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高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限

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高数笔记1（第一章函数 极限 连续 第一节函数&第二节极限

2023-06-26 18:37| 来源: 网络整理| 查看: 265

目录 第一章 函数 极限 连续第一节 函数第二节 极限一、极限的概念与性质数列的极限例1例2 函数的极限极限的性质（保号性重点 有界性）例12例13例14 `函数极限与数列极限的关系`例15

第一章 函数 极限 连续 第一节 函数

判断有界要用函数的绝对值，并且这里的不等式解法需要注意

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需要注意这里的论证方式

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第二节 极限 一、极限的概念与性质 数列的极限

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奇数子列要收敛于a，偶数子列也需要收敛于a（以2n为例子，若为3n，则余1、余2、余0的子列都要收敛于a） 拓展出去就是，所有的子列都收敛于a，才能说这个数列收敛于a

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例1

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例2

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函数的极限 自变量趋于无穷大时函数的极限 在这里插入图片描述 自变量趋于有限值函数的极限

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需要注意的有左极限以及右极限 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

需要分左右极限的状况 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述

极限的性质（保号性重点 有界性）

在这里插入图片描述 有界性 数列

数列若收敛则一定有界，反之不成立 有界是有上界或者有下界，上界下界可以相同，这种情况就是收敛

函数

函数极限存在即说明函数在去心邻域有界（局部有界） 反之不成立 局部有界不代表在那个点的函数极限存在

保号性 数列

如果数列趋于无穷时的极限值大于零或者小于零，则存在一个很大的n，使得 x n x_n xn​的值大于零或者小于零 如果一个数列存在一个很大的n，使得 x n x_n xn​的值大于等于零或者小于等于零，则数列极限也大于等于零或者小于等于零 最主要的原因是，取值可能取不到0，但是极限可以到0

函数

道理同数列 在这里插入图片描述 如果极限值大于则去心邻域也大于 如果函数大于或者大于等于，则极限值大于等于

例12

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例13

在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 在这里插入图片描述 大于什么系数大于零小于一；小于什么系数大于一

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例14

局部有界连续判定 在这里插入图片描述

函数极限与数列极限的关系

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例15

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