首先我们要知道什么是算符，加减乘除，开方平方，求导积分其实都是算符，在量子力学中，我们把一个变换记作：

这里的上标F就是一个算符。

先介绍一些简单的性质，首先算符具有唯一性，即结果相同则算符相等，算符满足交换律结合律，分配律。此外，算符一般不对易，可对易就是指作用时，算符无先后顺序，如果算符满足交换顺序后多个负号，则称为反对易。

算符和矩阵相似，也有“逆算符”这个说法，存在性质

，注意，不是所有算符都有逆算符，就和不是所有矩阵都有逆矩阵一样。

下面介绍内积：

表示对体系全部坐标空间积分。

介绍一下*的含义，表示复共轭，即表示在该标记下的函数，算符，里面的复量换成共轭复量。

接下来是转置算符：

定义是 ：

就是

，交换顺序，然后再分别对未知数求共轭，不难记。

可以证明：

。

然后就是我们的重点，厄米共轭算符：

定义：

，这个Dagger符号，就是厄米共轭的意思，其实很简单，就是对内积先取转置，再取共轭就可以了。

再介绍一下线性算符的定义，意思就是算符的作用满足结合律：

和矩阵相似，由于算符是不可测量的，我们需要知道它的“等价”数，这种数被称为本征值。定义

，这个λ就是一个本征值，聪明的au一定发现了，和矩阵相似，是的，本征值不止一个。

量子力学中，我们人为定义动量算符符号：

，表示坐标的算符就是本身

，介绍一个常用算符，哈密顿算符

，这个表示体系的能量。哈密顿算符是哈密顿函数中把动量p换算成动量算符而得出的，我们就不妨猜测：如果量子李学忠的力学量F在经典力学中有相应的力学量，我们就可以把经典表达式中的该算符用量子算符换算得出（其实就是物理学家经典偷懒代换）。

例如角动量算符就变成了：

。

当体系处于哈密顿算符的本征态时，能量有确定值，这个值就是本征态中的本征值；又可知道，体系处于动量算符的本征态时，动量有确定值，这个值就是该本征态的本征值。物理学家又猜测：

如果算符表示力学量，那么当体系处于该算符下的本征态时，力学量有确定值，这个值就是本征值。

我们知道，所有力是学量都是实数，表示力学量的算符的本征值都是这个力学量的可能值，那么这些本征值只可能实数。而厄米算符就具有这个性质，因而量子力学中表示力学量的算符都是厄米算符。若想要证明，从厄米算符的定义出发，令两个未知数相等，再把本征值代入就易得本征值的共轭是本征值自己，这就表示没有虚数项，即就是实数。（定义某算符的厄米共轭若是它自己，就称该算符为厄米算符，即就是：

这个F就称为厄米算符。）

不难验证，坐标算符与动量算符都是厄米算符，这里不过多介绍，读者可以自己证明，注意两个未知函数处于束缚态。

这有什么用？原子物理的氢模型就可以由量子力学的这些乱七八糟的算符来表达，我们可以讨论电子在库伦场中的运动和氢原子模型并与实验结果对比来比较这些符号语言的对错，实际上，符合的相当好。

我们先讲到这里，我这里跳过了实际讨论，只讲解了基本概念，因为实际运用的数学过程太过繁琐。接下来我会讲厄米算符正交性和算符与力学量关系。