代数式求值的十种常用方法

代数式求值问题是历年中考试题中一种极为常见的题型，它除了按常规直接代入求值外，还要根据其形式多样，思路多变的特点，灵活运用恰当的方法和技巧，本文结合近两年各地市的中考试题，介绍十种常用的求值方法，以供参考。

一、利用非负数的性质

若已知条件是几个非负数的和的形式，则可利用“若几个非负数的和为零，则每个非负数都应为零”来确定字母的值，再代入求值。目前，经常出现的非负数有，，等。

例1（2007年乌兰察布市）若和互为相反数，则=_______。

解：由题意知，，则且，解得，。因为，所以，故填37。

练习：（2007年深圳市）若，则的值是（  ）

A. 0                                   B. 1                                   C. –1                          D. 2007

提示：，，选C。

二、化简代入法

化简代入法是指先把所求的代数式进行化简，然后再代入求值，这是代数式求值中最常见、最基本的方法。

例2（2007年南宁市）先化简，再求值：，其中，。

解：原式。

当，时，

原式。

练习：（2007年河北省）已知，，求的值。

提示：原式。

当，时，原式=1。

三、整体代入法

当单个字母的值不能或不用求出时，可把已知条件作为一个整体，代入到待求的代数式中去求值的一种方法。通过整体代入，实现降次、归零、约分的目的，以便快速求得其值。

例3（2007年赤峰市）已知，则=_______。

解：由，即。

所以原式

。

故填1。

练习：（2007年潍坊市）代数式的值为9，则的值为

A. 7                                   B. 18                          C. 12                          D. 9

提示：，选A。

四、赋值求值法

赋值求值法是指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法。这是一种开放型题目，答案不唯一，在赋值时，要注意取值范围。

例4（2007年宜昌市）请将式子化简后，再从0，1，2三个数中选择一个你喜欢且使原式有意义的x的值代入求值。

解：原式

。

依题意，只要就行，当时，原式或当时，原式。

练习：（2007年泸州市）先将式子化简，然后请你自选一个理想的x值求出原式的值。

提示：原式。只要和的任意实数均可求得其值。

五、倒数法

倒数法是指将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值的一种方法。

例5（2006年临沂市）若的值为，则的值为

A. 1                                   B. –1                          C.                        D.

解：由，取倒数得，

，即。

所以

，

则可得，故选A。

练习：（2006年滕州市）已知，则的值是________。

提示：，填。

六、参数法

若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母。

例6（2007年芜湖市）如果，则的值是

A.                          B. 1                                   C.                           D.

解：由得，。

所以原式

。

故选C。

练习：（2007年云南省）若，则的值是

A.                          B.                           C. 1                                   D.

提示：设，，选A。

七、配方法

若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果。

例7（2007年徐州市）已知，求的值。

解：由，

得，即，由非负数的性质得，，解得，。所以原式。

练习：（2006年内江市）若，且，则=_________。

提示：，填14。

八、平方法

在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方值，再求平方值的平方根（即以退为进的策略），但要注意最后结果的符号。

例8（2007年天津市）已知且，则当时，的值等于______。

解：因为,,

所以

。

又因为，所以，

所以，故填。

练习：（2007年枣庄市五科联赛）已知3，则的值是_______。

提示：，

填。

九、特殊值法

有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单。

例9（2006年荆门市）若，则的值为_______。

解：由知，若令，则；

若令，则，

所以

。

故填1。

练习：（2006年龙岩市）已知实数a，b满足，那么的值为______。

A.                         B.                           C.                            D. 2

提示：可令，（a、b、c的取值不惟一），选C。

十、利用根与系数的关系

如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值。

例10（2007年德阳市）阅读材料：设一元二次方程的两根为，，则两根与方程系数之间有如下关系：，。根据该材料填空：已知，是方程的两实数根，则的值为______。

解：由根与系数的关系得，

，

所以

。故填10。

练习：（2007年云南省）已知、是一元二次方程的两个根，则的值是

A. 1                                   B.                           C.                         D.

提示：，选D。

事实上，以上这些方法并不是绝对孤立不变的，有时需要多种方法一起使用才能灵活解决问题，解题时，要仔细观测，深入分析，以便选择合理的解题方法，做到简洁、快速解题。