参考博客 :

命题逻辑基本概念

1 . 命题公式 组成 :

① 单个 命题变元 / 命题常元 是命题公式 ;

② 如果 A A A 是命题公式 , 则 ( ¬ A ) (\lnot A) (¬A) 也是命题公式 ;

③ 如果 A , B A,B A,B 是命题公式 , 则 ( A ∧ B ) , ( A ∨ B ) , ( A → B ) , ( A ↔ B ) (A \land B) , (A \lor B), (A \to B), (A \leftrightarrow B) (A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B) 也是命题公式 ;

④ 有限次 应用 ① ② ③ 形成的符号串 是命题公式 ; ( 无限次不行 )

2 . 联结词 :

原子命题 : p , q , r p , q , r p,q,r 表示 原子命题 , 又称为 简单命题 ;

联结词 : 上一篇博客 【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 ) 三. 联结词 章节讲解了联结词 ;

联结词优先级 :

“ ¬ \lnot ¬” 大于 “ ∧ , ∨ \land , \lor ∧,∨” 大于 “ → , ↔ \to, \leftrightarrow →,↔”

∧ , ∨ \land , \lor ∧,∨ 优先级相同 ;

→ , ↔ \to, \leftrightarrow →,↔ 优先级相同 ;

3 . 命题逻辑类型 :

可满足式 : 真值表中 , 至少有一个结果为真 , 可以都为真 ;

矛盾式 ( 永假式 ) : 所有的真值都为假 ;

可满足式 与 矛盾式 , 是 二选一 的 , 复合命题 要么是 可满足式 , 要么是 矛盾式 ;

重言式 ( 永真式 ) 是可满足式的一种 ;

4 . 简单命题形式化 :

参考 : 复合命题 与 命题符号化

定义命题 : 使用 p , q p,q p,q 代表真假必居其一的陈述句 ;

使用联结词 : 然后使用联结词联结这些 p , q p,q p,q 命题 ;

参考博客 :

等值式概念 : A , B A , B A,B 是两个命题公式 , 如果 A ↔ B A \leftrightarrow B A↔B 是永真式 , 那么 A , B A,B A,B 两个命题公式是等值的 , 记做 A ⇔ B A \Leftrightarrow B A⇔B ;

等值演算置换规则 : A A A 和 B B B 两个命题公式 , 可以 互相代替 , 凡是出现 A A A 的地方都可以替换成 B B B , 凡是出现 B B B 的地方都可以替换成 A A A ;

基本运算规律 :

新运算规律 :

0 , 1 0 , 1 0,1 相关的运算律 :

对偶原理适用于上述运算律 , 将两边的 ∧ , ∨ \land , \lor ∧,∨ 互换 , 同时 0 , 1 0 ,1 0,1 互换 , 等价仍然成立 ;

等价蕴含运算规律 :

参考博客 : 【数理逻辑】命题逻辑 ( 等值演算 | 幂等律 | 交换律 | 结合律 | 分配律 | 德摩根律 | 吸收率 | 零律 | 同一律 | 排中律 | 矛盾律 | 双重否定率 | 蕴涵等值式 … )

1 . 极小项

极小项 : 极小项 是 一种 简单合取式 ;

每个命题 按照指定顺序 , 且 只出现一次 的 简单合取式 , 称为极小项 ;

极小项列出的是成真赋值 , 因为合取式只有一种情况成真 , 那就是全真 ;

2 . 极大项

关于 极大项 的 说明 :

每个命题 按照指定顺序 , 且 只出现一次 的 简单析取式 , 称为极小项 ;

极大项列出的是成假赋值 , 因为析取式只有一种情况成假 , 那就是全假 ;

