希望快速了解或快速回顾高中物理的读者可以只看基础知识部分。其余部分是为需要参加学科考试或需要一定知识提升的读者准备的。对于更广泛的读者而言，考试中的某些易错点可能包括出题者人为设置的陷阱，其目标只是为了在不同细心程度的学生们之间拉开分数差距，熟悉它们并不全都有助于理解本学科的知识精髓。

定义1：物体在一条直线上运动，且在任意相等的时间间隔内的速度的变化量相等，这种运动称为“匀变速直线运动”（uniform variable rectilinear motion）。

定义2：匀变速直线运动是加速度不变的直线运动。[1]

注意：加速度与初速度方向相同，可称为匀加速直线运动；加速度与初速度方向相反，可称为匀减速直线运动；但若物体运动途中速度改变方向，这两种就都不算了。

先由加速度的定义式 a = Δ v Δ t {\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {\Delta {\boldsymbol {v}}}{\Delta t}}} 可知 Δ v = a Δ t {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {a}}\Delta t} 。注意到 Δ v = v t − v 0 {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {v}}={\boldsymbol {v_{t}}}-{\boldsymbol {v_{0}}}} ， 其中 v 0 {\displaystyle {\boldsymbol {v_{0}}}} 是匀变速直线运动的初速度， v t {\displaystyle {\boldsymbol {v_{t}}}} 是末速度。由此得到重要公式： v t = v 0 + a Δ t {\displaystyle {\boldsymbol {v_{t}}}={\boldsymbol {v_{0}}}+{\boldsymbol {a}}{\Delta t}}

另一方面，根据位移、时间与平均速度的关系可得： Δ x t = ( v 0 + v t ) Δ t 2 = v 0 t + 1 2 a Δ t 2 {\displaystyle \Delta {\boldsymbol {x_{t}}}={\frac {({\boldsymbol {v_{0}}}+{\boldsymbol {v_{t}}})\Delta t}{2}}={\boldsymbol {v_{0}}}t+{\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}}

如果将 t = v t − v 0 a {\displaystyle t={\frac {v_{t}-v_{0}}{a}}} 带入上面的式子，还可以得到 Δ x = v t 2 − v 0 2 2 a {\displaystyle \Delta x={\frac {v_{t}^{2}-v_{0}^{2}}{2a}}} 。（这2个公式是非矢量形式的表达。）

由此，可以看出，只要 v 0 {\displaystyle v_{0}} 、 v t {\displaystyle v_{t}} 、 a {\displaystyle a} 、 t {\displaystyle t} 、这4个物理量中知道了3个，就可以求出t时刻的位移了。

4个基本公式列举如下[2][3]：

大部分基础题都是给出其中的3个物理量，然后寻找包含已知量较多的公式，求剩下的1个或2个未知量。有些难题则可能不方便直接一步一步求解，需要联立方程组，或是使用特殊情形下的结论才能得到简便解法。

这类问题经常只有1个字的细微区别，但是如果审题时没有足够留意，会导致所求量的含义完全不同。这是考试中利用文字游戏设置陷阱的做法。

相关例题1：汽车在水平面上刹车，其位移与时间的关系是 x = 24 t − 6 t 2 {\displaystyle x=24t-6t^{2}} ，求它在前3秒内的位移大小。

相关例题2：小球以 v 0 = 6 m / s {\displaystyle v_{0}=6m/s} 的初速度从中间滑上表面光滑且足够长的斜面，且小球在斜面上运动时的加速度大小为 2 m / s 2 {\displaystyle 2m/s^{2}} 、加速度方向不变。问小球速度大小为 3 m / s {\displaystyle 3m/s} 时运动了多少时间？

考虑匀变速直线运动的平均速度，则有： v ¯ = Δ x t t = v 0 t + 1 2 a Δ t 2 t = v 0 + 1 2 a Δ t = v t 2 {\displaystyle {\bar {v}}={\frac {\Delta {\boldsymbol {x_{t}}}}{t}}={\frac {{\boldsymbol {v_{0}}}t+{\frac {1}{2}}a\Delta t^{2}}{t}}={\boldsymbol {v_{0}}}+{\frac {1}{2}}a\Delta t={\boldsymbol {v_{\frac {t}{2}}}}}

