塞尔伯格 I 哥德巴赫猜想——两个多世纪的数学旅行

话说在1742年6月的某一天，哥德巴赫（Christian Goldbach，1690-1764）在写给他的朋友、大数学家欧拉（Leonhard Euler，1707-1783）的信中，提到了一个有关素数的发现：任何一个大于2的整数都可以表示为三个素数之和。

哥德巴赫信件的手稿

在当时，人们约定1也是素数。因此若以如今的数学语言，即是“ 任何一个大于5的整数都可以写成三个素数之和”。

哥德巴赫无法确定他的发现究竟是不是对的，所以他寄希望于欧拉可以给出证明。约3个星期之后，欧拉在回信中写道：“ 任何大于2的偶数都可表示为两个素数之和。虽然我还不能证明它，但我确信这是完全正确的定理。”

任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。

任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。

这就是著名的“哥德巴赫猜想”。这一论断通常也被称为“关于偶数的哥德巴赫猜想”。如果它是对的话，则如下的“关于奇数的哥德巴赫猜想” 也将迎刃而解：

任何一个大于5的奇数都可表示为三个素数之和。

任何一个大于5的奇数都可表示为三个素数之和。

隐藏在哥德巴赫信中的这一表述形式通常也被称做“弱哥德巴赫猜想”。

整个18世纪没有人能证明它。即便是睿智如欧拉，也留下了他人生的这一遗憾。

整个19世纪也没有人能证明它。尽管在那个时代，涌现有诸如阿贝尔、伽罗瓦等许多数学天才人物。

在哥德巴赫猜想被提出后的一个半世纪里，数学家们苦苦探寻，都毫无进展。

1900年，二十世纪的数学巨匠希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）在第二届国际数学家大会上提出著名的23个问题，其中的第8个问题涉及三个有关素数的猜想：黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想。哥德巴赫猜想由此成为一个世纪数学难题，吸引了众多数学家的目光。

问题的突破性进展出现在二十世纪20年代。

1920年前后，布朗（Viggo Brun）将一种古老的筛法——埃拉托塞尼筛法加以改进，由此证明了：

每个充分大的偶数都可以表示为两个数之和，其中的这两个数每个都是不超过9个素数的乘积。

每个充分大的偶数都可以表示为两个数之和，其中的这两个数每个都是不超过9个素数的乘积。

上述的这一结论简称“9 + 9”。按照布朗的思路，如果最终能将素因数的个数缩减至1，即所谓的“1+1”，也就证明了哥德巴赫猜想。

自布朗的工作以后，数学家们遵循他的研究思路，取得了一系列的进展：

1924年，德裔美籍数学家拉德马赫（Hans Rademacher）证明了“7+7”；1932年，德国数学家埃斯特曼（Theodor Estermann）证明了“6+6”；1938年，苏联数学家布赫希塔布（Alexander. A. Buchstab）证明了“5+5”；两年之后，布赫希塔布又证明了“4+4”；

1950年前后，塞尔伯格（Atle Selberg）极大地改进了布朗等人的方法——将他自己的方法与组合方法相结合，从而将哥德巴赫猜想的研究往前推进了一大步。

在此基础上，中国数学家王元于1956年证明了“ 3+4 ”；同年，维诺格拉多夫证明了“3+3”；1957年，王元又证明了“2+3”；1962年，中国数学家潘承洞证明了“1+5”，由此将哥德巴赫猜想推进了一大步；同年，王元、潘承洞又证明了“1+4”；1965年，布赫希塔布、维诺格拉多夫以及意大利数学家朋比利（Enrico Bombieri）证明了“ 1+3”；

1966年5月，中国数学家陈景润证明了“1+2”；即“任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数之和，或者一个素数及一个不超过两个素数的乘积”，这是“哥德巴赫猜想”研究领域里得到世界数学家认可的最佳成果——这个成果被命名为“陈氏定理”。

1924年，德裔美籍数学家拉德马赫（Hans Rademacher）证明了“7+7”；1932年，德国数学家埃斯特曼（Theodor Estermann）证明了“6+6”；1938年，苏联数学家布赫希塔布（Alexander. A. Buchstab）证明了“5+5”；两年之后，布赫希塔布又证明了“4+4”；

