例題：以下の式を簡単にせよ： (1) $2^3\times 2^4$　　　(2) $3^5\div 3^3$ (3) $(4^2)^3$　　　(4) $(4\times 5)^3$ (5) $\left(\dfrac{5}{4}\right)^3$

１つずつ解説していきます。

目次

公式：$a^m\times a^n=a^{m+n}$

例：$2^3\times 2^4=2^{3+4}=2^7$

意味：かけ算のとき、指数の部分はたし算になります。 2を3回かけたもの $2\times 2\times 2$ と 2を4回かけたもの $2\times 2\times 2\times 2$ をかけ算すると、たしかに2を7回かけたものになります。

公式：$a^m\div a^n=a^{m-n}$

例：$3^5\div 3^3=3^{5-3}=3^{2}$

意味：わり算のとき、指数の部分は引き算になります。 $\dfrac{3\times 3\times 3\times 3\times 3}{3\times 3\times 3}$ は、約分（分母分子を3で3回割る）できて、たしかに3を2回かけたものになります。

公式：$(a^m)^n=a^{mn}$

例：$(4^2)^3=4^{2\times 3}=4^6$

意味：「$m$ 回かけたもの」を $n$ 回かけると「$mn$ 回かけたもの」になります。 「4を2回かけたもの」を3回かけたものは、 $(4\times 4)\times (4\times 4)\times (4\times 4)$ となり、たしかに4を6回かけたものになります。

公式：$(ab)^m=a^mb^m$

例：$(4\times 5)^3=4^3\times 5^3$

意味：「かけ算して $m$ 乗したもの」と「$m$ 乗してかけ算したもの」は等しい。 「4と5をかけ算して3乗したもの」 $(4\times 5)\times(4\times 5)\times(4\times 5)$ 「4を3乗したものと5を3乗したもののかけ算」 $(4\times 4\times 4)\times (5\times 5\times 5)$ はかけ算の順番を交換しただけなので確かに等しいです。

公式：$\left(\dfrac{a}{b}\right)^m=\dfrac{a^m}{b^m}$

例：$\left(\dfrac{5}{4}\right)^3=\dfrac{5^3}{4^3}$

意味：「わり算して $m$ 乗したもの」と「$m$ 乗してわり算したもの」は等しい。 「5を4で割って3乗したもの」 $\dfrac{5}{4}\times\dfrac{5}{4}\times\dfrac{5}{4}$ 「5の3乗を4の3乗で割ったもの」 $\dfrac{5\times 5\times 5}{4\times 4\times 4}$ は確かに等しいです。

次回は 比例（数学）の意味を分かりやすく解説 を解説します。