3 . 主合取 ( 析取 ) 范式

① 列出要求 主合取 ( 析取 ) 范式 的真值表 ;

p , q , r p , q , r p,q,r 三个命题真值从 0 , 0 , 0 0,0,0 0,0,0 到 1 , 1 , 1 1,1,1 1,1,1 , 有 2 3 = 8 2^3 = 8 23=8 列 , 每一列分别对应 m 0 ∼ m 8 m_0 \sim m_8 m0​∼m8​ 极小项 , M 0 ∼ M 8 M_0 \sim M_8 M0​∼M8​ 极大项 ;

② 主析取范式 ( 取极小项 ) : 真值表中的真值为 1 1 1 的列 取 极小项 ; 极小项 成真赋值 ; 根据极小项下标与成真赋值可以列出极小项的命题公式 ;

③ 主合取范式 ( 取极大项 ) : 真值表中的真值为 0 0 0 的列 取 极大项 ; 极大项 成假赋值 ; 根据极大项下标与成假赋值可以列出极大项的命题公式

4 . 总结 :

极小项 : 合取式 , 成真赋值 , 计算时取真值表 真 列 ;

极大项 : 析取式 , 成假赋值 , 计算时取真值表 假 列 ;

参考博客 : 【数理逻辑】范式 ( 合取范式 | 析取范式 | 大项 | 小项 | 极大项 | 极小项 | 主合取范式 | 主析取范式 | 等值演算方法求主析/合取范式 | 真值表法求主析/合取范式 )

推理的形式结构

前提 : A 1 , A 2 , ⋯   , A k A_1 , A_2 , \cdots , A_k A1​,A2​,⋯,Ak​

结论 : B B B

推理的形式结构为 : ( A 1 ∧ A 2 ∧ ⋯ ∧ A k ) → B (A_1 \land A_2 \land \cdots \land A_k) \to B (A1​∧A2​∧⋯∧Ak​)→B

推理定律 : A , B A,B A,B 是两个命题 , 如果 A → B A \to B A→B 是永真式 , 那么 A ⇒ B A \Rightarrow B A⇒B ;

附加律 : A ⇒ ( A ∨ B ) A \Rightarrow (A \lor B) A⇒(A∨B)

根据 推理定律 , A → ( A ∨ B ) A \to (A \lor B) A→(A∨B) 蕴含式 是 永真式 ;

前提 : A A A

结论 : A ∨ B A \lor B A∨B

A A A 是对的 , 那么 A ∨ B A \lor B A∨B 也是对的 , 后者是在前者基础上附加了一个 B B B ;

化简律 : ( A ∧ B ) ⇒ A ( A \land B ) \Rightarrow A (A∧B)⇒A , ( A ∧ B ) ⇒ B ( A \land B ) \Rightarrow B (A∧B)⇒B

根据 推理定律 , ( A ∧ B ) → A ( A \land B ) \to A (A∧B)→A , ( A ∧ B ) → B ( A \land B ) \to B (A∧B)→B 蕴含式 是 永真式 ;

前提 : A ∧ B A \land B A∧B

结论 : A A A 或 B B B

A ∧ B A \land B A∧B 是对的 , 那么 A A A 或 B B B 也是对的 , 后者是在前者基础上进行了化简 ;

假言推理 : ( A → B ) ∧ A ⇒ B ( A \to B ) \land A \Rightarrow B (A→B)∧A⇒B

根据 推理定律 , ( A → B ) ∧ A → B ( A \to B ) \land A \to B (A→B)∧A→B 蕴含式 是 永真式 ;

前提 : A → B A \to B A→B , A A A

结论 : B B B

这是个典型的小三段论 ;

拒取式: ( A → B ) ∧ ¬ B ⇒ ¬ A ( A \to B ) \land \lnot B \Rightarrow \lnot A (A→B)∧¬B⇒¬A

根据 推理定律 , ( A → B ) ∧ ¬ B → ¬ A ( A \to B ) \land \lnot B \to \lnot A (A→B)∧¬B→¬A 蕴含式 是 永真式 ;

前提 : A → B A \to B A→B , ¬ B \lnot B ¬B

结论 : ¬ A \lnot A ¬A

可以理解为是反证法 ;