1950年前后，塞尔伯格（Atle Selberg）极大地改进了布朗等人的方法——将他自己的方法与组合方法相结合，从而将哥德巴赫猜想的研究往前推进了一大步。

在此基础上，中国数学家王元于1956年证明了“ 3+4 ”；同年，维诺格拉多夫证明了“3+3”；1957年，王元又证明了“2+3”；1962年，中国数学家潘承洞证明了“1+5”，由此将哥德巴赫猜想推进了一大步；同年，王元、潘承洞又证明了“1+4”；1965年，布赫希塔布、维诺格拉多夫以及意大利数学家朋比利（Enrico Bombieri）证明了“ 1+3”；

1966年5月，中国数学家陈景润证明了“1+2”；即“任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数之和，或者一个素数及一个不超过两个素数的乘积”，这是“哥德巴赫猜想”研究领域里得到世界数学家认可的最佳成果——这个成果被命名为“陈氏定理”。

隐藏于其上一系列数学成果背后，有同一条数学思想之线——那就是，数学家们称之为“筛法”的东西。可以说，在哥德巴赫猜想二个多世纪的数学之旅中，伴随筛法的每一回重要改进，都会迎来一些重要的研究成果。经由布朗的组合筛法……到塞尔伯格的上界筛法，再到陈景润的双重线性筛法，之间的每一步都是有联系的，每一步突破都是站在前人的肩膀上，进而或将延伸至21世纪数学之后的更远方……

筛法思想开始于埃拉托塞尼（Eratosthenes，公元前3世纪），这位古希腊的先哲用它来制作素数表。直接用这个方法来研究哥德巴赫猜想等数论问题理论上得不到什么结果，因此不被数学家们所注意。回望处，上个世纪 20年代前后，数学家布朗将埃拉托塞尼筛法作了极其重要的改进，从而证明了“9+9”。尽管这是哥德巴赫猜想研究的一个重大突破，可是在当时，大多数数学家都怀疑这样一种古老的筛法思想能否产生有多少有价值的成果。在此“多数数学家的人群”中，或许就有埃德蒙·兰道（Edmund Landau，1877-1938）的身影。有一个故事说的是，兰道-这位大师级的数学家在收到布朗的相关于哥德巴赫猜想的论文手稿后，即放入书桌的抽屉里6年未再看一眼（也有说是8年）！如若可爱的兰道先生穿越时空，来到21世纪的今天，看到“经过岁月的洗礼和沉淀之后，这一古老的方法竟然是如此的富有活力与生机勃勃……竟然可以演绎出如此多彩的数学传奇！”他又会作如何感想呢？

关于筛法思想的具体内容，或可参见如下的3部同名书籍：

潘承洞，潘承彪，哥德巴赫猜想，科学出版社，1981.

陈景润，邵品琮编著， 哥德巴赫猜想，辽宁教育出版社，1987

王元，the Goldbach conjecture, World Scientific（2nd Edition）, 2002

潘承洞，潘承彪，哥德巴赫猜想，科学出版社，1981.

陈景润，邵品琮编著， 哥德巴赫猜想，辽宁教育出版社，1987

王元，the Goldbach conjecture, World Scientific（2nd Edition）, 2002

接下来，还是让我们稍加多了解一下出现在哥德巴赫猜想数学之旅中的两位挪威数学家——布朗与塞尔伯格其人其事吧。

II 两位数学家的人物小传

布朗（Viggo Brun）于1885年10月13日出生在距离挪威奥斯陆市不远的利尔（Lier），他是十个孩子中最小的那一个。由于在很小的时候就失去了双亲，布朗在姐姐的照顾下长大。

1903年，布朗进入奥斯陆大学学习数学和自然科学。他参加的课程有望使他成为一名中学教师，因此所学的内容主题广泛，却缺少专门化的训练。这或多或少影响到在其后来的科学生涯中，布朗偏爱数学阅读更多于做研究。

