a ) 为此介绍一些常见的变换及其性质Laplace变换的定义为$$ \mathscr{L} \{f(t)\}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt$$Laplace反演变换公式为$$\mathscr{L}^{-1}F(s)=\int_{0}^{\infty}F(s)e^{st}ds $$定义卷积$$f(t)\ast g(t)=\int_{0}^{t}f(t-\tau)g(\tau)d\tau=\int_{0}^{t}f(t)g(t-\tau)d\tau=g(t) \ast f(t)$$易得卷积定理$$\mathscr{L}\{f(t)\ast g(t)\}=F(s)G(s)$$$$\mathscr{L}^{-1}\{F(s)G(s)\}=f(t)\ast g(t)$$$n$阶导数的$Laplace$变换公式$$\mathscr{L}\{D^{n}f(x)\}=s^{n}F(s)-\sum_{k=0}^{n-1}s^{k}D^{n-k-1}f(0)$$证明:不断地使用分部积分法即可。注意这个式子的特征是第一项的指标和是$n$,第二项的指标和是$n-1$.特别地，若$D^{k}f(0)=0 (k=0,1,2\cdots,n-1)$则$$\mathscr{L}\{D^{n}f(x)\}=s^{n}\mathscr{L}\{f(x)\}$$由此得$Riemann-Liouville$型分数阶导数的Laplace变换为$$\mathscr{L}\{_{0}^{RL}D_{t}^{\alpha}f(x)\}=s^{\alpha}F(s)-\sum_{k=0}^{n-1}s^{k}D^{\alpha-k-1}f(0)$$其中$n-1\leq \alpha 0$,使得$|a(x,y)|\leq M \|x\|\|y\|$(2)正定性，$\exists \delta>0$,使得$|a(x,y)|\geq \delta \|x\|^{2}$那么必存在唯一的有连续逆的连续线性算子$A\in L(H)$满足$$a(x,y)=(x,Ay),\mbox{且}||A^{-1}||\leq \frac{1}{\delta}$$

能量不等式

极值原理(复旦大学程晋教授)

当前研究热点的分数阶偏微分方程有:

数值解，算法的研究(国内厦门大学、上海大学等)

由于分数阶导数具有历史依赖性和全域相关性，从而增加了数值计算的复杂性，分数阶微分方程其实是微分- 积分方程或积分-微分方程，使得整数阶时的一些数值格式失效。目前主要方法有级数逼近法、变分迭代法、有限差分法等。具体的可参看郭柏灵院士所著的《分数阶偏微分方程及其数值解》。