这说明匀变速直线运动的平均速度等于其中间时刻的速度。这可以与梯形面积等于中位线乘高相类比。

相关例题1： 一物体做匀变速直线运动，依次经过A、B、C三个点。已知AB = BC，且质点在AB段运动的平均速度大小为 3 m / s {\displaystyle 3m/s} ，在BC段运动的平均速度大小为 6 m / s {\displaystyle 6m/s} 。求质点在B点的瞬时速度大小。

提示：质点在做匀变速运动，通过AB与BC段的所用时间长度并不相等，所以所求的在B时刻的瞬时速度大小并不等于在AB段的平均速度大小和在BC段的平均速度大小的算术平均数。但可以根据已知条件估算质点通过这两段路所用的时间之比。

解答： 设质点在AB段上运动的时间为 t 1 {\displaystyle t_{1}} ，在BC段上运动的时间为 t 2 {\displaystyle t_{2}} ，加速度大小为a，在B点处的瞬时速度大小为 v B {\displaystyle v_{B}} 。 根据题意可知两段距离AB和BC相等，利用 x = v ¯ t {\displaystyle x={\bar {v}}t} 对两端位移分别列式可得： 3 × t 1 = A B ¯ = B C ¯ = 6 × t 2 {\displaystyle 3\times t_{1}={\bar {AB}}={\bar {BC}}=6\times t_{2}} ，即有 t 1 = 2 t 2 {\displaystyle t_{1}=2t_{2}} 。 又因为质点通过AB段的中间时刻的瞬时速度 v 1 = A B ¯ = 3 m / s {\displaystyle v_{1}={\bar {AB}}=3m/s} ，通过BC段的中间时刻的瞬时速度 v 2 = B C ¯ = 6 m / s {\displaystyle v_{2}={\bar {BC}}=6m/s} ， 将得到的速度带入 v 2 − v 1 = a ( t 1 2 + t 2 2 ) {\displaystyle v_{2}-v_{1}=a({\frac {t_{1}}{2}}+{\frac {t_{2}}{2}})} 可以求出a。再根据 v B − v 1 = a t 1 2 {\displaystyle v_{B}-v_{1}=a{\frac {t_{1}}{2}}} 可以求出 v B = 5 m / s {\displaystyle v_{B}=5m/s} 。

答案： 5 m / s {\displaystyle 5m/s} 。

相关例题2：一物体做匀加速直线运动，通过一段长为L的位移所用的时间为 t 1 {\displaystyle t_{1}} ，紧接着又通过一段同样长为L的位移所用的时间为 t 2 {\displaystyle t_{2}} ，求物体运动的加速度大小。

设匀变速直线运动的初速度大小为 v 0 {\displaystyle v_{0}} ，加速度大小为 a {\displaystyle a} ，末速度大小为 v t {\displaystyle v_{t}} ，位移大小为 x {\displaystyle x} ，物体经过这段位移的中点时的速度为 v x / 2 {\displaystyle v_{x/2}} 。则： 对于前半段位移 x 2 {\displaystyle {\frac {x}{2}}} 可以得到： v x 2 2 − v 0 2 = 2 a ⋅ x 2 {\displaystyle v_{\frac {x}{2}}^{2}-v_{0}^{2}=2a\cdot {\frac {x}{2}}} ； 对于后半段位移 x 2 {\displaystyle {\frac {x}{2}}} 可以得到： v t 2 − v x 2 2 = 2 a ⋅ x 2 {\displaystyle v_{t}^{2}-v_{\frac {x}{2}}^{2}=2a\cdot {\frac {x}{2}}} ； 联立这2个式子可以解得： v x 2 = v 0 2 + v t 2 2 {\displaystyle v_{\frac {x}{2}}={\sqrt {\frac {v_{0}^{2}+v_{t}^{2}}{2}}}} 。

如果分析v-t图像的面积特点，还可以得到：不论加速还是减速，在匀变速直线运动中一定有 v x 2 > v t 2 {\displaystyle v_{\frac {x}{2}}>v_{\frac {t}{2}}} 成立。