1910年，布朗踏上了前往德国哥廷根大学的求学之旅。那时的哥廷根，可谓是“世界数学的圣地”，群星璀璨，大师云集。希尔伯特正当盛年，F. 克莱因则还未退休。在布朗来到的前一年，埃德蒙·兰道被任命为哥廷根的教授。尽管没有证据表明年轻的布朗与这些数学大师们有过交流和互动，但可以想象，他必然会从兰道的讲座和聆听中受益良多。

也是在那里—在学术氛围如此浓厚的哥廷根，布朗开始了研究数论中最富有挑战性的问题。不过他的方法看似有点笨拙，与当时流行的分析方法相比，他拟采用的正是二千多年前的古希腊数学家埃拉托塞尼的筛法。

从哥廷根返回后，布朗获得了数年的研究资助，并在军队中服役过一段时间。1923年，布朗成为特隆海姆技术大学的教授。1946年，他被任命为奥斯陆大学的教授。他在这所大学呆了九年，直到1955年70岁退休。之后的生活或是悠闲愉快的，除了数学写作，他喜欢在森林里散步，其间收集一些奇怪的木料或根，以此来制作精美的手工作品。他于1978年8月15日过世，享年92岁，这是一位非常长寿的数学家。

除了数学研究之外，布朗教授还投身于数学史和数学文化的研究。他出版有两部相关数学史的书籍——《The Art of Calculating in Old Norway until the Time of Abel 》和《All is Number, a History of Mathematics from Antiquity to the Renaissance》，前者涉及挪威数学的早期历史，后者则讲述有数学学科的一般故事。

布朗还撰写有许多人物传记，其中包括有数学家阿贝尔（Niels Henrik Abel）、斯托摩（Carl Stdrmer）、韦塞尔（Caspar Wessel）、索菲斯·李（Sophus Lie）、 图埃（Axel Thue）等。布朗教授最令人印象深刻的历史发现是，在1952年的一次意大利之旅中，他在佛罗伦萨重新发现了阿贝尔的著名手稿——这一手稿在提交法国科学院后于1826年消失了！

此外，布朗还撰写有不少相关数学科普类的论文。其主题涉及“数学与音乐”、“素数的故事”以及“阿贝尔青年时代的一封信”等。在一篇关于数学和美学领域的论文里，他赋予著名的莱布尼兹级数：

以几何表示与和谐之美的直观呈现。

不过让人感到遗憾的是，他的这些书以及数学科普类的论文，大多以挪威语写就，因此只能局限于有限的公众。

在朋友们的眼里，他谦虚、友善，有着广泛的兴趣和多元的人文视野……在他漫长而富有成果的一生中，布朗因其所做的杰出贡献而获得了许多荣誉：1946年，他被授予“Hoegskolefondets prize”（挪威技术学院创始人奖）；1958年，他获得了挪威皇家科学院的贡内鲁斯勋章（Gunnerus medal）；1966年，布朗获得了汉堡大学的名誉博士学位。他还是奥斯陆、特隆赫姆、乌普萨拉以及芬兰科学院的成员。2018年——在挪威数学会成立100周年之际，该学会宣布设立布朗奖（the Viggo Brun Prize），这或是挪威于2002年设立阿贝尔奖之后的又一个重要的数学奖项。

V.布朗的名字，会和埃拉托塞尼一道，被后来者所铭记！

如果说布朗是一只“喜爱在数学天空远望的鸟”，那么塞尔伯格或是一只“善于在科学极地探险的青蛙”——他在解析数论、算术代数几何等诸多领域都留下了天才的足迹。

阿特勒·塞尔伯格（Atle Selberg）于1917年6月14日出生在挪威的一个港口城市朗厄松（Langesund）。他的父亲是一名中学数学教师。和布朗一样，塞尔伯格来自一个大家庭，兄弟姊妹计有九人，他最小。让人惊奇的是，阿特勒有三个哥哥后来都是数学家，其中的两位——西格蒙德·（Sigmund Selberg，1910-1994）和阿尔内（Arne Selberg，1910-1994）竟然还是一对双胞胎，两人都是挪威技术学院的教授。有所不同的是，西格蒙德是一位数学家，而阿尔内则是一位应用数学家。（在此联想到一个题外的问题是，一对双胞胎或者三胞胎，……乃至七胞胎同年同月同日生，同年同月去世的概率会是多少？）

