题1 过定点 的直线 与圆 相交于两点 (相切则重合),根据割线定理、相交弦定理与切割线定理, 的乘积是定值,称这个定值为点 对圆 的幂。
请用解析法证明圆幂定理:
定理1.1 任意一点 引直线 与圆 相交于两点 (相切则重合),那么 是定值,且
(1.1)
其中 为圆的半径, 为 到圆心的距离。
证明 如图1-1:
图1-1
不失一般性,设圆 的圆心在平面直角坐标系的原点,半径为 ,其方程为:
(1.2)
又设点 的坐标为 ,那么 的方程为:
(1.3)
或
(1.4)
(式(1.3)表示直线 ,式(1.4)表示直线 )
设直线与圆的交点坐标为:
以下分两种情况:
情况1: 联立(1.2),(1.3)消去 ,并标准化二次方程得:
(1.5)
为方程(1.5)的两根,根据韦达定理有:
![x_1\cdot x_2=\frac{d^2-r^2}{1+k^2}](https://math.jianshu.com/math?formula=x_1%5Ccdot%20x_2%3D%5Cfrac%7Bd%5E2-r%5E2%7D%7B1%2Bk%5E2%7D)
根据两点间的距离公式及 的关系,有:
(为定值)。
情况2:联立(1.2),(1.4),得A.B的坐标为:
同样可以计算 (为定值)
综上所述: (为定值),其中![OP=d\blacksquare](https://math.jianshu.com/math?formula=OP%3Dd%5Cblacksquare)
评注 如图1-2,若 在圆外,那么, 对于圆的幂等于 与圆切线段的平方。这是切割线定理的结论,即:
(1.5)
图1.2
如图1-3,若 在圆内,那么, 对于圆的幂等于过 且垂直 的弦的一半的平方。这是交弦定理的结论,即:
(1.6)
图1-3
题2(等幂线) 有圆 ,若点 对 的幂相等,称点 为两圆 的等幂点。两圆的所有等幂点构成的集合,可能是直线、也可能是圆、也可能是空集,请分情况讨论之。
解 称两圆的等幂点集合为两圆的等幂集或等幂线,关于等幂集,给出如下5个命题:
命题2.1 两圆半径、圆心距分别为为 ,且 ,那么它的等幂集是一条直线。
证明 不失一般性,设圆 的圆心分别为 ,半径分别为 ,点 的坐标为 。因为命题条件。如图2.1:
图2-1 两圆等幂线
根据圆幂的定义,有:
对圆 的幂:
对圆 的幂:
两幂相等,故:
![|(x+\frac{d}2)^2+y^2-r_1^2|=|(x-\frac{d}2)^2+y^2-r_2^2|](https://math.jianshu.com/math?formula=%7C(x%2B%5Cfrac%7Bd%7D2)%5E2%2By%5E2-r_1%5E2%7C%3D%7C(x-%5Cfrac%7Bd%7D2)%5E2%2By%5E2-r_2%5E2%7C)
去绝对值有两种结果:
或
![(x+\frac{d}2)^2+y^2-r_1^2=-[(x-\frac{d}2)^2+y^2-r_2^2]](https://math.jianshu.com/math?formula=(x%2B%5Cfrac%7Bd%7D2)%5E2%2By%5E2-r_1%5E2%3D-%5B(x-%5Cfrac%7Bd%7D2)%5E2%2By%5E2-r_2%5E2%5D)
展开整理:
(2.1)
或
(2.2)
因为 ,所以:
方程(2.2)产生 的矛盾,舍去方程(2.2)。
经验证,方程(2.1)是两圆的等幂线方程,它是一条直线。![\blacksquare](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cblacksquare)
命题2.2 两圆半径、圆心距分别为为 ,且 ,那么它的等幂集是一条直线和一个圆,且这个圆的圆心在连心线的中点。
证明 因为 ,所以方程(2.2)有解,且解为的圆。经验证,方程(2.1)(2.2)所表示的直线与圆包含在等幂集里。
根据方程(2.2),圆心坐标为 ,恰是两圆心 的中点。![\blacksquare](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cblacksquare)
评注 特别指出,当 时,方程(2.2)所表示的圆退化成一个点,且这个点在连心线的中点。
命题2.3 两个半径不同的圆同心,则其等幂集是一个圆。
证明 因为 ,所以方程(2.1)无解。但经验证,(2.2)所表示圆包含在等幂集里。![\blacksquare](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cblacksquare)
评注 方程(2.1)所表示的直线,称为根轴或等幂轴。方程(2.2)所表示的圆,称为等幂圆。
命题2.4 两圆的根轴与两圆的连心线垂直。
证明 方程(2.1)所表示的直线与 垂直,所以它垂直连心线。![\blacksquare](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cblacksquare)
命题2.5 两圆相交(或相切),根轴过两个交点(或切点)。
证明 如图2-2,设圆 的方程分别为:
(2.3)
(2.4)
图2-2 两圆相交的等幂轴
其中,令 ,根据相交或相切条件,有:
(2.5)
(2.4)-(2.3)得:
得 (2.6)
