事实上，当我们谈论（半）正定阵，都要求矩阵是对称的。

尽管正定矩阵的定义并没有这一要求，如正定阵的定义： M 是 n 阶 方 阵 ， 如 果 对 任 何 非 零 向 量 z ， 都 有 z T M z ; 0 ， 就 称 M 为 正 定 矩 阵 。 M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有z^TMz; 0，就称M为正定矩阵。 M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz>0，就称M为正定矩阵。并且我们有一些判定矩阵正定的条件，如：

需要注意的是，这些条件都是针对对称阵的！

举个简单的例子： A = [ 1 0 4 2 ] A = \left[\begin{matrix} 1 ; 0 \\ 4 ; 2 \end{matrix} \right] A=[14​02​] A 的特征值为1和2，各阶主子式也大于零。但是取 x = [ 1    − 1 ] T x = [1 \;-1]^T x=[1−1]T， x T A x = [ 1      − 1 ] [ 1 0 4 2 ] [ 1 − 1 ] = − 1 ; 0 , \\x^TAx = [1\;\;-1]\left[\begin{matrix}1 ; 0 \\4 ; 2\end{matrix} \right]\left[\begin{matrix}1 \\-1 \end{matrix} \right]=-1;0, xTAx=[1−1][14​02​][1−1​]=−1