尽管忙碌的父亲没有太多时间来指导他学习数学，不过其藏书丰富的私人图书馆却是少年尽情读书和耍戏的地方。大约在他13岁那年，塞尔伯格偶尔在一部手稿——里面装载的是卡尔·斯托摩的讲座笔记中遇见了一个有趣的数学公式：

这个奇妙的等式其名曰莱布尼兹公式，它由奇数的倒数加正负号交错变化构成。这个如此奇特而美好的式子使塞尔伯格下决心要阅读那本书，以便知道这个式子是如何得到的。尽管那部书包含有不少大学数学的内容，这位少年居然还是读完了它，并由此决定投身于数学研究，只是究竟是搞哪一类数学还不清楚。

几年之后，《拉马努金论文集》为他展现了一个数学的新世界。这部作品极大地唤起了塞尔伯格的想象力，并赋予他自主数学探索的动力。塞尔伯格的研究起步于数学家通常称之为 -级数的东西和与之相关的恒等式。

1935年，高中毕业后塞尔伯格就读于奥斯陆大学。期间他认识了斯托摩教授。不过对塞尔伯格数学发展最为重要的影响力来自德国数学家埃里希·赫克（Erich Hecke，1887-1947）——1936年有一次国际数学会议在奥斯陆举行，还是一名本科生的塞尔伯格有幸听了赫克教授的演讲，或由此迷上了数论。大学毕业后，塞尔伯格曾计划去汉堡跟随赫克讨论和研究数学，但由于二次世界大战的开始，他不得已改变了计划。

在“二战”期间，欧洲的许多科学家被迫离开了家园。但塞尔伯格仍然留在了挪威，一个人独自从事数学研究。随着战事的深入，学校里不仅人越来越少，到后来甚至连外界的学术期刊也无法送达了。塞尔伯格与数学界的交流彻底被中断。可是正是在这样一种孤立的环境中，塞尔伯格却创造了数学的奇迹——他在黎曼假设的研究中获得了极为重要的结果：证明了Riemann 函数的零点在临界线上具有正密度。

战争结束后，塞尔伯格因此受到邀请，于1947年来到普林斯顿高等研究院，两年后成为正式成员。1950年，在坎布里奇举行的第十一届国际数学家大会上，塞尔伯格被授予菲尔兹奖。获奖理由是，因其对布朗筛法的进一步推进以及其在黎曼猜想领域的杰出贡献，还有他关于素数定理的初等证明等。与他同一届获奖的还有法国数学家施瓦茨（Laurent Schwartz ，1915-2002），其因分布理论以及提出广义函数的新概念而获奖。

在一些数学家看来，塞尔伯格最好的、也是最重要的工作是著名的塞尔伯格迹公式，它出现在其获得菲尔兹奖之后的几年里。借助于他的这一迹公式，塞尔伯格证明了黎曼面上的“Selberg 函数”满足广义黎曼假设方程。

除了在1950年获得菲尔兹奖外，塞尔伯格还于1986年获得了另一项大奖——沃尔夫奖。相关的颁奖词如是说：

……因为他在数论、离散群以及自守形式上的深刻而原创的工作。……在其早期工作中，阿特勒·塞尔伯格教授证明了黎曼 函数的零点在临界线上具有正密度。经由他进一步构思和发展的筛法，已成为解析数论的基本工具。筛法思想随后引领他发现著名的塞尔伯格不等式，这是他得以给出素数定理的初等证明的基础。他发现了以他的名字命名的迹公式，随后迎来了群表示和数论的新互动。他还开创了关于格的算术之研究。他的贡献是如此深刻和独到，以至于他的名字已经成为数学史的一部分……

……因为他在数论、离散群以及自守形式上的深刻而原创的工作。……在其早期工作中，阿特勒·塞尔伯格教授证明了黎曼 函数的零点在临界线上具有正密度。经由他进一步构思和发展的筛法，已成为解析数论的基本工具。筛法思想随后引领他发现著名的塞尔伯格不等式，这是他得以给出素数定理的初等证明的基础。他发现了以他的名字命名的迹公式，随后迎来了群表示和数论的新互动。他还开创了关于格的算术之研究。他的贡献是如此深刻和独到，以至于他的名字已经成为数学史的一部分……

