本篇笔记首先讨论了矩阵的初等变换，包括初等行变换和初等列变换两类，每一类初等变换又有三种变换规则，需要注意该初等变换与行列式对应的性质没有任何关系；然后讨论了初等变换和标准形的关系，任意矩阵都可以通过（行和列）初等变换化为标准形；最后还讨论了矩阵等价的定义及其性质，其实矩阵等价是矩阵之间的一种关系，可以探究矩阵内在的一些属性。

初等变换有两类：初等行变换和初等列变换。

初等行变换有三种：

① 交换矩阵的某两行； [ 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 ] → 交 换 第 一 行 和 第 二 行 [ 2 2 2 2 1 1 1 1 4 4 4 4 ] \begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\4&4&4&4\end{bmatrix}\xrightarrow{交换第一行和第二行}\begin{bmatrix}2&2&2&2\\1&1&1&1\\4&4&4&4\end{bmatrix} ⎣⎡​124​124​124​124​⎦⎤​交换第一行和第二行 ​⎣⎡​214​214​214​214​⎦⎤​

② 用 k ( k ≠ 0 ) k(k{\neq}0) k(k​=0)乘以某一行； [ 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 ] → 用 6 × 第 一 行 [ 6 6 6 6 2 2 2 2 4 4 4 4 ] \begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\4&4&4&4\end{bmatrix}\xrightarrow{用6\times第一行}\begin{bmatrix}6&6&6&6\\2&2&2&2\\4&4&4&4\end{bmatrix} ⎣⎡​124​124​124​124​⎦⎤​用6×第一行 ​⎣⎡​624​624​624​624​⎦⎤​

③ 某一行的 l l l倍加到另一行。 [ 1 1 1 1 2 2 2 2 4 4 4 4 ] → 用 第 一 行 的 ( − 4 ) 倍 加 到 第 三 行 [ 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0 0 ] \begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\4&4&4&4\end{bmatrix}\xrightarrow{用第一行的(-4)倍加到第三行}\begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\0&0&0&0\end{bmatrix} ⎣⎡​124​124​124​124​⎦⎤​用第一行的(−4)倍加到第三行 ​⎣⎡​120​120​120​120​⎦⎤​

同理，初等列变换也有三种，分别对应上述三种，即： ① 交换矩阵的某两列； ② 用 k ( k ≠ 0 ) k(k{\neq}0) k(k​=0)乘以某一列； ③ 某一列的 l l l倍加到另一列。

注意： (1) 初等变换矩阵与矩阵之间使用箭头（ → \xrightarrow{} ​）连接，不能使用等号（ = = =）； (2) 初等变换的本质是对矩阵的变化； (3) 矩阵的三种初等变换与行列式对应的三条性质没有任何关系。行列式求值时对应的三条性质见线性代数学习笔记（三）——行列式的性质，性质2、性质4和性质7； (4) 行列式一定是方的，而做初等变换的矩阵不一定是方的。

但是，如果 A A A是方阵，那么： A → 交 换 矩 阵 的 某 两 行 B A\xrightarrow{交换矩阵的某两行}B A交换矩阵的某两行 ​B，则 ∣ A ∣ = − ∣ B ∣ |A|=-|B| ∣A∣=−∣B∣； A → 用 k ( k ≠ 0 ) 乘 以 某 一 行 B A\xrightarrow{用k(k{\neq}0)乘以某一行}B A用k(k​=0)乘以某一行 ​B，则 k ∣ A ∣ = ∣ B ∣ k|A|=|B| k∣A∣=∣B∣； A → 某 一 行 的 l 倍 加 到 另 一 行 B A\xrightarrow{某一行的l倍加到另一行}B A某一行的l倍加到另一行 ​B，则 ∣ A ∣ = ∣ B ∣ |A|=|B| ∣A∣=∣B∣。 同理，列也是如此。

定理1：任意矩阵都可以通过（行和列）初等变换化为标准形。

举例：将矩阵 [ 1 2 1 − 1 − 1 0 0 1 1 1 3 2 ] \begin{bmatrix}1&2&1\\-1&-1&0\\0&1&1\\1&3&2\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡​1−101​2−113​1012​⎦⎥⎥⎤​化为标准形。 思路：先处理第一列，如果矩阵的第一个元素不是 1 1 1，看是否可以通过交换行或列将其变为 1 1 1，然后通过初等变换的规则依次处理行和列。 解： [ 1 2 1 − 1 − 1 0 0 1 1 1 3 2 ] → 将 第 一 行 × ( − 1 ) 加 到 第 四 行 将 第 一 行 × 1 加 到 第 二 行 [ 1 2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 ] \begin{bmatrix}1&2&1\\-1&-1&0\\0&1&1\\1&3&2\end{bmatrix}\xrightarrow[将第一行\times(-1)加到第四行]{将第一行{\times}1加到第二行}\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&1\\0&1&1\\0&1&1\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡​1−101​2−113​1012​⎦⎥⎥⎤​将第一行×1加到第二行 将第一行×(−1)加到第四行​⎣⎢⎢⎡​1000​2111​1111​⎦⎥⎥⎤​