把上式代入(2.3),(2.4)验证,得 有实根,故 为两交点 的横坐标(相切时A,B重合)。比较式(2.1)可见,根轴通过点 ,命题得证。![\blacksquare](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cblacksquare)
评注 不等式(2.5)的几何意义为:
左边等号成立,表示两圆内切;
有边等号成立,表示两圆外切;
其余表示两圆相交。
题3(等差幂线定理) 图3-1,平面上有四个点 ,那么 的充要条件为 (3.1)
图3-1
证明 如图3-2,分别以 为圆心, 为半径作圆,使之对A而言等幂。这样可知:
(3.2)
3-2
若 ,因 为两圆的等幂点,所以直线 为两圆之根轴,所以 为两圆的等幂点。所以:
(3.3)
联立(3.2)(3.2),消去 得(3.1),这就证明了必要性。
若(3.1)成立,则联立(3.1)、(3.2)可得(3.3),所以 为两圆的等幂点,于是 ,充分性成立。![\blacksquare](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cblacksquare)
评注 本题的结论称为"等差幂线定理"。在证明过程中,(3.2)、(3.3)两边无绝对值是没问题的。这是因为:根轴上的每一点,要么都在两圆之外,要么都在两圆之内,要么在两圆的交点上,不管什么情况,圆幂公式去绝对值时,就是(3.2)、(3.3)的形式。也就是说,两圆根轴上的任意一点 等幂方程可以写成:
![PO_1^2-r_1^2=PO_2^2-r_2^2](https://math.jianshu.com/math?formula=PO_1%5E2-r_1%5E2%3DPO_2%5E2-r_2%5E2)
认真体会命题2.1的证明,也能注意到这点。
推论3.1 到已知两点的距离平方差为常数的点的轨迹,是垂直于这两点的直线。
题4 如图4-1,三圆 圆心不共线。 为圆 的两条公切线, 为圆 的两条公切线, 为圆 的两条公切线。其中, 分别是它们的中点。求证:
三条直线相交于一点。
图4-1
证明 由条件知:
直线 是圆 的根轴,
直线 是圆 的根轴,
直线 是圆 的根轴。
设 与 相交于 ,那么 为三圆 的等幂点,这说明 在圆 的根轴 上,所以三线共点。![\blacksquare](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cblacksquare)
评注 本题公切线可以是外公切也可以是内公切。同时,切线的条件限制了三圆不能互相包含,只能相离或相交(包含相切)。实际上,以下命题更本质地说明三圆根轴的位置关系:
命题4.1 三圆不同心,圆心不共线,两两根轴相交于一点;三圆不同心,圆心共线,两两根轴平行。
推论 不同心不共线的三圆,有且只有一个等幂点,该点称为三圆的根心。
题5 如图5-1 为圆 的切线,切点为 ,过点 作直线交圆 于 ,交弦 于点 ,求证: (5.1)
图5-1
证明 如图5-2,连接 。
图5-2
根据圆幂定理:
(5.2)
(5.3)
因为 切圆 于 ,所以 ,根据等差幂线定理有:
结合(5.2),(5.3)得:
![=PC\cdot PD-QC\cdot QD\blacksquare](https://math.jianshu.com/math?formula=%3DPC%5Ccdot%20PD-QC%5Ccdot%20QD%5Cblacksquare)
评注 本题结论与 【平面几何】圆幂定理(2)
中的题4等价,推导如下:
![\Leftrightarrow PC \cdot QD=PD \cdot QC](https://math.jianshu.com/math?formula=%5CLeftrightarrow%20PC%20%5Ccdot%20QD%3DPD%20%5Ccdot%20QC)
题6 如图6-1,圆 与 的外接圆相切于点 ,与边 相交于点 ,且和边 相交。过点 作 的切线,切点为 ,连接 ,交 于 。求证: 等于过点 作圆 的切线长。
图6-1
证明 如图6-2,设 过点A作两圆的切线 ,连接 。
图6-2
由弦切角定理知:
所以:
所以: 共圆。
所以:![\angle ATC=\angle ALC](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cangle%20ATC%3D%5Cangle%20ALC)
又由弦切角定理:
所以:
等角之补角相等,所以:
这样有:
所以
为 对圆 的幂,所以 等于过点 作圆 的切线长。![\blacksquare](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cblacksquare)
评注6.1 注意图6-3与图6-4,两圆 相切于点 ,过点 作直线线分别交圆 于 ,再作直线分别交圆 于 ,那么 。
以上结论对于内切与外切的结论是一样的,请分别证明之。
图6-3 内切的情况
图6-4 外切的情况
题6中,连接 ,则可以证明 ,这是解决题6的另一途径。(请试试)
评注6.2 如图6-4,与图6-1有所不同,切线 与圆 相切于不同于 的另外一点L',连接 并延长,与 的延长线交于 ,这时结论还成立吗?也就是说, 是否等于 到圆 的切线长?
