微分方程部分参考的是如下视频内容：

【考研 高等数学 微分方程】_哔哩哔哩_bilibili

微分方程的概念很简单

这里重点是未知函数的导数，貌似不包含未知函数和自变量也是可以的，可以理解成未知函数和自变量的系数是0，但是未知函数的导数必须要有。

其实对比下之前学习的二次方程就能更好地理解了。

对于一般的二元方程，里面就只有自变量和对应的未知函数。

微分方程就必须含有未知函数的导数，最高含几阶导数，我们就称之为几阶微分方程。

两种基本的分类

高等数学中接触的大多是常微分方程；偏微分方程是里面含有偏导数的方程，也就是针对多元函数的微分方程。

对于线性来说，只要求函数y和各阶导数都是一次的，并不对自变量的次幂数作出要求。所以上图中最后一行的两个例子，左侧是线性微分方程，右侧就是非线性的微分方程。

解微分方程的过程，其实就是找出未知函数的过程。

求微分方程的解，求的是一个未知函数，而不是求出一个具体的值。

举个例子：

微分方程的解分为特解和通解。

通解是由于不定积分的结果含有任意常数带来的，当任意常数不确定时，即常数未知时，就是一个通解；当常数可以确定是，就是一个特解。

比如上面的例子中，y=x^2+C就是一个通解，y=x^2+1就是一个特解。

其数学定义如下所示：

一阶微分方程通常有三类

可分离变量的方程

举个例子

齐次微分方程

举个例子：

注意最后要回代回去。

一阶线性微分方程

一阶线性微分方程可分为齐次和非齐次

齐次就是等号右侧等于0的意思。

注意，这里的齐次是针对一阶线性微分方程来说的。

齐次和非齐次情况下的解有如下形式：

举个例子

差分方程部分参考的是如下视频内容：

考研 数学三 差分方程的概念_哔哩哔哩_bilibili

我们先看一个引例

现实中我们研究火箭的飞行时，不可能取到火箭每时每刻的路程和速度。

当自变量t离散化之后，如何进行研究呢？

离散化之后，其实就没有导数了，也就是没有什么瞬时速度了，那怎么办呢？

这种情况下，其实就只能计算两个时间点之间的平均速度了。

时间t的间隔是我们可以选择的，为了研究的方便，我们一般会取成等间隔的，进一步来说，如果都是1个单位的间隔，那就最好了。

于是上述例子就有如下分析：

根据这个例子我们就引出了差分的概念，其实就是微分在离散情况下的类似概念。

和微分类似，一阶差分反应的是序列的变化快慢。

注意前面的三角形△符号。

一阶差分的差分就是二阶差分，反应了一阶差分的变化快慢。

和二阶导数也是类似的。

因为离散的序列没法通过导数和微分来进行研究，所以只能通过差分来进行分析。

举两个例子

以下给出差分的数学定义。

这里注意几个问题：

1、二阶差分或者说高阶差分可以转换成低阶差分，最后逐级转换成某几个序列点的加减计算。

2、x是可以任意取值的，只要保证间隔为1个单位即可，也就是说，x这个点是可以左右平移的，通常，我们会取x为0，从而可以更方便地研究序列。

3、在某点的差分是通过两个点的差来定义的，体现的是平均变化率。

类比微分方程来看下

所以到底什么是差分方程呢？

另外，我们在上面说过，高阶差分可以转换成低阶差分，最后逐级转换成某几个序列点的加减计算，所以，差分还有另一种等价的定义形式。

注意：多个时刻的函数值不能少于两个。

在这种定义下，差分方程的阶定义如下：

通解和特解

递推法求解齐次差分方程

递推法求解需要有个初值条件，否则递推就是无止尽的。

更多求解视频参考：

考研 数学三 差分方程的求解_哔哩哔哩_bilibili

不再赘述。