第七章 8 机械能守恒定律 |
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第七章 8 机械能守恒定律
演示
如图7.8-1,一个用细线悬挂的小球从A点开始摆动。记住它向右能够达到的最大高度。然后用一把直尺在P点挡住悬线,看一看这种情况下小球所能达到的最大高度。 图7.8-1 小球能摆多高?如果从能量的角度分析这个现象,你认为实验说明了什么? 动能与势能的相互转化物体自由下落或沿光滑斜面滑下时,重力对物体做正功,物体的重力势能减少。减少的重力势能到哪里去了?我们发现,在这些过程中,物体的速度增加了,表示物体的动能增加了。这说明,物体原来的重力势能转化成了动能。 原来具有一定速度的物体,由于惯性在空中竖直上升或沿光滑斜面上升,这时重力做负功,物体的速度减小,表示物休的动能减少了。但由于物体的高度增加,它的重力势能增加了。这说明,物体原来具有的动能转化成了重力势能。 不仅重力势能可以与动能相互转化,弹性势能也可以与动能相互转化。被压缩的弹簧具有弹性势能,当弹簧恢复原来形状时,就把跟它接触的物体弹出去。这一过程中,弹力做正功,弹簧的弹性势能减少,而物体得到一定的速度,动能增加。射箭时弓的弹性势能减少,箭的动能增加,也是这样一种过程。 图7.8-2 小孩松手后橡皮条收缩,弹力对模型飞机做功,弹性势能减少,飞机的动能增加。动能转化为重力势能或弹性势能时,重力或弹力做负功。你能举出这样的例子吗? 从上面的讨论可以看到,重力势能、弹性势能与动能之间具有密切的联系,我们把它们统称为机械能(mechanical energy)。通过重力或弹力做功,机械能可以从一种形式转化成另一种形式。 机械能守恒定律动能与势能的相互转化是否存在某种定量的关系?这里以动能与重力势能的相互转化为例,讨论这个问题。 我们讨论物体只受重力的情况,如自由落体运动或各种抛体运动;或者虽受其他力,但其他力并不做功,如物体沿图7.8-3所示光滑曲面滑下的情形。一句话,在我们所研究的情形里,只有重力做功。 图7.8-3 物体沿光滑曲面滑下在图7.8-3中,物体在某一时刻处在位置A,这时它的动能是Ek1,重力势能是Ep1,总机械能是E1=Ek1+Ep1。经过一段时间后,物体运动到另一位置B,这时它的动能是Ek2,重力势能是Ep2,总机械能是E2=Ek2+Ep2。 以W表示这一过程中重力做的功。从动能定理知道,重力对物体做的功等于物体动能的增加,即 W=Ek2-Ek1 另一方面,从重力的功与重力势能的关系知道,重力对物体做的功等于重力势能的减少(见本章第4节“重力势能”),即 W=Ep1-Ep2 从以上两式可得 Ek2-Ek1=Ep1-Ep2 移项后,有 Ek2+Ep2=Ek1+Ep1 即 E2=E1 可见,在只有重力做功的物体系统内,动能与重力势能可以互相转化,而总的机械能保持不变。 同样可以证明,在只有弹力做功的物体系统内,动能和弹性势能可以互相转化,总的机械能也保持不变。 我们的结论是:在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以互相转化,而总的机械能保持不变。这叫做机械能守恒定律(law of conservation of mechanical energy)。它是力学中的一条重要定律,是普遍的能量守恒定律的一种特殊情况。 图7.8-4 滑雪者沿斜面下滑时,忽略阻力,阻力不做功;雪面的支持力与运动方向垂直,也不做功;只有重力做功。 例题把一个小球用细线悬挂起来,就成为一个摆(图7.8-5),摆长为l,最大偏角为θ。如果阻力可以忽略,小球运动到最低位置时的速度是多大? 图7.8-5 已知小球摆动的最大偏角,计算它的最大速度。【分析】在阻力可以忽略的情况下,小球摆动过程中受重力和细线的拉力。细线的拉力与小球的运动方向垂直,不做功,所以这个过程中只有重力做功,机械能守恒。 小球在最高点只有重力势能,没有动能,计算小球在最高点和最低点重力势能的差值,根据机械能守恒定律就能得出它在最低点的动能,从而算出它在最低点的速度。 