图6-4
答案是肯定的,请证明之。
题7(2016年全国高中数学联赛) 图7-1所示, 中, 分别位于 的延长线上, 。设 的外心分别为 ,直线 分别交 于 。证明: 是等腰三角形。
图7-1
证明 如图7-2,设圆 相交于点 ,连接 交 于 。
图7-2
直线 为圆 的根轴,所以点E到圆 与圆 的幂相等。
所以:
(7.1)
又
(7.2)
所以 平分
同时由根轴性质知
由此可以判定
所以 是等腰三角形。![\blacksquare](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cblacksquare)
评注 本题利用三角形内角平分线的性质,该性质可以描述为:
命题7.1 中, 在线段 上,那么 平分 当且仅当
![\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cfrac%7BAB%7D%7BAC%7D%3D%5Cfrac%7BBD%7D%7BCD%7D)
图7-2
证明 如图7-2,用 表示面积,根据面积公式:
![S_{\Delta ABD}=\frac{AC\cdot AD\cdot\sin\angle{CAD}}{2}=\frac{CD\cdot AD\cdot\sin\angle{CDA}}{2}](https://math.jianshu.com/math?formula=S_%7B%5CDelta%20ABD%7D%3D%5Cfrac%7BAC%5Ccdot%20AD%5Ccdot%5Csin%5Cangle%7BCAD%7D%7D%7B2%7D%3D%5Cfrac%7BCD%5Ccdot%20AD%5Ccdot%5Csin%5Cangle%7BCDA%7D%7D%7B2%7D)
上面两式相除得
(7.3)
因
所以
所以(7.3)变为
所以
平分![\angle BAC\blacksquare](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cangle%20BAC%5Cblacksquare)
题8(2007年西部数学奥林匹克) 圆 ,圆 相较于 ,过点 的一条直线分别交圆 ,圆 于 两点, 分别在弧 与弧 上,直线 交于点 ,直线 交于点 。已知点 为 的外接圆,求证:
当且仅当 共圆。
图8-1
证明 根据割线定理有:
(8.1)
(8.2)
(8.3)
(8.4)
设圆 半径为 ,根据圆幂定理,有:
(8.5)
(8.6)
把(8.5)代入(8.3),(8.6)代入(8.4)得下面两式:
(8.7)
(8.8)
所以,
共圆。![\blacksquare](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cblacksquare)
评注 两条线段相乘,作如下变化,往往会有意外的发现:
图8-2
实际上,本文有几个例子都用到这个技巧,请认真阅读。
题9(2015年全国高中数学联赛) 如图9-1, 内接于圆 , 为弧 上一点,点 在线段 上, 平分 ,过 三点的圆 与边AC交于点D,连结 交圆 于点 ,连结 并延长与边 交于点 。证明:![∠ABC=2∠FCB](https://math.jianshu.com/math?formula=%E2%88%A0ABC%3D2%E2%88%A0FCB)
图9-1
证明 如图9-2,设 交圆 于 ,连接 。
图9-2
注意到:
所以:
于是有:
所以:
所以:
(9.1)
另一方面:
![= \angle ABC=\angle FBC](https://math.jianshu.com/math?formula=%3D%20%5Cangle%20ABC%3D%5Cangle%20FBC)
结合(9.1)有:
所以:
共线。
所以:
即![∠ABC=2∠FCB\blacksquare](https://math.jianshu.com/math?formula=%E2%88%A0ABC%3D2%E2%88%A0FCB%5Cblacksquare)
评注 本题证明 共线的技巧需要注意并掌握。它利用以下第(1)个共线判定:
(1) 四点,若 ,则 共线
(2) 四点,若 ,则 共线
以上两个结论请画图理解之。
题10 如图10-1,设 是 边 上的点,求证:以 为直径的两圆的根轴必通过 的垂心。
图10-1
证明 如图10-2,设圆 与直线 交于点 ,圆 与直线 交于点 。
图10-2
因 为圆 的直径,所以:
同理:
所以直线 的交点 即为 的垂心。
又容易知, 共圆,所以:
上式左右两边分别为圆 的幂,
可见 为两圆的等幂点,所以垂心 在两圆的根轴上。![\blacksquare](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cblacksquare)
