本篇笔记讲解矩阵的幂运算和矩阵的转置，其中矩阵进行幂运算的前提是矩阵为方阵，矩阵幂运算的两条性质与数的幂运算规则类似；矩阵转置的定义与行列式转置类似，但要注意由于矩阵的行数和列数不同，所以转置之后行数和列数变换。

如果 A A A是方阵，矩阵的幂定义如下： A k = A A . . . A ⏟ k A^k=\underbrace{AA...A}_k Ak=k AA...A​​

特别地：我们规定： A 0 = E A^0=E A0=E。

两条性质： ① A k 1 A k 2 = A k 1 + k 2 A^{k_1}A^{k_2}=A^{k_1+k_2} Ak1​Ak2​=Ak1​+k2​ 验证： A k 1 A k 2 = A A . . . A ⏟ k 1 A A . . . A ⏟ k 2 = A k 1 + k 2 A^{k_1}A^{k_2}=\underbrace{AA...A}_{k_1}\underbrace{AA...A}_{k_2}=A^{k_1+k_2} Ak1​Ak2​=k1​ AA...A​​k2​ AA...A​​=Ak1​+k2​

② ( A k 1 ) k 2 = A k 1 k 2 (A^{k_1})^{k_2}=A^{k_1k_2} (Ak1​)k2​=Ak1​k2​ 验证： ( A k 1 ) k 2 = A k 1 A k 1 . . . A k 1 ⏟ k 2 = A A . . . A ⏟ k 1 A A . . . A ⏟ k 1 . . . A A . . . A ⏟ k 1 ⏟ k 2 = A k 1 k 2 (A^{k_1})^{k_2}=\underbrace{A^{k_1}A^{k_1}...A^{k_1}}_{k_2}=\underbrace{\underbrace{AA...A}_{k_1}\underbrace{AA...A}_{k_1}...\underbrace{AA...A}_{k_1}}_{k_2}=A^{k_1k_2} (Ak1​)k2​=k2​ Ak1​Ak1​...Ak1​​​=k2​ k1​ AA...A​​k1​ AA...A​​...k1​ AA...A​​​​=Ak1​k2​

因为矩阵相乘不满足交换律，一般情况下： ( A B ) k ≠ A k B k (AB)^k{\neq}A^kB^k (AB)k​=AkBk

举例： ( A B ) 2 ≠ A 2 B 2 (AB)^2{\neq}A^2B^2 (AB)2​=A2B2 因为： ( A B ) 2 = A B A B (AB)^2=ABAB (AB)2=ABAB 而： A 2 B 2 = A A B B A^2B^2=AABB A2B2=AABB 很显然：中间的 A B AB AB一般是 ≠ B A ≠BA ​=BA的。

思考1： ( A + B ) 2 (A+B)^2 (A+B)2与 A 2 + 2 A B + B 2 A^2+2AB+B^2 A2+2AB+B2是否相等？ 答案是否定的。 因为： ( A + B ) 2 = ( A + B ) ( A + B ) (A+B)^2=(A+B)(A+B) (A+B)2=(A+B)(A+B)，根据矩阵相乘的分配律： = ( A + B ) A + ( A + B ) B =(A+B)A+(A+B)B =(A+B)A+(A+B)B = A 2 + B A + A B + B 2 =A^2+BA+AB+B^2 =A2+BA+AB+B2

很显然： 2 A B 2AB 2AB一般与 B A + A B BA+AB BA+AB是不相等的。 所以，同样的， ( A − B ) 2 (A-B)^2 (A−B)2与 A 2 − 2 A B + B 2 A^2-2AB+B^2 A2−2AB+B2一般也是不相等的。

思考2： ( A + E ) 2 (A+E)^2 (A+E)2与 A 2 + 2 A E + E 2 A^2+2AE+E^2 A2+2AE+E2是否相等？ 答案是肯定的。 因为： ( A + E ) 2 = ( A + E ) ( A + E ) (A+E)^2=(A+E)(A+E) (A+E)2=(A+E)(A+E)，根据矩阵相乘的分配律： = ( A + E ) A + ( A + E ) E =(A+E)A+(A+E)E =(A+E)A+(A+E)E = A 2 + E A + A E + E 2 =A^2+EA+AE+E^2 =A2+EA+AE+E2 又因为： E A = A ， A E = A EA=A，AE=A EA=A，AE=A 所以： = A 2 + 2 A + E 2 =A^2+2A+E^2 =A2+2A+E2 故： ( A + E ) 2 = A 2 + 2 A E + E 2 (A+E)^2=A^2+2AE+E^2 (A+E)2=A2+2AE+E2 注意 E 2 E^2 E2就等于 E E E， E n E^n En也等于 E E E。

