（1）一般地，若离散型随机变量\(x\)的概率分布列为

则称

为随机变量\(X\)的方差，有时候也记为\(V(x)\)，并称\(\sqrt{D(X)}\)为随机变量\(X\)的标准差，记为\(σ(X)\). 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差越小，随机变量的取值越集中；方差越大，随机变量的取值越分散.  

(1)一般地，\(D(a X+b)=a^2 D(X)\).(可用方差的概念证明) (2) \(D X=E\left(X^2\right)-E^2(X)\) 证明 \(D(X)=(x_1-E(X))^2 p_1+(x_2-E(X))^2 p_2+\cdots+(x_n-E(X))^2 p_n\) \(=\sum_{i=1}^n(x_i-E(X))^2 p_i\) \(=\sum_{i=1}^n\left[x_i^2-2 x_i E(X)+E^2(X)\right] p_i\) \(=\sum_{i=1}^n\left[x_i^2 p_i-2 x_i p_i E(X)+E^2(X) p_i\right]\) \(=\sum_{i=1}^n x_i^2 p_i-\sum_{i=1}^n 2 x_i p_i E(X)+\sum_{i=1}^n E^2(X) p_i\) \(=E\left(X^2\right)-2 E(X) \sum_{i=1}^n x_i p_i+E^2(X) \sum_{i=1}^n p_i\) \(=E\left(X^2\right)-2 E(X) \cdot E(X)+E^2(X) \cdot 1\) \(=E(X^2 )-E^2 (X)\)  

【典题1】 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相同，所得次品数分别为\(X\)，\(Y\)， \(X\)和\(Y\)的分布列如下表．

试对这两名工人的技术水平进行比较． 解析 工人甲生产出次品数\(X\)的期望和方差分别为： \(E(X)=0 \times \dfrac{6}{10}+1 \times \dfrac{1}{10}+2 \times \dfrac{3}{10}=0.7\)， \(D(X)=(0-0.7)^2 \times \dfrac{6}{10}+(1-0.7)^2 \times \dfrac{1}{10}+(2-0.7)^2 \times \dfrac{3}{10}=0.81\)． 工人 乙生产出次品数\(Y\)的期望和方差分别为： \(E(Y)=0 \times \dfrac{5}{10}+1 \times \dfrac{3}{10}+2 \times \dfrac{2}{10}=0.7\)， \(D(Y)=(0-0.7)^2 \times \dfrac{5}{10}+(1-0.7)^2 \times \dfrac{3}{10}+(2-0.7)^2 \times \dfrac{2}{10}=0.61\)． 由\(E(X)=E(Y)\)知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当， 但\(D(X)>D(Y)\)，可见乙的技术比较稳定． 点拨 方差越大，数据越不稳定；方差越小，数据越稳定.  

【典题2】 设\(00\)， 故\(p \in\left(0， \dfrac{1}{2}\right)\)时，\(D(X)\)单调递增， 所以 \(D(X)