评注图10-2中, 三角形的垂心在三角形之外。 三角形的垂心在三角形之内,证明过程类似,可以画图试试。
题11 如图11-1,已知两个半径不相等的圆 相交于 两点,且圆 分别与圆 内切于S、T两点,求证: 的充要条件为 共线。
图11-1
证明 如图 11-2,连接 ,过 作圆 的切线 相交于点 ,连接 。
图11-2
因 分别切圆 ,圆 ,
所以点P为三圆之根心,
所以MN的延长线过点 。
另因 为圆 之公切线,故 ,所以:
共线
同理:
有 共线
(1)先证明必要性
由 得
又由 得:
共圆(四边形的对角和等于 )
又由 得:
共圆(四边形的对角和等于 )
因此:
共圆。
由此得:
(11.1)
再根据弦切角定理有
(11.2)
代入(11.1)得
由上式可得:
共线
(2)再证明充分性
共线得
结合(11.2)得(11.1),得 共圆,
再由 共圆得 共圆,
从而有 ,即
![\blacksquare](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cblacksquare)
评注 本题利用以下几个重要结论:
(1) 三圆圆心不共线,两两的根轴相交于根心。
(2)两圆相切,两圆的圆心与切点三点共线。本题中, 共线, 共线就是利用这个结论。
(3)有A,B,C,D四点, 共线。
(4)有五个点,若有两组四点共圆,则这五点的任意四点都共圆。
题12 如图12-1, 为三角形 外心和内心, 为 内切圆在 上的切点,设直线 交于 , 交于 ,点 分别为线段 的中点,求证:
![OI\perp MN](https://math.jianshu.com/math?formula=OI%5Cperp%20MN)
图12-1
证明 由梅涅劳斯定理得:
上式结合 得:
把 代入上式得:
利用等比公式得:
把 代入上式约去2得:
上式等价于:
等价于:
左边分解因式得
即
上式说明, 为圆 与圆 的等幂点。
同理可证, 为圆 与圆 的等幂点。
所以![OI\perp MN](https://math.jianshu.com/math?formula=OI%5Cperp%20MN)
评注 本题所用梅涅劳斯定理为:直线 交三直线 于 ,那么如下等式成立:
![\frac{AD}{DB}\cdot \frac{BE}{EC}\cdot \frac{CF}{FA}=1](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cfrac%7BAD%7D%7BDB%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7BBE%7D%7BEC%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7BCF%7D%7BFA%7D%3D1)
注意图12-2与图12-3的不同,梅涅劳斯定理对两图都成立。
图12-2
图12-3
另外,当 共线时,梅涅劳斯定理也成立。在平面几何中,要彻底理解梅涅劳斯定理,这几种情况需要分别讨论。但使用解析几何,在代数的运算下,不需要讨论那么多情况。
题13 如图13-1,圆 过 顶点 ,且与 交于 。 为 , 外接圆的交点,求证:![BM\perp OM](https://math.jianshu.com/math?formula=BM%5Cperp%20OM)
图13-1
证明 设 与 的外接圆分别为 ,则:
是圆 的根轴,
是圆 的根轴,
是圆 的根轴,
由是,直线 交于一点,设其为点 。
如图13-2,连接 。
图13-2
由共圆关系,不难得:
共圆,设这个圆为 。
设 为圆 的半径,根据圆幂公式有:
(13.1)
(13.2)
(13.1)- (13.2)
上式说明:![BM\perp OM \blacksquare](https://math.jianshu.com/math?formula=BM%5Cperp%20OM%20%5Cblacksquare)
题14 如图14-1,圆 ,圆 的外公切线切两圆于 ,内公切线切两圆于 , 交 于 ,求证: 共线。
图14-1
证明 如图14-2,延长 交 于点 ,连接
图14-2
根据切线的性质,有:
共圆
从而有:
又因
所以
又由弦切角定理得:
由是得: (内错角相等)
又由 得
(平行线性质)
注意,以 为直径的圆 与以 为直径的圆 交于点 ,
所以,点 在圆 和 根轴上。
另一方面,不难看出:
与 分别与圆 和 的直径垂直,
所以 与 分别是圆 和 的切线,
所以点 在圆 和 根轴上;
同理可证点 在圆 和 根轴上;
以上说明, 共线。![\blacksquare](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cblacksquare)
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