因式分解中的换元法

徐卫东  刘建英

因式分解是初中数学的重要内容之一，是多项式乘法的逆运算，在代数式的化简、求值、解方程等领域中都有着广泛、直接的应用。但当一个多项式的项数、字母较多，次数较高或还含有代数式乘积的项时，结构复杂，容易造成思路混乱，这时可对多项式中某些相同的部分设辅助元代换，达到减少项数、降低次数，便于分解因式。把复杂、繁难的问题变得简单、容易的目的。举例简解如下。

一、整体换元

例1  因式分解

解：设，原式

例2  若是方程的两根。因式分解

解：因为是方程的两根，所以

设，原式

但

同理

所以原式

二、局部换元

例3  因式分解

解：设

原式

例4  因式分解

解：设，原式

三、局部分解后，重组再换元

例5  因式分解

解：原式 原式

例6  因式分解

解：原式

设，原式

注：这里分解后重组的目的是为了寻找整体或局部换元的可能。

四、多元换元

例7  因式分解

解：设

原式

例8  因式分解

解：设

原式

例9  因式分解

解：设注意到

所以原式  

注：类似例7、8、9等，不能展开，否则将不堪繁琐，难以继续分解。

由上述数例可知，比较复杂的多项式因式分解，需综合应用多种分解方法，而换元法是一种行之有效的手段，在换元分解结束后，必需把原代换的代数式代换回来，恢复成原字母的分解式。