当被问到他的爱好时，塞尔伯格回答道：

这位曾经的数学顽童活到90岁，他和他的数学家同胞布朗一般的长寿。有一曲数学轶事连接着塞尔伯格与另外一位数学大神爱多士（Paul Erdős，1913-1996 ） 的名字。说的是1949年前后，塞尔伯格和爱多士都发现了素数定理的初等证明。爱多士的确有点“多事”，他希望和塞尔伯格合作发表这一主题的论文，但是塞尔伯格不乐意，于是两人间有了点小矛盾……在纷繁复杂的现代数学世界探险之旅中，所有数学家都适合走“协作”路线，但爱多士和塞尔伯格处于相反的两个极端——爱多士喜欢与其他数学家合作研究，联合发表论文——由此创造了20世纪最多产的数学家的神话，且诞生了一个独特的“爱多士数”概念；而塞尔伯格几乎没有与其他人一道合作发表过数学论文，来美国之后唯一的合作者是数学家丘拉（Sarvadaman Chowla）。

不过让人极为惊讶的是，在查阅 http://mathscinet.ams.org/mathscinet 时，很意外地发现在塞尔伯格名下竟然有布朗与塞尔伯格合作的一篇论文：

Brun, Viggo; Jacobsthal, Ernst; Selberg, Atle; Siegel, Carl Correspondence about a polynomial which is related to Riemann's zeta function. (Norwegian) Norsk Mat. Tidsskr. 28 (1946), 65–71.

Brun, Viggo; Jacobsthal, Ernst; Selberg, Atle; Siegel, Carl Correspondence about a polynomial which is related to Riemann's zeta function. (Norwegian) Norsk Mat. Tidsskr. 28 (1946), 65–71.

且在其中—竟然还有西格尔（Carl Siegel）的名字？！是怎么样的机缘促成了这样的一篇数学论文？此外，还有一个问题亦让我们好奇，在1946年前后的这段时间里，布朗和塞尔伯格有过多少数学上的交流？

III 一些题外话

某种意义上，这是一篇未竟的数学科普文章。因为原本希望还要完成如下的两件事——一是比较具体地介绍一下布朗筛法和塞尔伯格筛法的同与异，并以比较通俗的方式呈现给读者。在阅读相关的文献后，觉得这事还是蛮不简单的。只得暂且搁浅。

这第二件事是希望在分享数学家布朗的人物故事之余，期待来呈现一个无穷级数收敛性的初等证明。

多年前，曾偶尔“遇见”过一个有趣的结论——所有孪生素数的倒数和是有限的：

当时颇为惊讶。同时亦好奇于它是如何被证明的？这些天在阅读到相关的文献时，才知道原来这是布朗教授的一个定理，缘自1920年前后的一篇论文。经由布朗筛法的哲思，可以推导得到

于是由此即可推出上面的结论。

现在的问题是，有没有一种可比拟于欧拉关于“所有素数的倒数和是无限的”这一断言的证明？或者进一步，对于如下无穷级数的发散性之证明：

数学大神爱多士曾给出一种最为初等的证明（可参见《数学天书中的证明》）。那么，关于布朗级数的收敛性，是否存在有类似的天书证明呢？

参考文献：

潘承洞，潘承彪，哥德巴赫猜想，科学出版社，1981.

陈景润，邵品琮编著，哥德巴赫猜想，辽宁教育出版社，1987

王元，the Goldbach conjecture, World Scientific（2nd Edition）, 2002

C. J. Scriba, Viggo Brun in memoriam (1885-1978), Historia Mathematica 7 (1) (1980) 1-6.

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Brun/

https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Selberg/

谨以此文参赛《第一届和乐杯数学科普征文比赛》，前有蒋迅，林开亮，张劲松等老师们的参赛论文珠玉在前，本文只是乐在参与，以示支持与感谢 和乐数学这样一个优秀的数学科普网络舞台！ 返回搜狐，查看更多