相关例题： 一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为 L {\displaystyle L} ，火车头经过某路标时的速度为 v 1 {\displaystyle v_{1}} ，或车尾经过此路标时的速度为 v 2 {\displaystyle v_{2}} ，求： (1)火车的加速度大小a； (2)火车中点经过此路标时的速度v； (3)整列火车通过此路标所用的时间t。

提示：火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动。此质点在初始时刻的速度为 v 1 {\displaystyle v_{1}} ，前进了大小为 L {\displaystyle L} 的位移后，速度变为 v 2 {\displaystyle v_{2}} ，所求的v是经过 L 2 {\displaystyle {\frac {L}{2}}} 处的速度。

解答： (1)由匀加速直线运动公式 v 2 2 − v 1 2 = 2 a L {\displaystyle v_{2}^{2}-v_{1}^{2}=2aL} ，可得： a = v 2 2 − v 1 2 2 L {\displaystyle a={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2L}}} 。 (2)对两段位移分别列式： 前一半位移： v 2 − v 1 2 = 2 a ⋅ L 2 {\displaystyle v^{2}-v_{1}^{2}=2a\cdot {\frac {L}{2}}} ； 后一半位移： v 2 2 − v 2 = 2 a ⋅ L 2 {\displaystyle v_{2}^{2}-v^{2}=2a\cdot {\frac {L}{2}}} ； 即 v 2 − v 1 2 = v 2 2 − v 2 {\displaystyle v^{2}-v_{1}^{2}=v_{2}^{2}-v^{2}} ，所以 v = v 1 2 + v 2 2 2 {\displaystyle v={\sqrt {\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}{2}}}} 。 (3)根据火车在这段时间内的平均速度 v ¯ = v 1 + v 2 2 {\displaystyle {\bar {v}}={\frac {v_{1}+v_{2}}{2}}} ，可得所用时间为 t = L v ¯ = L v 1 + v 2 2 = 2 L v 1 + v 2 {\displaystyle t={\frac {L}{\bar {v}}}={\frac {L}{\frac {v_{1}+v_{2}}{2}}}={\frac {2L}{v_{1}+v_{2}}}} 。

答案：(1) a = v 2 2 − v 1 2 2 L {\displaystyle a={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2L}}} ；(2) v = v 1 2 + v 2 2 2 {\displaystyle v={\sqrt {\frac {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}{2}}}} ；(3) t = 2 L v 1 + v 2 {\displaystyle t={\frac {2L}{v_{1}+v_{2}}}} 。

在匀变速直线运动中，任意两个连续相等的时间间隔 Δ t {\displaystyle \Delta t} 内，位移之差是一个常量，即 Δ x = a ( Δ t ) 2 {\displaystyle \Delta x=a(\Delta t)^{2}} 。

假设物体依次经过 x 1 {\displaystyle x_{1}} 、 x 2 {\displaystyle x_{2}} 、 x 3 {\displaystyle x_{3}} 这3个点，且经过相邻2点所用的时间间隔都是 Δ t {\displaystyle \Delta t} ，那么有： x 1 = 1 2 a t 2 ,   x 2 = 1 2 a ( t + Δ t ) 2 ,   x 3 = 1 2 a ( t + 2 Δ t ) 2 {\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}at^{2},\ x_{2}={\frac {1}{2}}a(t+\Delta t)^{2},\ x_{3}={\frac {1}{2}}a(t+2\Delta t)^{2}}

从点 x 1 {\displaystyle x_{1}} 运动到点 x 2 {\displaystyle x_{2}} 的位移为： x 12 = x 2 − x 1 = 1 2 a ( ( t + Δ t ) 2 − t 2 ) = 1 2 a ( 2 t Δ t + ( Δ t ) 2 ) {\displaystyle x_{12}=x_{2}-x_{1}={\frac {1}{2}}a((t+\Delta t)^{2}-t^{2})={\frac {1}{2}}a(2t\Delta t+(\Delta t)^{2})} 从点 x 2 {\displaystyle x_{2}} 运动到点 x 3 {\displaystyle x_{3}} 的位移为： x 23 = x 3 − x 2 = 1 2 a ( ( t + 2 Δ t ) 2 − ( t + Δ t ) 2 ) = 1 2 a ( 2 t Δ t + 3 ( Δ t ) 2 ) {\displaystyle x_{23}=x_{3}-x_{2}={\frac {1}{2}}a((t+2\Delta t)^{2}-(t+\Delta t)^{2})={\frac {1}{2}}a(2t\Delta t+3(\Delta t)^{2})}

