奇数和偶数

在数学中,我们称1、3、5、7等这样的数为奇数,2、4、6、8等这样的数为偶数。奇数和偶数主要有以下性质

(1)奇数+奇数=偶数,如3+7=10。

(2)偶数+偶数=偶数,如2+4=6。

(3)奇数+偶数=奇数,如3+4=7。

(4)偶数-偶数=偶数,如8-2=6。

(5)奇数-奇数=偶数,如7-1=6。

(6)偶数-奇数=奇数,如10-1=9。

(7)奇数-偶数=奇数,如9-2=7。

(8)奇数×奇数=奇数,如3×3=9。

(9)偶数×偶数=偶数,如2×2=4。

(10)奇数×偶数=偶数,如3×2=6。

【例1】用1,2,3,4,5这五个数两两相乘,可以得到10个不同的乘积。请问乘积中是奇数多还是偶数多?

【思路导航】在这几个数中,只有3个奇数,它们两两相乘可以得到3个不同的奇数乘积,而偶数乘积共有7个,所以乘积中偶数多。

答:乘积中偶数多。

【例2】判断下面算式的得数是奇数还是偶数。

(1)1+3+5+7+9+11+13+15+17+19

(2)2315+3048-2194-1731+2014-1987+9899+145301

【思路导航】(1)这道算式题中共有10个奇数,两两为一组,可以组成5组。

根据奇数+奇数=偶数可知,每两组奇数的和都是偶数,而偶数+偶数=偶数,所以这道算式的得数是偶数。

(2)这道题计算起来显然比较麻烦,我们可以根据数字的奇偶性来进行判断。

算式中的8个数,有5个奇数,3个偶数,根据奇数和偶数的性质可知:5个奇数,2减3加,结果为奇数;3个偶数相加减,结果为偶数。

奇数+偶数=奇数,所以这道题的得数是奇数。

答:(1)得数为偶数

(2)得数为奇数

【例3】下面两个算式中,每个□代表一个整数,每个算式中至少有一个奇数,这六个整数中有几个偶数?

(1)□-□=□，(2)□+□=□

【思路导航】要求算式中至少有一个奇数,假设奇数在第一个□、第二个□

第三个□的位置上,分别进行尝试。

解:(1)①当奇数在第一个□时:

奇□-□=□→奇□-奇□=偶□→奇□-偶□=奇□

②当奇数在第二个□时:

□-奇□=□→奇□-奇□=偶□→奇□-偶□=奇□

③当奇数在第三个□时:

□-□=奇□→奇□-偶□=奇□→偶□-奇□=奇□

由上可知,算式中只出现一个偶数。算式(2)也用同样的方法尝试,可知算式中也只出现一个偶数。所以这六个整数中有两个偶数。

【例4】有两组数,A组:1,3,5,7,9,…,23;B组:2,4,6,8,10,…24。

从A组任选一个数与B组任意一个数相加,能得到几个不同的和?

【思路导航】A组有12个奇数,B组有12个偶数,从A组任选一个数与B组任意一个数相加,奇数+偶数,和必为奇数。

A组与B组的数都是按后一个比前一个大2的规律排列的,所以任意两数的和也能构成连续的奇数。

和最小是1+2=3,最大是23+24=47,3～47之间共有(47-3)÷2+1=23(个)不同的奇数,所以能得到23个不同的和。

解:奇数+偶数=奇数,和的最小值为1+2=3,最大值为23+24=47,(47-3)÷2+1=23,所以能得到23个不同的和。

【例5】一串数排成一行,它们的规律是:前两个数都是1,从第三个数开始,每一个数都是前两个数的和。如:1,1,2,3,5,813,21,34,55,…

(1)照上面的规律写下去,第40个数是奇数还是偶数?

(2)这串数的前100个数(包括第100个数)中,有多少个偶数?

【思路导航】(1)我们将这一串数中每个数是奇数还是偶数写下来:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…

奇奇偶奇奇偶奇奇偶奇

这串数字的规律是:奇奇偶、奇奇偶、奇奇偶……每三个数一循环,40-3=13……1,所以第40个数是奇数。

(2)每三个数一循环,里面有两个奇数和一个偶数,周期为3。

所以,前100个数中,偶数的个数为(100-1)÷3=33(个)。

【例6】走廊里有一个电灯开关,有一天停电了,这个开关被7个人各按了1次,又被3个人各按了2次。如果这盏灯原来是亮着的,那么来电后灯亮还是不亮？

【思路导航】解决这道题的关键是看停电前灯亮着还是没亮着。

如果按的次数为奇数,那么最后的情况与原来相反;如果按的次数为偶数,那么最后的情况与原来相同。

解:我们可以列表来看：

按的次数开始

电灯

亮不亮亮不亮亮不亮

由题可知,灯原来是亮着的,被人按了7+2+2+2=13(次)。13为奇数,最后的情况与原来相反,所以灯是不亮的。

【例7】把29个玩具分给3个小朋友,每个小朋友不要求分得一样多,但要求每个小朋友分到的玩具个数都是偶数,能实现吗?

【思路导航】根据奇数与偶数的性质解答。

解:如果3个小朋友分到的玩具个数都是偶数,偶数+偶数=偶数,玩具的个数也应该为偶数,而29是奇数,所以不能实现。

【例8】元且前夕,同学们相互送贺年卡,每人只要接到对方贺年卡就一定会回赠一张,那么所送贺年卡的总数是奇数还是偶数?

【思路导航】解答这道题的关键是找到每人送贺年卡的张数的奇偶性。

解:因为接到贺年卡的人一定会回赠一张,两人之间送贺年卡的总张数至少是2,所有人送的贺年卡的总数就是由这些2累加起来的,那么总数一定能被2整除。

所以,所送贺年卡的总数是偶数。

【例9】在一个6×6的正方形的每个小方格里填上一个数,规则为:这个数等于它所在小方格的行数与列数的和。

那么所填的36个数中,奇数多还是偶数多?

【思路导航】先将方格内的数填出来,然后再比较一下,就知道奇数多还是偶数多了。

解:由右图可知,奇数有18个,偶数也有18个,所以奇数和偶数一样多。

数学改变科技，。