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如果被检验的真实过程是一个AR§ 过程，而检验式是AR(1)形式，那么由于对 y t y_t yt​形式的设定错误，检验式对应的误差项必然表现为自相关。因为假定检验式误差项是非自相关的，所以当误差项具有相关性时，回归参数的检验统计量不再服从DF分布.

如果 ρ = 0 \rho=0 ρ=0成立，则 y t y_t yt​含有单位根。称此检验为ADF（增项或扩展的DF）检验。称此统计量为ADF统计量。

注意，只有在样本容量充分大的前提下，才可以用表1的第1部分中的临界值。因为在小样本条件下ADF分布与DF分布不一样。

与上面的讨论相仿，在ADF检验式中也可以加入漂移项 μ \mu μ和时间趋势项t。同理这些临界值也是在样本容量充分大的前提下才可用。对于下式： Δ y t = ρ y t − 1 + ∑ ϕ j ∗ Δ y t − j + μ + u t \Delta y_t = \rho y_{t-1} + \sum \phi^*_j \Delta y_{t-j} + \mu + u_t Δyt​=ρyt−1​+∑ϕj∗​Δyt−j​+μ+ut​ 原假设认为 y t y_t yt​是一个非平稳过程，备择假设认为 y t y_t yt​是一个均值非零的平稳过程。

对于下式： Δ y t = ρ y t − 1 + ∑ ϕ j ∗ Δ y t − j + μ + α t + u t \Delta y_t = \rho y_{t-1} + \sum \phi^*_j \Delta y_{t-j} + \mu + \alpha t + u_t Δyt​=ρyt−1​+∑ϕj∗​Δyt−j​+μ+αt+ut​ 原假设认为 y t y_t yt​是一个非平稳过程，备择假设认为 y t y_t yt​是一个确定性趋势平稳过程。

ADF检验式也可以扩展到d.g.p.带有移动平均成分的情形。只要检验式中的附加项 Δ y t − j \Delta y_{t-j} Δyt−j​充分多，就能够对ARMA(p,q)形式的 y t y_t yt​做很好的近似，从而保证* u t u_t ut​*为白噪声。因为实际中 y t y_t yt​的具体形式未知，所以差分滞后项个 Δ y t − j \Delta y_{t-j} Δyt−j​数的选择非常重要。滞后项个数太少，会导致当原假设为真时，拒绝原假设的概率变大。当滞后项个数太多时，又会导致检验功效降低（当备择假设为真时，检出的概率变低）

有人主张通过附加项是否具有显著性以及调整的可决系数确定ADF检验式中差分滞后项的个数。如果是线性检验式，这种判别方法与赤池准则是等价的。也有人认为用调整的可决系数判别滞后项数不尽如人意。各种形式（ARMA、AR、MA）的 y t y_t yt​的蒙特卡罗试验结果显示这种判别方法存在一些问题。所以Schwert建议用下式确定最佳滞后期数k： k = i n t { 12 ∗ ( T / 100 ) 1 / 4 } k = int \{ 12*(T/100)^{1/4} \} k=int{12∗(T/100)1/4}

深圳综合成指收盘价序列如下图，检验是何种过程.

Dickey and Pantula（1987）对此提出异议。他们认为当 y t ∼ I ( 2 ) y_t \sim I(2) yt​∼I(2)时，备择选择是， y t ∼ I ( 1 ) y_t \sim I(1) yt​∼I(1)而单位根检验的备择假设是 y t ∼ I ( 0 ) y_t \sim I(0) yt​∼I(0)。出现了不一致。这时需要检验的是 Δ y t \Delta y_t Δyt​是否为平稳序列。所以正确的检验程序应该是首先对 y t y_t yt​取足够次数的差分，从而保证被检验序列为平稳序列。然后每次用减少一次差分次数的序列依次进行单位根检验。直至接受原假设为止。从而判断出 y t y_t yt​的单整阶数

当 y t ∼ I ( 2 ) y_t \sim I(2) yt​∼I(2)时， Δ 2 y t ∼ I ( 0 ) \Delta^2 y_t \sim I(0) Δ2yt​∼I(0)，首先应该做如下检验： Δ 2 y t = ρ y t − 1 ∑ j = 1 k ϕ j ∗ Δ 2 y t − j + u t \Delta^2 y_t = \rho y_{t-1} \sum_{j=1}^k \phi^*_j \Delta^2 y_{t-j} + u_t Δ2yt​=ρyt−1​j=1∑k​ϕj∗​Δ2yt−j​+ut​ 如果结论是接受原假设，则 y t ∼ I ( 2 ) y_t \sim I(2) yt​∼I(2)有两个单位根。

如果结论是拒绝原假设，则再次检验 Δ y t ∼ I ( 0 ) , y t ∼ I ( 1 ) \Delta y_t \sim I(0), y_t \sim I(1) Δyt​∼I(0),yt​∼I(1). 这种检验顺序才合理.

实际中，经济时间序列的单整阶数不会超过2。所以对序列进行单位根检验的顺序应该是 Δ 2 y t , Δ y t , y t \Delta^2 y_t, \Delta y_t, y_t Δ2yt​,Δyt​,yt​ .

Dickey and Pantula基于蒙特卡罗模拟的结论显示，当序列 y t y_t yt​含有多重单位根时，从 y t y_t yt​开始检验单位根，则拒绝原假设的能力有所下降。

Perron指出，如果被检验过程是一个退势平稳过程，并且在考虑的期间内存在趋势结构突变。如果不考虑这种趋势突变，当用ADF统计量检验单位根时，将会把一个带趋势突变的退势平稳过程误判为随机趋势非平稳过程。即进行单位根检验时不考虑结构突变，会导致检验功效降低（实为退势平稳过程，检验结果却认为是单位根过程）。同样，当进行单位根检验时，不考虑漂移项存在突变，或不考虑趋势项、漂移项同时存在突变，也会导致单位根检验功效降低。

如下图，有T=100的均值突变平稳过程 y t y_t yt​：

用虚拟变量（D=0，（1-50）； D=1，（51-100））区别突变前后两个时期，得ADF检验式如下：

结构突变点已知时，称其为外生性结构突变点。假定发生结构突变的时点已知为 t B t_B tB​，则发生在截距的突变为 μ 0 + μ 1 D t \mu_0 + \mu_1 D_t μ0​+μ1​Dt​，其中: D t = { 1 , t > t B 0 , t < t B D_t = \begin{cases} 1, & {t > t_B} \\ 0, & {t < t_B} \end{cases} Dt​={1,0,​t>tB​t