因此在时长相同的相邻的2段距离中的位移之差为： x 23 − x 12 = 1 2 a ⋅ 2 ( Δ t ) 2 = a ( Δ t ) 2 {\displaystyle x_{23}-x_{12}={\frac {1}{2}}a\cdot 2(\Delta t)^{2}=a(\Delta t)^{2}}

知识背景：从等差数列问题的角度看，因为位移关于时间的表达式是离散的二次函数，所以它的二阶差分结果必为常数。

从 v t = v 0 + a Δ t {\displaystyle {\boldsymbol {v_{t}}}={\boldsymbol {v_{0}}}+{\boldsymbol {a}}{\Delta t}} 可以看出在匀变速直线运动中，速度与时刻呈一次函数关系。因此，匀变速直线运动的v-t图像是一条不与x轴平行的直线。

因此，它与坐标轴围成的图像是一个梯形，梯形的面积也就是匀变速直线运动的的位移。[4]

v ¯ = v t 2 {\displaystyle {\bar {v}}={\boldsymbol {v_{\frac {t}{2}}}}} 匀变速直线运动的平均速度等于其中间时刻的速度这一规律，可以与梯形面积等于中位线乘高相类比。

知识背景：如果推广到更一般的情形，分析任何函数曲线图中面积和斜率的含义，都可以直接利用量纲分析的方法。

解法1： 首先，由初速度为零易知: x P = 1 2 a t P 2 ,   x Q = 1 2 a t Q 2 ,   x N = 1 2 a t N 2 {\displaystyle x_{P}={\frac {1}{2}}at_{P}^{2},\ x_{Q}={\frac {1}{2}}at_{Q}^{2},\ x_{N}={\frac {1}{2}}at_{N}^{2}} 其次,对已知的2段距离作比例式可得： 4 3 = x N − x Q x Q − x P = 1 2 a t N 2 − 1 2 a t Q 2 1 2 a t Q 2 − 1 2 a t P 2 = t N 2 − t Q 2 t Q 2 − t P 2 = ( t N + t Q ) ( t N − t Q ) ( t Q + t P ) ( t Q − t P ) = ( t N + t Q ) Δ t ( t Q + t P ) Δ t = t N + t Q t Q + t P = ( t Q + Δ t ) + t Q t Q + ( t Q − Δ t ) = 2 t Q + Δ t 2 t Q − Δ t {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {4}{3}}&={\frac {x_{N}-x_{Q}}{x_{Q}-x_{P}}}={\frac {{\frac {1}{2}}at_{N}^{2}-{\frac {1}{2}}at_{Q}^{2}}{{\frac {1}{2}}at_{Q}^{2}-{\frac {1}{2}}at_{P}^{2}}}={\frac {t_{N}^{2}-t_{Q}^{2}}{t_{Q}^{2}-t_{P}^{2}}}={\frac {(t_{N}+t_{Q})(t_{N}-t_{Q})}{(t_{Q}+t_{P})(t_{Q}-t_{P})}}\\&={\frac {(t_{N}+t_{Q})\Delta t}{(t_{Q}+t_{P})\Delta t}}={\frac {t_{N}+t_{Q}}{t_{Q}+t_{P}}}={\frac {(t_{Q}+\Delta t)+t_{Q}}{t_{Q}+(t_{Q}-\Delta t)}}={\frac {2t_{Q}+\Delta t}{2t_{Q}-\Delta t}}\\\end{aligned}}} 即有 4 3 = 2 t Q + Δ t 2 t Q − Δ t ⇒ t Q = 3.5 Δ t {\displaystyle {\frac {4}{3}}={\frac {2t_{Q}+\Delta t}{2t_{Q}-\Delta t}}\Rightarrow t_{Q}=3.5\Delta t} 。 最后将要求的x_P比上一段与其有关的距离x_Q可得： x P x P + 3 = x P x Q = 1 2 a t P 2 1 2 a t Q 2 = ( t P t Q ) 2 = ( t Q − Δ t t Q ) 2 = ( 3.5 Δ t − Δ t 3.5 Δ t ) 2 = ( 5 7 ) 2 {\displaystyle {\frac {x_{P}}{x_{P}+3}}={\frac {x_{P}}{x_{Q}}}={\frac {{\frac {1}{2}}at_{P}^{2}}{{\frac {1}{2}}at_{Q}^{2}}}=({\frac {t_{P}}{t_{Q}}})^{2}=({\frac {t_{Q}-\Delta t}{t_{Q}}})^{2}=({\frac {3.5\Delta t-\Delta t}{3.5\Delta t}})^{2}=({\frac {5}{7}})^{2}} 即有 x P x P + 3 = ( 5 7 ) 2 ⇒ x P = 25 8 {\displaystyle {\frac {x_{P}}{x_{P}+3}}=({\frac {5}{7}})^{2}\Rightarrow x_{P}={\frac {25}{8}}} 。