同样的， ( A − E ) 2 (A-E)^2 (A−E)2与 A 2 − 2 A E + E 2 A^2-2AE+E^2 A2−2AE+E2一般也是相等的。

该部分内容请参考上一篇博客线性代数学习笔记（九）——矩阵运算（一）

例8：已知矩阵 A = [ 1 1 1 ] A=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} A=⎣⎡​111​⎦⎤​，矩阵 B = [ 1 2 3 ] B=\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix} B=[1​2​3​]，求 A B AB AB、 B A BA BA、 ( A B ) 2 (AB)^2 (AB)2和 ( A B ) 10 (AB)^{10} (AB)10。

解： ① A B = [ 1 1 1 ] 3 × 1 [ 1 2 3 ] 1 × 3 AB=\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}_{3×1}\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}_{1×3} AB=⎣⎡​111​⎦⎤​3×1​[1​2​3​]1×3​

= [ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ] 3 × 3 =\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}_{3×3} =⎣⎡​111​222​333​⎦⎤​3×3​

② 同理： B A = [ 1 2 3 ] 1 × 3 [ 1 1 1 ] 3 × 1 = 6 BA=\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}_{1×3}\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}_{3×1}=6 BA=[1​2​3​]1×3​⎣⎡​111​⎦⎤​3×1​=6

③ ( A B ) 2 = A B A B (AB)^2=ABAB (AB)2=ABAB = [ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ] [ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ] =\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix} =⎣⎡​111​222​333​⎦⎤​⎣⎡​111​222​333​⎦⎤​

= [ 6 12 18 6 12 18 6 12 18 ] =\begin{bmatrix}6&12&18\\6&12&18\\6&12&18\end{bmatrix} =⎣⎡​666​121212​181818​⎦⎤​

另外一种思路： ( A B ) 2 = A B A ‾ B (AB)^2=A\underline{BA}B (AB)2=ABA​B 先计算中间的 B A BA BA，由②可知其值为6，则原式： = 6 A B =6AB =6AB = 6 [ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ] =6\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix} =6⎣⎡​111​222​333​⎦⎤​

= [ 6 12 18 6 12 18 6 12 18 ] =\begin{bmatrix}6&12&18\\6&12&18\\6&12&18\end{bmatrix} =⎣⎡​666​121212​181818​⎦⎤​

④ ( A B ) 10 = A B A ‾ B A ‾ . . . B A ‾ ⏟ 9 B (AB)^{10}=A\underbrace{\underline{BA}\underline{BA}...\underline{BA}}_9B (AB)10=A9 BA​BA​...BA​​​B = 6 9 A B =6^9AB =69AB = 6 9 [ 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ] =6^9\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&3\\1&2&3\end{bmatrix} =69⎣⎡​111​222​333​⎦⎤​

注意：一般求矩阵高次幂的运算都是通过一定技巧化简的。

例9：略

矩阵的转置和行列式的转置类似，即将原来的行做成列，将原来的列做成行。

A = [ 1 2 3 1 1 1 ] 2 × 3 A=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&1&1\end{bmatrix}_{2×3} A=[11​21​31​]2×3​ A T = [ 1 1 2 1 3 1 ] 3 × 2 A^T=\begin{bmatrix}1&1\\2&1\\3&1\end{bmatrix}_{3×2} AT=⎣⎡​123​111​⎦⎤​3×2​

与行列式一样， A A A的转置表示为 A T A^T AT或 A ’ A^’ A’。 如果 A A A为 m × n m×n m×n的矩阵，则 A T A^T AT为 n × m n×m n×m的矩阵。

( A T ) T = [ 1 2 3 1 1 1 ] 2 × 3 (A^T)^T=\begin{bmatrix}1&2&3\\1&1&1\end{bmatrix}_{2×3} (AT)T=[11​21​31​]2×3​

★ ① ( A T ) T = A (A^T)^T=A (AT)T=A ② ( A + B ) T = A T + B T (A+B)^T=A^T+B^T (A+B)T=AT+BT ③ ( k A ) T = k A T (kA)^T=kA^T (kA)T=kAT ★ ④ ( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^TA^T (AB)T=BTAT

注意：不是 ( A B ) T = A T B T (AB)^T=A^TB^T (AB)T=ATBT，例如 A 3 × 2 A_{3×2} A3×2​、 B 2 × 5 B_{2×5} B2×5​，那么 A 2 × 3 T A^T_{2×3} A2×3T​和 B 5 × 2 T B^T_{5×2} B5×2T​中间不等，所以不能相乘；而 B 5 × 2 T B^T_{5×2} B5×2T​和 A 2 × 3 T A^T_{2×3} A2×3T​中间相等，可以相乘。

性质④推广： ( A 1 A 2 A 3 A 4 ) T = A 4 T A 3 T A 2 T A 1 T (A_1A_2A_3A_4)^T=A_4^TA_3^TA_2^TA_1^T (A1​A2​A3​A4​)T=A4T​A3T​A2T​A1T​ 同样，性质②也有类似推广： ( A + B + C ) T = A T + B T + C T (A+B+C)^T=A^T+B^T+C^T (A+B+C)T=AT+BT+CT

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列 宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ 干杯~-bilibili_2.2 矩阵运算（二）