二　功与能量的关系

1.势能定理

(1).相关概念

保守力：如果力对物体所作的功只与位置有关，而与中间过程无关，称之为保守力。

　保守力：满足条件： 或 （旋度，无旋场），称为保守力。

　　　其中：，称为矢量微分算符。

　势能：由于物体的某种相对位置而具有的能量，称为势能。

　讨论： A.引入势能的前提条件――作功的力是保守力。或只有保守力才可能引入势能。

　   B.势能是指相互作用的物体系的势能，讨论单独一个物体的势能是无意义的。

　   C.物体系中某一物体的势能与坐标系或零势能的选择有关，即具有相对性。但物体系的势能与参照系的选择无关，因物体系的相互作用是内力，内力作功与参照系的选择无关。

　D.求解物体势能的一般方法。选取物体系的某一物体作参照系，另一物体相对于它的势能，

等于在保守力作用下将其从待求点移至参考点时，保守力所作的功。

(2).势能定理――力的空间累积与物体系势能间的定量关系

保守力对物体所作的功，等于物体增量的负值。

例：如图，上端固定的轻质弹簧下端固定质量为m的物体，设弹簧的原长在o

点，挂上物体后弹簧伸长x0到A点。

求：以A点为原点，弹簧伸长任意长度时物体系的势能。

解：建立图示坐标系。

设将物体从A点拉长至B点，弹簧的伸长量为x1

B点的弹性势能等于保守力弹力将m从B点拉向A点所作的功：

而：，　　　　　　于是：　　　

B点的重力势能等于保守力重力将m从B点拉向A点所作的功：　

物体系的总势能：　　　　　　　　

结论：以新的平衡位置A为原点时，相当于原长在A点而没有悬挂重物的弹簧运动。

讨论：A.本题的目的在于弄清物体势能的求解方法，特别是当物体系有多种势能出现时。

　　　B.该题的结论具有普遍的适用性，可作为定理使用。

2.动能定理

(1).相关概念

动能：由于物体运动而具有的能量，称为动能。

说明：动能与参考系的选择有关，且恒为正。

(2).动能定理――力的空间累积对动能影响的定量关系

A.单质点的动能定理：合外力对单质点所作的功等于质点动能的增量。

　微分形式：　　　积分形式：

　推导：微分形式

　　　　积分形式：

　理解：A.动能定理表明，动能定理与状态相联系。力在空间上的累积是动能改变的原因。

　　　　B.适用条件：动能定理建立在牛顿第二定律基础上，因而，牛顿定律的适用条件――惯性参考系――也是动能定理的适用条件。

C.动能定理中的合外力，包含所有外力――保守力和非保守力。

D.单质点的动能守恒定理

B.质点系的动能定理：质点系所受的所有合外力及所有内力所作的功，等于物体系动能的增量。

微分形式：　　

积分形式：

推导：质点i的初动能记为Ei0，末动能记Ei由单质点动能定理：

将上述各式相加：　　　　　　

记：，，，，

由于：　　　　　　　　　　不一定为零

于是：　　或　

讨论：A.适用条件：惯性系，所有质点相对于同一参考系。

　　　B. 动能定理中的合外力，包含所有外力――保守力和非保守力。

　　　C.质点系的动能守恒定理：当时，质点系动能守恒。

3.功能原理

　考虑质点系动能定理： 

　考虑势能定理：　　　　　　　同时令：　

　联立上述三个方程，得：　　

　定义机械能：物体系动能与势能的总和称为机械能。

  功能原理：外力与非保守内力对物体系所作的功，等于物体系机械能的增量。

讨论：A.成立条件：惯性系。

B.功能原理中，只计及非保守内力和合外力对功的贡献，保守内力所作的功已记入机械能的势能中。

C.功能原理的物理意义：力对空间的累积效应体现于物体系机械能的改变。或，功是物体系机械能改变的量度。

　　　D.机械能守恒定律：当时，物体系的机械能守恒。

　　　E.解题步骤：a.确定研究对象，建立坐标系。b.列功能原理或机械能守恒方程；求解。