析取三段论 : ( A ∨ B ) ∧ ¬ A ⇒ B ( A \lor B ) \land \lnot A \Rightarrow B (A∨B)∧¬A⇒B , ( A ∨ B ) ∧ ¬ B ⇒ A ( A \lor B ) \land \lnot B \Rightarrow A (A∨B)∧¬B⇒A

根据 推理定律 , ( A ∨ B ) ∧ ¬ A → B ( A \lor B ) \land \lnot A \to B (A∨B)∧¬A→B , ( A ∨ B ) ∧ ¬ B → A ( A \lor B ) \land \lnot B \to A (A∨B)∧¬B→A 蕴含式 是 永真式 ;

前提 : A ∨ B A \lor B A∨B , ¬ A \lnot A ¬A

结论 : B B B

( A ∨ B ) (A \lor B) (A∨B) 是正确的 , 其中 A A A 是错误的 , 那么 B B B 肯定是正确的 ;

( A ∨ B ) (A \lor B) (A∨B) 是正确的 , 其中 B B B 是错误的 , 那么 A A A 肯定是正确的 ;

警察破案常用推理方式 , 逐一排除嫌疑人 ;

假言三段论 : ( A → B ) ∧ ( B → C ) ⇒ ( A → C ) ( A \to B ) \land ( B \to C ) \Rightarrow ( A \to C ) (A→B)∧(B→C)⇒(A→C)

根据 推理定律 , ( A → B ) ∧ ( B → C ) → ( A → C ) ( A \to B ) \land ( B \to C ) \to ( A \to C ) (A→B)∧(B→C)→(A→C) 蕴含式 是 永真式 ;

前提 : A → B A \to B A→B , B → C B \to C B→C

结论 : A → C A \to C A→C

等价三段论: ( A ↔ B ) ∧ ( B ↔ C ) ⇒ ( A ↔ C ) ( A \leftrightarrow B ) \land ( B \leftrightarrow C ) \Rightarrow ( A \leftrightarrow C ) (A↔B)∧(B↔C)⇒(A↔C)

根据 推理定律 , ( ( A ↔ B ) ∧ ( B ↔ C ) ) → ( A ↔ C ) ( ( A \leftrightarrow B ) \land ( B \leftrightarrow C ) ) \to ( A \leftrightarrow C ) ((A↔B)∧(B↔C))→(A↔C) 蕴含式 是 永真式 ;

前提 : A ↔ B A \leftrightarrow B A↔B , B ↔ C B \leftrightarrow C B↔C

结论 : A ↔ C A \leftrightarrow C A↔C

等价三段论: ( A → B ) ∧ ( C → D ) ∧ ( A ∨ C ) ⇒ ( B ∨ D ) ( A \to B ) \land ( C \to D ) \land ( A \lor C ) \Rightarrow ( B \lor D ) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C)⇒(B∨D)

根据 推理定律 , ( ( A → B ) ∧ ( C → D ) ∧ ( A ∨ C ) ) → ( ( B ∨ D ) ) ( ( A \to B ) \land ( C \to D ) \land ( A \lor C ) ) \to ( ( B \lor D ) ) ((A→B)∧(C→D)∧(A∨C))→((B∨D)) 蕴含式 是 永真式 ;

前提 : A → B A \to B A→B , C → D C \to D C→D , A ∨ C A \lor C A∨C

结论 : B ∨ D B \lor D B∨D

理解方式 :

A A A 是发展经济 , B B B 是污染 C C C 是不发展经济 , D D D 是贫穷

A ∨ B A \lor B A∨B 要么发展经济 , 要么不发展经济 结果是 B ∨ D B \lor D B∨D , 要么产生污染 , 要么忍受贫穷

参考博客 : 【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题逻辑推理 | 推理的形式结构 | 推理定律 | 附加律 | 化简律 | 假言推理 | 拒取式 | 析取三段论 | 假言三段论 | 等价三段论 | 构造性两难 )