相关背景：群论是代数系统中研究得比较成熟的一个分支，半群在计算机形式语言、自动机理论、编码理论等得到了广泛应用。

广群的定义：设V=是代数系统，其中S是非空集合，※是S上的一个二元运算。如果运算※封闭，则称V为广群。

半群的定义：如果一个广群中的运算※是可结合的，则称该广群是一个半群。

半群元素的幂的定义：对于半群中的元素，由于半群中的运算是可结合的，因此可以定义元素的幂。对于任意的x∈S，可以规定：

半群元素的幂的运算规则：

相关题型：判断一个代数系统是否是一个半群。

有限半群必有等幂元：如果半群对应的集合是一个有限集，那么该半群中一定存在等幂元。

独异点的定义：如果一个半群含有幺元，则称该半群是独异点，也被称为幺半群或单位半群。

相关题型：判断一个代数系统是否是一个独异点。

独异点中元素的幂的概述：由于独异点是特殊的半群，因此可以把半群中元素的幂推广到独异点中去。与半群的幂的区别在于独异点中元素的幂可以是0次的。

独异点的运算表互异性：独异点的运算表中任意两行两列均不相同。

逆元的运算性质：设是独异点，幺元为e。对于集合S中任意两个元素a和b，如果a和b都存在逆元，那么有如下结论：

判断、、、是否为半群或独异点？其中※为普通乘法、-为普通减法、+为普通加法。

解答：

这个代数系统同时也是上一题代数系统的子半群。

2.1.判断的代数结构。

解答：

基本思路：判断代数结构的本质就是判断二元运算是否具有封闭性、可结合性且代数系统中存在幺元。

首先判断封闭性：由于运算表中的所有元素在行首或列首都出现过，因此可以判定该运算满足封闭性。

接着判断可结合性：通过数学推导可以证明该运算满足可结合性。

最后判断是否存在幺元：由于[0]所在的行和列的元素分别与列首和行首相同，因此可以判定[0]是该二元运算的幺元。

综上所述，该代数系统的二元运算满足封闭性、可结合性，并且代数系统存在幺元[0]，因此该代数系统是一个独异点。

2.2.判断下面的代数系统的代数结构 解答：

首先判断封闭性：根据运算表中的元素只有a和b和c可知该代数系统满足封闭性。

接着判断可结合性：根据运算表判断可结合性只能通过遍历的方法进行，这种方法的时间复杂度非常高（O(n³)，其中n为元素个数），因此集合中元素个数很多时不适用。

具体来说，就是分别遍历序列aaa-ccc的情况，然后判断这些序列是否存在不满足可结合性的情况。对于本题来说，需要分别求27种情况下是否满足可结合性。本题中通过遍历可以判断该运算不满足可结合性。

综上所述，该二元运算满足封闭性但是不满足可结合性，因此该代数系统是一个广群。

设是半群，u不是A中的元素。如果B=A∪{u}，并且在B上定义二元运算如下所示，请证明该代数系统是独异点。

解答：

首先证明封闭性：当两个运算数都是A中的元素时，结果为a※b。由于A是半群，因此满足运算封闭性，所以运算结果仍然在A中，同样也会在B中；当两个运算数中有一个为u时，得到的结果为另一个运算数，也在B中，因此可以判断该运算满足封闭性。

接着证明可结合性：需要分三种情况证明可结合性。也就是假设(ab)c=a(bc)，分别假设a和b和c是u，来证明可结合性。通过分情况讨论可以证明可结合性成立。

最后证明该代数系统中存在幺元：由于u在这个代数系统中地位特殊，因此考虑其可能是该代数系统的幺元。通过该运算的表达式的后两条可以证明u是该代数系统的幺元。

综上所述，该代数系统的二元运算满足封闭性、可结合性，同时该代数系统中存在幺元u，因此该代数系统是一个独异点。

解析：本题考查半群的判定。判断一个代数系统是否是半群，只需要判断运算是否封闭且可结合即可。 首先判断封闭性：对于正实数集合，在其上进行的加法和乘法以及除法运算的结果仍然是一个正实数，因此可以判断这两种运算封闭；对于减法运算，两个正实数相减可能是一个负数或者0，因此减法运算不封闭。对于正整数集合，加法和乘法的结果仍然是一个正整数，因此加法和乘法运算满足封闭性；对于减法运算同理不满足封闭性；对于除法运算，两个正整数的相除结果可能是一个分数（小数），因此不满足封闭性。 经过封闭性判断，可以排除A、B两个选项。 接着判断可结合性：直接考虑CD两个选项即可。对于正实数集合，乘法运算满足结合性而除法运算不满足可结合性，由此可知D选项错误，C选项正确。所以C选项对应的代数系统是一个半群。

解析：本题考察半群的判定。判断一个代数系统是否为半群，只需判断该运算是否满足封闭性和可结合性即可。 对于A选项：从表达式中容易看出该运算满足封闭性，通过表示式推导也可以证明该运算满足可结合性，由此可知该代数系统是一个半群。 对于B选项：两个实数数的差的绝对值仍然是一个实数，因此满足封闭性，但是显然运算的可结合性不满足，因此不能构成半群。 对于C选项：对于一个集合的幂集中的任意两个元素，它们的并集一定是幂集中的元素，因此满足封闭性；同时，集合的并运算也满足可结合性，因此该代数系统是一个半群。 对于D选项：对于集合S中的任意两个元素a和b而言，a和b的运算结果只取决于b，结果为b的绝对值，而S中任意一个元素的绝对值都是S中的元素，因此运算满足封闭性；同时，根据表达式的特点可以看出，无论是先结合前面一部分还是后面一部分，整个表达式的运算结果始终等于表达式最右边的元素的绝对值，因此可以判断该代数系统也是一个半群。 综上所述，本题的正确选项为B。

解析：本题考查半群的判定。 对于A选项：易证明运算满足封闭性和可结合性。 对于B选项：同理可以证明运算满足封闭性和可结合性。 对于C选项：同理证明。 对于D选项：尽管运算满足封闭性，但是容易看出运算不满足可结合性，因此该代数系统不是一个半群。

解析：本题考查独异点的判定。独异点的判定实际上就是判定代数系统的运算是否满足封闭性、可结合性并且存在幺元。 首先看封闭性：四个代数系统都满足封闭性。 接下来看是否存在幺元：之所以先看幺元而不是可结合性是因为幺元的判断更加简单直观。由上面四个运算表可知只有第四个代数系统中存在幺元a，因此本题选项就可以确定下来选D了。 接着证明一下D选项中的运算满足可结合性：通过找出每一种可能的情况进行确定即可，但是会有一些麻烦，总共有8种情况。 综上所述，第四个运算表对应的代数系统是独异点。

解析：本题考查半群的判定、寻找代数系统种的单位元和可逆元。 首先判断半群：易证运算封闭性，通过数学推导可以判断该代数系统满足可结合性。 接着判断单位元：通过观察可知，0是该代数系统的幺元。由此也可判断该代数系统是一个独异点。 接着判断代数系统的可逆元：从a+b-ab=0可以得出a和b之间的表达式关系：a=b/(b-1)，b=a/(a-1)，因此，对于除了1之外的所有元素，都存在一个值确定的逆元。

解析：本题与上一题类似。可以采用几乎相同的方法进行判定，此处不再进行额外解析。单位元的判断稍难，答案为3。逆元的判断过程类似。