解法2： 根据题意，先列出下列各个式子(其中 Δ t {\displaystyle \Delta t} 为题中所给的2段相同时间间隔之一)： { v Q − 0 = a t Q . . . ( 1 ) v ¯ O Q ⋅ t Q = v Q − 0 2 ⋅ t Q = x Q . . . ( 2 ) v Q = 3 + 4 2 Δ t . . . ( 3 ) 4 − 3 = a ( Δ t ) 2 . . . ( 4 ) {\displaystyle \left\{{\begin{array}{lr}v_{Q}-0=at_{Q}&...(1)\\{\bar {v}}_{OQ}\cdot t_{Q}={\frac {v_{Q}-0}{2}}\cdot t_{Q}=x_{Q}&...(2)\\v_{Q}={\frac {3+4}{2\Delta t}}&...(3)\\4-3=a(\Delta t)^{2}&...(4)\\\end{array}}\right.}

求解思路(按顺序依次求出或表示出)： Δ t → a → t Q → x Q → x P {\displaystyle \Delta t\rightarrow a\rightarrow t_{Q}\rightarrow x_{Q}\rightarrow x_{P}} 。 首先由(3)式有 Δ t = 7 2 v Q {\displaystyle \Delta t={\frac {7}{2v_{Q}}}} ，其次由(4)式有 a = 1 ( Δ t ) 2 = 1 ( 7 2 v Q ) 2 = 4 v Q 2 49 {\displaystyle a={\frac {1}{(\Delta t)^{2}}}={\frac {1}{({\frac {7}{2v_{Q}}})^{2}}}={\frac {4v_{Q}^{2}}{49}}} ， 再其次由(1)式有 t Q = v Q a = v Q 4 v Q 2 49 = 49 4 v Q {\displaystyle t_{Q}={\frac {v_{Q}}{a}}={\frac {v_{Q}}{\frac {4v_{Q}^{2}}{49}}}={\frac {49}{4v_{Q}}}} ， 再其次由(2)式有 x Q = v Q 2 ⋅ t Q = v Q 2 ⋅ ( 49 4 v Q ) = 49 8 {\displaystyle x_{Q}={\frac {v_{Q}}{2}}\cdot t_{Q}={\frac {v_{Q}}{2}}\cdot ({\frac {49}{4v_{Q}}})={\frac {49}{8}}} ， 最后可得所求的答案 x P = x Q − 3 = 49 8 − 3 = 25 8 {\displaystyle x_{P}=x_{Q}-3={\frac {49}{8}}-3={\frac {25}{8}}} 。

此外， v Q 2 − 0 2 = 2 a x Q {\displaystyle v_{Q}^{2}-0^{2}=2ax_{Q}} 是由式(1)和式(2)联合推导而来的，并非独立规律，所以当已经列出前2个式子时不能再重复列出此式。

答案： 25 8 {\displaystyle {\frac {25}{8}}} 。