第六章是p区和n区的接触，这里介绍金属于半导体的接触，这个接触也具有整流的作用，并且比pn结制作简单多了

在此之前，先介绍金属的电子填充水平，金属不是半导体，因此不能用费米能级来表示，这里用功函数来表示： $$ W = E_0 - E_f $$ 功函数是真空能级与费米能级之差，真空能级$E_0$，就是真空中静止电子的能量，因此真空能级所代表的一条线是永远相等的，哪怕是弯的，那也表示这条线上的能量相等；对于金属而言，它的费米能级是在绝对零度之下电子能够填充的最高能级水平，根据光电效应，金属中的电子跑到真空中是需要外界能量的，因此真空能级是比金属的费米能级高的：

另外，定义一个电子亲和能$\chi$，对于半导体而言，功函数就是无意义的，因为费米能级本来在禁带中，没有电子存在，因此功函数（逸出功）就没意义，所以这里有一个电子亲合能$\chi $，真空能级与导带底之差，这就表示半导体中电子从导带底跃迁到真空能级所需要的能量了，如下图所示：

在接触前，金属，半导体的真空能级是一样的，并且金属的费米能级低于半导体的费米能级，因为金属的功函数比半导体大一些，此时两者是相互独立的体系：

此时如果在金属和半导体之间连上一根导线，因为金属中费米能级的位置比半导体中的低，根据第三章的知识，费米能级是电子填充能级水平的标志，也就是比EF高的能级基本上是空的，而比费米能级低的能级上基本上是满的，所以此时半导体中的电子就往金属中跑来填充金属中的较低能级，从而拉平金属和半导体的费米能级

由于原本两者都是电中性的，电子跑了之后就留下带正电的电离杂质中心，跑进金属中带负电，因此就形成了从半导体指向金属的电场，存在一个从半导体指向金属的电场，也就意味着沿着导线从半导体到金属电势是下降的，对应电子的电势能上升，并且电场是均匀的，因此电势就是随着距离线性下降的，电子的电势能随着距离x线性增加；平衡时无电子的净流动（也就是跑了一个电子到金属中，又被电势给拉了回来），因此这里就是金属半导体的电势差弥补了最开始费米能级的差值，假设两者的接触电势差为$V_{ms}$，金属与半导体表面电势的差值，那么就有$qV_{ms} = W_s - W_m$，如下图所示，注意金属一侧的电势比半导体高的，这里的Vms是负值：

注意上图两侧最上方的横线是真空能级，虽然此处不一样高，但是能量是一样的，是一个参考线，类似于等高线；并且由于功函数的差值有限，而且间隙又很大，因此电势差除以这个大间隙电势差是非常微弱的，而电场是净剩正负电荷形成的，根据高斯定理：

可以得到电荷的面密度很低，这就意味着半导体一侧的正电荷集中在表面且密度极低，这样半导体内部就可以认为没有电场存在，导带价带不发生弯曲

当半导体和金属进一步接近的时候，费米能级是一样的，因此总的接触电势差不发生变化，仍然是金属半导体的电势差弥补了最开始费米能级的差值，但是距离边界下降，因此电场强度就上升了

半导体表面的正电荷是电子跑了留下的杂质正电中心组成的是不可动的，当电场进一步提高的时候，正电荷密度上升，因此半导体体内势必有了更多的正电中心（类似于耗尽区的概念，这个区域随着距离接近慢慢扩大）因此从右指向左的电场线向半导体内部扩散，电场从半导体内部指向表面，所以半导体的导带和价带就出现了弯曲，并且为了保证各个位置不同处的电子亲合能是一个常数，因此真空能级也是弯曲的

在这时候总的电势降落，一部分降落在了导线上，另一部分降落到了半导体的内部，两者加起来构成了总的接触电势差，这里定义一个表面势$V_s$，表示的是半导体表面与体内的电势差，注意电场线是从右指向左的，半导体的表面势是小于0的，如下图所示：

注意上图中价带顶越往下是空穴能量上升的

当出现极限情况时，即金属和半导体紧密接触，空间距离为0，此时哪怕电场最大也没用，因为距离为0，所以空隙电压为0，保持费米能级一样而产生的电压都将降落在半导体内部自身上（金属内部，电场为0），形成一个势垒VD，这里势垒是正值，它是与接触电势差相关的一个量，$qV_D = W_m - W_s$；因为是一个平衡的体系，所以费米能级一样，半导体内部出现很多正电中心，因此能带弯曲；同时我们定义一个肖特基势垒，当两者接触的时候真空能能级也是重合的，此时定义$q\phi_{ns} = W_m - \chi$，金属的功函数减去半导体电子的亲合能，肖特基势垒也是正值，并且在理想情况下，为了保证电子亲合能不变，半导体内的真空能级弯曲，而金属的功函数是会发生变化的

