如何快速求圆的切线方程？

我以 (x-3)^2+(y-4)^2=25 为例。

方法一：隐函数求导！

求导得： \frac{d}{dx}[(x-3)^2]+\frac{d}{dx}[(y-4)^2]=0

∴ 2x-6+2(y-4)\frac{dy}{dx}=0

∴ \frac{dy}{dx}=\frac{3-x}{y-4}

所以圆上点 \left( x_{0},y_{0} \right) 处的切线斜率为 \frac{3-x_{0}}{y_{0}-4}

方法二：点斜式基本推导！（圆上的每个点都有唯一的切线与之相切，切线的斜率k是一个确定的常数，表示该直线的方向。由于k是一个常数，这意味着在圆的每个点的切线方程的k都是二元。）

即 y-y_{0}=\frac{3-x_{0}}{y_{0}-4}(x-x_{0}) （1）

计算出圆上点 (x_{0},y_{0}) 的坐标，随后代入（1）式。

点 (6,0) 在该圆上，将 x_{0}=6,y_{0}=0 代入（1）式，就可以求得圆上该点上的切线方程。

即 y-0=\frac{3-6}{0-4}(x-6)

圆的切线方程进一步本质理解：

对于圆： \left( x-a \right)^2+\left( y-b \right)^2=r^2 ，A点 (p,q) ，求切线方程。

解：

A点 (p,q) 即切线方程为 y=k(x-p)+q

代入得： (x-a)^2+[k(x-p)+q-b]^2=r^2

∴ (1+k^2)x^2-2(a+bk+k^2p-kq)x+a^2+(b+kp-q)^2=r^2

∴ \Delta=4{(a+bk+k^2p-kq)^2-4(1+k^2)[a^2+(b+kp-q)^2-r^2]}

=4(1+k^2)r^2+4(a+bk+k^2p-kq)^2-4(1+k^2)[a^2+(b+kp-q)^2]

=4(1+k^2)r^2-4(b-ak+kp-q)^2=0

∴ k=\frac{(a-p)(b-q)\pm r\sqrt{(a-p)^2+(b-q)^2-r^2}}{(a-p)^2-r^2}

通过 k 值计算我们可以用上述点 (6,0) 检验：

k=\frac{(-3)(4)\pm 5\sqrt{(-3)^2+(4)^2-5^2}}{(-3)^2-5^2}=\frac{-12}{-16}=0.75

得证！

参考文献：