0 0 0 ∣ 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & 1 & -2 & | & -\frac{2}{3}\\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} 100210−3−20∣∣∣−1−320 则我们可以直接得到线性方程组的解: x 1 = − 5 x 2 + 7 , x 3 = k x_1=-5x_2+7,\quad x_3=k x1=−5x2+7,x3=k 其中 k k k为任意实数。 矩阵的简化行阶梯形式 定义一个矩阵是简化行阶梯形式的,当且仅当它是行阶梯形式的,并且满足以下两个条件: 主元素(即每一行第一个非零元素)都为 1 1 1;除主元素外,每一行的其余元素均为 0 0 0。 示例对于增广矩阵 [ A ∣ b ] \begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix} [A b],如果它的简化行阶梯形式为: [ 1 0 0 ∣ − 5 3 0 1 0 ∣ 4 3 0 0 1 ∣ 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -\frac{5}{3}\\ 0 & 1 & 0 & | & \frac{4}{3}\\ 0 & 0 & 1 & | & 0 \end{bmatrix} 100010001∣∣∣−35340 则我们可以直接得到线性方程组的解: x 1 = − 5 3 , x 2 = 4 3 , x 3 = 0 x_1=-\frac{5}{3},\quad x_2=\frac{4}{3},\quad x_3=0 x1=−35,x2=34,x3=0 矩阵的秩 定义一个矩阵的秩是指其行阶梯形式的非零行数。 示例对于增广矩阵 [ A ∣ b ] \begin{bmatrix} A & \bigl| & b\end{bmatrix} [A b],如果它的行阶梯形式为: [ 1 2 − 3 ∣ − 1 0 − 2 4 ∣ 4 3 0 0 0 ∣ 0 ] \begin{bmatrix} 1 & 2 & -3 & | & -1\\ 0 & -2 & 4 & | & \frac{4}{3}\\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{bmatrix} 1002−20−340∣∣∣−1340 则该矩阵的秩为 2 2 2。 总结本文介绍了增广矩阵的定义和与线性方程组的关系,以及增广矩阵的初等行变换、矩阵的行阶梯形式和简化行阶梯形式、矩阵的秩等概念。在学习线性代数时,这些概念都非常重要,希望读者能够掌握。 |
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