下面来分析这种接触带来的整流作用

当$W_m > W_s$，并且是n型半导体的时候，半导体和金属接触，如上文的分析，形成了一个类似耗尽区的正电中心集中的区域我们称为阻挡层，这个层主要是由电离施主形成的，此时这个层的载流子数量很少呈高阻状态

此时的电场方向从右指向左抑制半导体中的电子向金属的扩散；当加上一个正向电压（外加电场从左指向右）的时候，此时压降全部降落在高阻抗区，此时削弱了半导体自建场的空间电荷区的电场，显然半导体中的导带底需要向上平移，能带弯曲就减少，此时势垒就降低，外加反向电压，能带弯曲加大，势垒就比较高

因此从半导体流向金属的电子是电压敏感的，根据上一章的分析，由于服从玻尔兹曼分布，它的浓度与n区内部的电子浓度相比，多了一个跟电压指数相关的量；而对于从金属流向半导体的电子，由于空间电荷区的高阻抗，外加电压此时都降落在阻挡层，因此金属一侧的电子对电压不敏感，它们想要进入半导体就必须得越过$q\phi_{ns}$进入到半导体的导带

一侧电子对电压敏感，一侧的电子对电压不敏感，这就形成了整流作用：

当$W_m < W_s$的时候，如果仍然是n型半导体，此时金属的费米能级比半导体高，当二者接触的时候，金属的电子源源不断的向半导体跑，半导体内部出现电子的盈余，从而出现一个带负电的空间电荷区，有一个从表面指向半导体内部的电场，因此能带从表面到体内向上弯曲，并且在表面当电子积累过多的时候导带底甚至低于费米能级，并且由于载流子的聚集，在空间电荷区的电子浓度比体内大得多，是一个高电导的区域，称为反阻抗层，它对金属和半导体的接触电阻影响很小，平时实验时几乎察觉不到其存在，半导体内空间电荷区的电子看不到势垒的存在因此这里就是一个欧姆特性，而不是整流特性：

当$W_m > W_s$的时候，如果是p型半导体，此时金属的费米能级比半导体的费米能级低，半导体的电子流向金属，等同于金属的空穴流向半导体，使得金属的表面带负电，半导体的表面带正电，因此在半导体表面形成正的空间电荷区，电场方向从半导体内部指向表面，能带从表面到内部向下弯曲，此空间电荷区带正电注意不是电离杂质形成的，而是由来自金属的空穴组成，因此此时空间电荷区的空穴浓度大于半导体内部的空穴浓度，具有很高的载流子浓度，形成空穴反阻抗区：

当$W_m < W_s$，如果是p型半导体，此时金属的费米能级比半导体的费米能级高，金属的电子流向半导体，等价于半导体的空穴向金属流动，金属表面带正电，半导体的表面空穴跑了而形成受主杂质电离中心带负电，电场方向从半导体表面指向内部，能带向上弯曲，空间电荷区由于都是受主杂质电离中心，因此载流子浓度很低，形成了一个高阻抗区以及空穴的势垒VD，同$W_m > W_s$的n型半导体，此时具有整流作用：

根据上文$q\phi_{ns} = W_m - \chi$，我们是不是可以通过调整金属的功函数来直接控制这个肖特基势垒呢，不是经过多次实验可以发现肖特基势垒与金属的功函数不敏感，为了解释这个现象，提出了半导体的表面态模型

晶体的能带是通过晶体的周期性来体现的，但是在半导体的表面由于周期性的突然中断导致晶体的不完整从而引入了表面态（一些特殊能态），并且这些能态都大量分布在禁带中，它的存在导致表面能级的产生。与表面态相应的能级就称为表面能级；表面态分施主表面态和受主表面态，在半导体表面禁带中形成一定的分布，存在一个距价带顶为𝑞𝜙0的能级。对多数半导体，𝑞𝜙0约为禁带宽度的1/3，当电子刚好填充$q \phi_0$以下的能级时，表面呈电中性，当电子填充$q \phi_0$以上的能级时表面就带负电，就好像受主一样，同理当$q \phi_0$以下的能级跑了电子，表面就带正电，就好像施主一样：

