这道题充分证明了从“变量”的观点看待函数会引起的巨大混淆。我们先给出一个形式上的解答：

分别对 y=f(x,t) 和 F(x,y,t)=0 两侧求微分得 \left\{\begin{aligned} &dy=f'_1dx+f'_2dt&(1)\\ &F'_1dx+F'_2dy+F'_3dt=0&(2) \end{aligned}\right.\\由于 F 确定了 t 作为 x,y 的函数，可以假定 F_3'\neq0 ，将 (2) 化成 dt=-\frac{F_1'dx+F_2'dy}{F_3'}\\代入 (1) 中就得到 F_3'dy=F'_3f_1'dx-f_2'F_1'dx-f_2'F_2'dy ，整理得到 \frac{dy}{dx}=\frac{F_3'f_1'-f_2'F_1'}{f_2'F_2'+F_3'}\\ 这里 f_i',F_i' 表示 f,F 对第 i 个变量的偏导数。需要注意的是，这个等式等号两侧都是 x 的函数，如果带上在具体自变量处的取值应当写成 \frac{dy}{dx}(x)=\frac{F_3'\bigg(x,y(x),f\big(x,y(x)\big)\bigg)f_1'\big(x,y(x)\big)-f_2'\big(x,y(x)\big)F'_1\bigg(x,y(x),f\big(x,y(x)\big)\bigg)}{f_2'\big(x,y(x)\big)F_2'\bigg(x,y(x),f\big(x,y(x)\big)\bigg)+F_3'\bigg(x,y(x),f\big(x,y(x)\big)\bigg)}\\ 当然，为了防止别人看懂我们的解答，可以把这改写为变量记号： \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{\partial F}{\partial t}\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{\partial F}{\partial x}}{\frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial t}}\\

如果非要讨论自变量和中间变量的问题，只能这样说： F(x,y,t)=0 确定了 t 作为 x,y 的函数，而 y=f\big(x,t(x,y)\big) 实际上作为一个关于 x,y 的方程又进一步确定了 y 作为 x 的函数，因此 t 作为中间变量又沟通起了自变量 x 与因变量 y 之间的约束条件，这听起来像故事一样曲折有趣。

“变量”是一种看起来很朴素但是作为数学对象性质远远不够好的概念，相比而言函数是更明确的概念。重新审视这个问题，这是说 F(x_1,x_2,x_3)=0 这一方程在局部确立了其第三个自变量关于前两个的函数，也即存在某个连续可微的二元函数 \phi(\cdot,\cdot) 使得局部上有 F(x_1,x_2,x_3)=0\iff x_3=\phi(x_1,x_2)\\因此局部上就有 (x_1,x_2)\mapsto F\big(x_1,x_2,\phi(x_1,x_2)\big) 这个二元函数恒等于零，因此其微分必须恒等于零，由链式法则就有 F_1'dx_1+F_2'dx_2+F_3'd\phi=0\\ 从而 d\phi=-\frac{F_1'}{F_3'}dx_1-\frac{F_2'}{F_3'}dx_2~~~~(*)\\ 其中 F_3'\neq0 由隐函数定理保证。这个微分同时给出了偏导数。

题目的意思应该作如下的翻译：我们用方程 x_2=f\big(x_1,\phi(x_1,x_2)\big) 确定了 x_2 关于 x_1 的函数，也即局部上可以找到连续可微的一元函数 \psi(\cdot) 使得 x_2=f\big(x_1,\phi(x_1,x_2)\big)\iff x_2=\psi(x_1)\\因此 x\mapsto \psi(x)-f\bigg(x,\phi\big(x,\psi(x)\big)\bigg) 这个一元函数在局部恒等于零，其微分或者导数必须恒等于零，就给出 \psi'-\big(f_1'+f_2'(\phi_1'+\phi_2'\psi')\big)=0\\ \phi_1',\phi_2' 已经由 (*) 给出了，代入解出 \psi' 即可。

这里故意用 x_1,x_2,x_3 等记号来表示自变量，是为了强调我们讨论的对象是函数，和自变量选取的记号无关。如果熟练以后，就算使用 x,y,t 代替，也并不会混淆。当然，题目其实没有强调方程 y=f\big(x,\phi(x,y)\big) 能够在局部确定一个隐函数，但也可以说这条件蕴含在 dy/dx 的表达式中。

可以看到，从函数的角度题目的意思将没有歧义，只需要注意字母仅仅是自变量的记号，只是告诉你这函数将什么映射为什么，并不是说某些变量之间存在着“隐含的联动”。如果非要从自变量的角度理解，从微分而不是偏导数的角度求解问题或许会省去一些麻烦，因为一阶微分具有形式的不变性，自变量和中间变量的地位是等同的。