→ 将 第 二 行 × ( − 1 ) 加 到 第 三 行 和 第 四 行 将 第 二 行 × ( − 2 ) 加 到 第 一 行 [ 1 0 − 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 ] \xrightarrow[将第二行\times(-1)加到第三行和第四行]{将第二行\times(-2)加到第一行}\begin{bmatrix}1&0&-1\\0&1&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} 将第二行×(−2)加到第一行 将第二行×(−1)加到第三行和第四行​⎣⎢⎢⎡​1000​0100​−1100​⎦⎥⎥⎤​

→ 将 第 二 列 × ( − 1 ) 加 到 第 三 列 将 第 一 列 × 1 加 到 第 三 列 [ 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ] \xrightarrow[将第二列\times(-1)加到第三列]{将第一列{\times}1加到第三列}\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} 将第一列×1加到第三列 将第二列×(−1)加到第三列​⎣⎢⎢⎡​1000​0100​0000​⎦⎥⎥⎤​

一个矩阵 A A A通过一系列的初等变换得到矩阵 B B B，则称矩阵 A A A和矩阵 B B B等价。 记作： A ≅ B A{\cong}B A≅B

性质1：反身性： A ≅ A A{\cong}A A≅A；

性质2：对称性： A ≅ B ⇒ B ≅ A A{\cong}B\quad\Rightarrow{\quad}B{\cong}A A≅B⇒B≅A；

性质3：传递性： A ≅ B B ≅ C ⇒ A ≅ C A{\cong}B{\quad}B{\cong}C\quad\Rightarrow{\quad}A{\cong}C A≅BB≅C⇒A≅C。

结论：任何矩阵 A A A都等价于标准形，即： A ≅ 标 准 形 A\cong标准形 A≅标准形，因为任何矩阵都可以化为标准形。

举例：四阶的方阵有以下五标准形： [ 0 0 0 0 ] [ 1 0 0 0 ] [ 1 1 0 0 ] [ 1 1 1 0 ] [ 1 1 1 1 ] \begin{bmatrix}0&&&\\&0&&\\&&0&\\&&&0\end{bmatrix}\quad\begin{bmatrix}1&&&\\&0&&\\&&0&\\&&&0\end{bmatrix}\quad\begin{bmatrix}1&&&\\&1&&\\&&0&\\&&&0\end{bmatrix}\quad\begin{bmatrix}1&&&\\&1&&\\&&1&\\&&&0\end{bmatrix}\quad\begin{bmatrix}1&&&\\&1&&\\&&1&\\&&&1\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡​0​0​0​0​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​1​0​0​0​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​1​1​0​0​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​1​1​1​0​⎦⎥⎥⎤​⎣⎢⎢⎡​1​1​1​1​⎦⎥⎥⎤​

任何四阶的方阵都可以经过初等变换化为上述五种标准形之一。后续章节将会讨论秩的概念，其实上述五个标准形对应秩分别为 0 0 0、 1 1 1、 2 2 2、 3 3 3、 4 4 4、 5 5 5。这些分类其实也表示了矩阵行之间的关系，比如以下矩阵：

[ 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 ] → 再 用 第 一 列 × ( − 1 ) 加 到 第 二 、 第 三 和 第 四 列 将 第 一 行 分 别 × ( − 2 ) 、 ( − 3 ) 和 ( − 4 ) 加 到 第 二 、 第 三 和 第 四 行 [ 1 0 0 0 ] \begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\3&3&3&3\\4&4&4&4\end{bmatrix}\xrightarrow[再用第一列\times(-1)加到第二、第三和第四列]{将第一行分别\times(-2)、(-3)和(-4)加到第二、第三和第四行}\begin{bmatrix}1&&&\\&0&&\\&&0&\\&&&0\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡​1234​1234​1234​1234​⎦⎥⎥⎤​将第一行分别×(−2)、(−3)和(−4)加到第二、第三和第四行 再用第一列×(−1)加到第二、第三和第四列​⎣⎢⎢⎡​1​0​0​0​⎦⎥⎥⎤​

可以发现，经过初等变换后化为上述第二种标准形。所以看起来比较复杂的矩阵，但其实不是所有的行都那么必要，可以用简单的标准形就可以表示出来。

再比如以下矩阵:

[ 1 1 2 3 4 5 7 9 − − − − − − − − ] \begin{bmatrix}1&1&2&3\\4&5&7&9\\-&-&-&-\\-&-&-&-\end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡​14−−​15−−​27−−​39−−​⎦⎥⎥⎤​

很明显该矩阵行之间的关系就比上一个矩阵要复杂，也就不能只用一行来表示。

所以，通过这种分类，可以探究矩阵内在的一些属性。

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.6 初等变换（一）