而对于n型半导体来说，此时的费米能级仍然高于表面态能级，因此半导体在与金属接触之前，电子就已经从体内开始跃迁到表面填充表面态能级了，填充的结果就是拉平$q \phi_0$和体内的费米能级，但由于表面态的能级非常多，因此可以容纳非常多的电子，因此表面态的能级电子填充的水平几乎不变化，但是体内失去了很多负电荷跑到$q \phi_0$位置，所以将费米能级也拉到了$q \phi_0$的位置，并留下了正电中心，出现了从体内指向表面的电场，因此就导致了体内的能带的弯曲；结果就是在半导体与金属接触之前，其表面的费米能级已经被牢牢钉扎在了禁带宽的1/3的位置处$q \phi_0$，并且能带已经弯曲：

如果$W_m < W_s$，金属的费米能级高于此时半导体表面的费米能级，那此时半导体再与金属发生接触，虽然金属的费米能级此时比半导体表面的费米能级高，导致金属的电子往半导体跑，但是由于半导体表面的能态海洋，此时又把金属的费米能级钉扎到了$q \phi_0$处（距价带顶$\frac{1}{3} E_g$处）

那此时的接触电势差，就没有半导体中的分压了，就完全降落在了金属和半导体表面的一个无限窄的缝隙中（可能就是一个薄薄的电荷层）来承载拉平金属和半导体费米能级而带来的电势差

此时的肖特基势垒，电子从金属的费米能级跃迁到半导体的导带需要克服的势垒，就是金属的费米能级到导带底的距离，也是半导体表面的费米能级到导带底的距离，就是$q \phi_0$到导带底的距离$\frac{2}{3}E_g$：

因此我们可以得到两个接触势垒此时的大小：

此时的势垒高度与金属的功函数基本无关，并且由于钉扎效应，此时哪怕是n型半导体且$W_m < W_s$，也不会再在半导体中形成一个反阻抗区，而是一个高阻抗区（阻抗层）始终存在

下面来研究一下势垒区的电势分布，这里以n型半导体为例：

根据泊松方程，电势的二阶微分等于电荷浓度除以介电常数的负号，而在高阻区，根据耗尽层近似此时的电荷密度就是施主杂质电离中心，因此得到：

在边界x = d处的电场强度为零，表示半导体内部没有电场，积分一次得到：

定义金属内部的费米能级位置处电势为0，电子越过金属表面进入半导体的时候需要获得能量电势能增加，因此表面处的电势应该比金属内部的电势要低，这样电子的电势能才能增大，电子获得$q\phi_{ns}$的能量，因此表面x = 0处的电势为$-\phi_{ns}$，根据这个边界条件对上式再一次积分得到：

上式中的空间电荷区的d其实是不知道的，这个d其实也是和电压有关的，这里也要用上边界条件；在耗尽区的边界处的电势大小根据下图：

费米能级位置的电势为0，在x = d处，电子从费米能级跃迁到导带底Ec，电势能上升，但是电势降低，因此有势垒$\phi_n = (E_c - E_F) / q$是一个正值，但是$V(x = d) = - \phi_n$

而Ec距离x = 0处下降了qVD，因此可以得到$\phi_{ns} = \phi_n + V_D$，当然如果有外加电压的话就是$\phi_{ns} = \phi_n + V_D - V$，这里为例方便用VD表示

将$V(x = d) = - \phi_n, \phi_{ns} = \phi_n + V_D$带入到V(x)中，此时x = d，因此我们可以得到：

这就是与电压相关的一个耗尽层厚度，如果加上电压的话跟pn结类似，可以得到一个和p+n结一样的式子：

同理可以得到电容与电压的关系：

这里就主要解释上文中所说的整流，来分析电流问题

扩散是由于浓度梯度导致的，从高浓度向低浓度会发生扩散，这是因为碰撞，高浓度的碰撞次数多，对某一个理想的作用面的作用力大，所以就推动这个面向低浓度进行运动（此为扩散的原理）

因此我们这里的扩散理论适用于势垒区远大于电子的平均自由程的时候；电子的平均自由程指的是电子平均无碰撞这段时间里所走的距离，只有当耗尽层的厚度远大于电子的平均自由程的时候电子才会发生频繁的碰撞而产生扩散运动： $$ l_n 电子平均自由程的情况，需要注意的是，其反向饱和电流对电压是有依赖的，其随着反向电压的增大而增大，注意这里的VD是正值表示半导体中平衡时的势垒高度，当加上正向电压时V是正值表示削弱势垒，加上反向电压时是负值表示抬高势垒高度

这里理论使用于势垒宽度d