半群，是二元运算可结合的代数系统

定义：一个代数系统 ，SSS 非空，∗*∗ 是二元运算。若运算 ∗*∗ 可结合（即对 ∀x,y,z∈S，有(x∗y)∗z=x∗(y∗z)\forall x,y,z\in S，有 (x*y)*z=x*(y*z)∀x,y,z∈S，有(x∗y)∗z=x∗(y∗z)），则称 为半群

例：设集合 Sk={x∣x∈I,x⩾k}S_k=\{x|x\in I,x\geqslant k \}Sk​={x∣x∈I,x⩾k}，其中 III 是整数集，k∈Ik\in Ik∈I 且 k⩾1k\geqslant 1k⩾1，+++ 为普通加法。证明： 是一个半群

例：I+I^+I+ 是正整数集合，RRR 是实数集合，R+、R−R^+、R^-R+、R− 分别为正、负实数集合。问：、、、、、、、、、 都是半群吗？为什么？

定理：设 是半群，T⊆ST\subseteq ST⊆S 且在 ∗*∗ 上封闭。则 是 的子代数， 也是一个半群，且称为 的子半群

结合律是可以继承的：运算在大的集合上可结合，则在小的集合上也可继承。 因此，半群的子代数也是半群

独异点，是含有幺元的半群。半群，是二元运算可结合的代数系统。

例：判断以下代数系统是否是独异点

例：设 A={0,1,2,3}（也可记作N4,Nk表示0∼(k−1)个元素）, +4、×4A=\{0, 1, 2, 3\}（也可记作N_4,N_k 表示 0\sim (k-1)个元素）,\space +_4、\times_4A={0,1,2,3}（也可记作N4​,Nk​表示0∼(k−1)个元素）, +4​、×4​ 分别是模4加、模4乘，运算表如下面的表格所示。

即对 ∀a,b∈A\forall a, b \in A∀a,b∈A，有：

问：(a) 和 是独异点吗？为什么？ (b) AAA 中的元素在 +4+_4+4​ 、×4\times_4×4​ 上有逆元吗？

答案：a：是。运算在载体上封闭，是代数系统；运算都可结合，是半群；都含有幺元，是独异点； b 思路：（需要逐个找出来。两个元素互为逆元，一起运算的结果等于幺元）

设 是一个独异点，T⊆ST\subseteq ST⊆S 且 ∗*∗ 在 TTT 上封闭（即新载体是原载体的子集），e∈Te\in Te∈T（幺元还在）。则 是 的子代数， 也是一个独异点，称为 的子独异点。

上面的要求，拆开了写出来一共有三条：

例题：设 N10={0,1,2,...,9}N_{10}=\{0,1,2,...,9\}N10​={0,1,2,...,9} ， ×10\times_{10}×10​ 为模10乘，则 是一个独异点，问题如下： （a）写出 ×10\times_{10}×10​ 的运算表 （b）取 N10N_{10}N10​ 的一个子集 A={0,2,4,6,8}A=\{0,2,4,6,8\}A={0,2,4,6,8} ，证明 是一个独异点，但不是 的子独异点 （c）构造 的一个含 5 个元素的子独异点

在半群（独异点）中，若二元运算可交换，则称该半群（独异点）为交换半群（独异点） 。 定理：设 是一个半群，若 S 是有限集，则必存在 a∈Sa\in Sa∈S，使得 a∗a=aa*a=aa∗a=a

定理：设 是一个半群，若 SSS 是一个有限集合，则必存在 a∈Sa\in Sa∈S，使 a∗a=aa*a=aa∗a=a 即，若半群的载体是有限集，则必存在等幂元（自己和自己运算的结果仍是其自身）。思考该问题要从“有限”入手：由抽屉原理（要将 n+1 个球放入 n 个抽屉，至少有一个抽屉要装俩球） （具体证明略，随缘补。。）

思考：设 是一个独异点，∗*∗ 的运算表中可能出现完全相同的两行或两列吗？ ——不可能。设 S 中关于 ∗*∗ 运算的幺元为 e 取 ∀a,b∈S\forall a,b\in S∀a,b∈S，若 a≠ba \neq ba=b ，则有： e∗a≠e∗be*a \neq e*b e∗a=e∗b，即任意两列均不同（若相同，则载体中含相同元素，不满足载体的集合定义） a∗e≠b∗ea*e\neq b*ea∗e=b∗e，即任意两行均不同（原因同上） 故，* 运算的运算表中，任意两行/列均不相同

设 是一个独异点，若 ∃g∈S\exists g\in S∃g∈S ，对 SSS 中的每个元素 aaa ，都有对应的 k∈Nk\in Nk∈N 使 a=gka=g^ka=gk (任何元素的零次幂等于幺元 e )，则称此独异点为循环独异点，ggg 称为此循环独异点的生成元。

循环独异点的所有元素都可以用一个元素的指数形式生成。 这种指数只能为非负整数而不能为负。因为负指数意味着求逆元（如 g−3=(g3)−1g^{-3}=(g^3)^{-1}g−3=(g3)−1，其是 g3g^3g3 的逆元） 而独异点并没有【每个元素都要有逆元】的要求，也就是说不一定每个元素都有逆元，所以循环独异点中的元素不应有负指数。 注意：这里的幂次运算并不局限于“乘法”，该运算可以是任意的。

例：判断下面的代数系统是否为循环独异点，若是，请指出生成元 （a）： （b）： ，运算表如下 a: 是。生成元为 1 b: 是。由表可知，幺元为 a。c0=a,c1=c,c2=c∗c=b;c3=b∗c=dc^0=a, c^1=c, c^2=c*c=b; c^3=b*c=dc0=a,c1=c,c2=c∗c=b;c3=b∗c=d。因此 c 为生成元； 又：d0=a,d1=d,d2=b,d3=cd^0=a,d^1=d,d^2=b,d^3=cd0=a,d1=d,d2=b,d3=c ，因此 d 也为生成元。 综上，生成元为 c 和 d