【解】把最低点的重力势能定为0,以小球在最高点的状态作为初状态。在最高点的重力势能是Ep1=mg(l-lcosθ),而动能为0,即Ek1=0。 小球在最高点与最低点的高度差为l-lcosθ,这个关系可以由几何关系得出。 以小球在最低点的状态作为末状态,势能Ep2=0,而动能可以表示为Ek2=\(\frac{1}{2}\)mv2。 运动过程中只有重力做功,所以机械能守恒,即 Ek2+Ep2=Ek1+Ep1 把各个状态下动能、势能的表达式代入,得 \(\frac{1}{2}\)mv2=mg(l-lcosθ) 由此解出 v=\(\sqrt {2gl(1 - \cos \theta )} \) 从得到的表达式可以看出,初状态的θ角越大,cosθ越小,(1-cosθ)就越大,v也就越大。也就是说,最初把小球拉得越高,它到达最下端时的速度也就越大。这与生活经验是一致的。 解决一个问题之后要对结论进行分析。如果与已有的知识或日常经验不一致,则要认真考虑,看看是否出现了错误。这就是我们所说的“评估”。
从这个例题可以看出,应用机械能守恒定律解决问题,只需考虑运动的初状态和末状态,不必考虑两个状态间过程的细节。如果直接用牛顿定律解决问题,需要分析过程中各种力的作用,而这些力又往往在变化着,因此一些难于用牛顿定律解决的问题,应用机械能守恒定律则易于解决。 思考与讨论一个小球在真空中自由下落,另一个同样的小球在黏性较大的液体中由静止开始下落。它们都由高度为h1的地方下落到高度为h2的地方。在这两种情况下,重力做的功相等吗?重力势能的变化相等吗?动能的变化相等吗?重力势能各转化成什么形式的能? 问题与练习1.如图7.8-6,质量为m的小球从光滑曲面上滑下。当到达高度为h1的位置A时,速度的大小为v1,滑到高度为h2的位置B时,速度的大小为v2。在由高度h1滑到高度h2的过程中,重力做的功为W。 图7.8-6 研究小球的能量变化(1)根据动能定理列出方程,描述小球在A、B两点间动能的关系。 (2)根据重力做功与重力势能的关系,把以上方程变形,以反映出小球运动过程中机械能是守恒的。 2.神舟号载人飞船在发射至返回的过程中,以下哪些阶段中返回舱的机械能是守恒的? A.飞船升空的阶段。 B.飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段。 C.返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段。 D.降落伞张开后,返回舱下降的阶段。 3.把质量为0.5 kg的石块从10 m高处以30°角斜向上方抛出(图7.8-7),初速度是v0=5 m/s。不计空气阻力。 图7.8-7 讨论石块落地时的速度(1)石块落地时的速度是多大?请用机械能守恒定律和动能定理分别讨论。 (2)石块落地时速度的大小与下列哪些量有关,与哪些量无关?说明理由。 A.石块的质量。 B.石块初速度的大小。 C.石块初速度的仰角。 D.石块抛出时的高度。 4.有一种地下铁道,车站的路轨建得高些,车辆进站时要上坡,出站时要下坡,如图7.8-8。设坡高h为2 m,进站车辆到达坡下的A点时,速度为25.2 km/h,此时切断电动机的电源,车辆能不能“冲”到坡上?如果能够,到达坡上的速度是多大? 图7.8-8 有的地下铁道车站的路轨建得比较高 文件下载(已下载 218 次)发布时间:2016/12/21 11:35:45 阅读次数:1923 评论由于网络审查方面的原因,本网站自2019年8月起已关闭留言功能,若有什么问题可致信站长邮箱:[email protected]。 2006 - 2024,推荐分辨率1024*768以上,推荐浏览器Chrome、Edge等现代浏览器,截止2021年12月5日的访问次数:1872万9823。 站长邮箱 沪ICP备18037240号-1,沪公网安备 31011002002865号 |
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