定义 布朗运动

若一个随机过程 ${X_t:t\geqslant0}$ 满足

则称 ${X_t:t\geqslant0}$ 是布朗运动或维纳过程.

当 $c=1$ 时, 称 ${X_t:t\geqslant0}$ 为标准布朗运动, 此时若 $X_0=0$, 则称为零初值标准布朗运动, 此时 \(X_t\sim N(0,t)\)

本章仅讨论标准布朗运动, 记为 \(\{B_t:t\geqslant0\}\)

其在 $t$ 时刻的概率密度为 \(p(x;t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\exp\left(-\frac{x^2}{2t}\right)\) 即固定 $t$ 时, 布朗运动 $X_t$ 就是一个遵循正态分布 $N(0,t)$ 的随机变量.

$B_t$ 的矩母函数为 \(\phi(s)=E(\mathrm{e}^{sB_t})=\mathrm{e}^{s^2t/2}\)

定理 布朗运动联合概率密度

设 ${B_t:t\geqslant0}$ 为零初值标准布朗运动, 令 $x_0=0,~t_0=0$, 对 \(\forall~0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n\) $(B_{t_1},B_{t_2},\cdots,B_{t_n})$ 的联合概率密度函数为 \(g(x_1,x_2,\cdots,x_n;t_1,t_2,\cdots,t_n)=\prod_{i=1}^np(x_i-x_{i-1};t_i-t_{i-1})\)

其中 \(p(x;t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\exp\left(-\frac{x^2}{2t}\right)\)

证明: 布朗运动增量独立且遵循正态分布, 则增量联合概率密度等于他们概率密度函数的直接累乘. 布朗运动等于增量求和的变换行列式为1, 则可直接带入得出布朗运动的联合概率密度函数.

给定初始条件 $B_{t_0}=x_0$, 对于任意的 $t>0$, 布朗运动在 $t_0+t$ 时刻的位置高于或低于初始位置的概率相等, 均为 $1/2$, 此即布朗运动的对称性.

正向马尔可夫性

$\forall~t_1 < t_2 < \cdots < t_n$, 在给定 $B_{t_1},B_{t_2},\cdots,B_{t_{n-1}}$ 下, $B_{t_n}$ 的条件概率密度函数与只给定 $B_{t_{n-1}}$ 下 $B_{t_n}$ 的条件概率密度相同

逆向马尔可夫性

$\forall~t_1>t_2>\cdots>t_n$, 在给定 $B_{t_1},B_{t_2},\cdots,B_{t_{n-1}}$ 下, $B_{t_n}$ 的条件概率密度函数与只给定 $B_{t_{n-1}}$ 下 $B_{t_n}$ 的条件概率密度相同

中间关于两边的马尔可夫性

$\forall~t_1 < t_2 < \cdots < t_n$, 在给定 $B_{t_1},\cdots,B_{t_{i-1}},B_{t_{i+1}},\cdots,B_{t_{n}}$ 下, $B_{t_i}$ 的条件概率密度函数与只给定 $B_{t_{i-1}},B_{t_{i+1}}$ 下 $B_{t_i}$ 的条件概率密度相同

由以上三种马尔可夫性可知, 布朗运动的条件概率密度函数只和与其刚好相邻的事件有关.

定理 给定两边求中间分布

对 $0\leqslant t_1 < t < t_2$, 给定 $B_{t_1}=a$, $B_{t_2}=b$, $B_0=0$, 则 $B_t$ 的条件概率密度是正态密度, 其均值为 \(\mu=a+\frac{(b-a)(t-t_1)}{t_2-t_1}\) 方差为 \(\sigma^2=\frac{(t_2-t)(t-t_1)}{t_2-t_1}\)

证明: 条件概率密度函数即为 $(B_{t_1},B_t,B_{t_2})$ 联合密度与 $(B_{t_1},B_{t_2})$ 联合密度的直接相除, 通过化简和配方即可得到期望与方差.

定义 正态过程

若随机过程 $X={X_t:t\in T}$ 对任意 $t_i\in T,~i=1,2,\cdots,n$, 有 \((X_{t_1},X_{t_2},\cdots,X_{t_n})\) 的联合分布为 $n$ 维正态分布, 则称 $X$ 为正态过程.

定理 布朗运动的充要条件

设 ${B_t:t\geqslant0}$ 为正态过程, 轨道连续, $B_0=0$, $\forall~s,t>0$, 有 \(EB_t=0,~E[B_sB_t]=s\wedge t\) 则 ${B_t:t\geqslant0}$ 为布朗运动, 反之亦然.

定理 由正态过程导出的布朗运动

设 ${B_t:t\geqslant0}$ 为布朗运动, 则

仍为布朗运动.

证明: 由正态过程, 轨道连续, 期望和协方差可知这些过程满足布朗运动的充要条件.

定理 布朗运动的鞅性

设 ${B_t:t\geqslant0}$ 为布朗运动, 则

关于布朗运动 ${B_t:t\geqslant0}$ 均为鞅.

证明: 利用增量独立性, 作如下变换 \(B_{t_{n+1}}=(B_{t_{n+1}}-B_{t_{n}})+B_{t_{n}}\) 之后 $(B_{t_{n+1}}-B_{t_{n}})$ 相关项保留期望符号并计算相应的期望值, $B_{t_{n}}$ 相关项直接提出到期望之外, 即得结论.

首先验证绝对值的期望有限, \(E|B_t^2-t|\leqslant E|B_t|^2+t= 2t < \infty\)

对于 \(\forall~0\leqslant t_1 < \cdots < t_n < t_{n+1}\) 有 \(\begin{aligned} &~E(B_{t_{n+1}}^2-t_{n+1}\big|B_{t_1},B_{t_2},\cdots,B_{t_n})\\ =&~E[(B_{t_{n+1}}-B_{t_n})^2-t_{n+1}+2B_{t_{n+1}}B_{t_n}-B_{t_n}^2\big|B_{t_1},B_{t_2},\cdots,B_{t_n}]\\ =&~(t_{n+1}-t_n)-t_{n+1}+2B_{t_n}E[B_{t_{n+1}}-B_{t_n}+B_{t_n}\big|B_{t_1},B_{t_2},\cdots,B_{t_n}]-B_{t_n}^2\\ =&~2B_{t_n}^2-B_{t_n}^2-t_n\\ =&~B_{t_n}^2-t_n\\ \end{aligned}\)

则 ${B_t^2-t:t\geqslant0}$ 关于布朗运动 ${B_t:t\geqslant0}$ 是鞅.

注意到, 令 ${X_t=B_t+\mu t:t\geqslant0}$ 是漂移系数为 $\mu$ 的布朗运动, 令 $\lambda=-2\mu$, 则 $V_t=\mathrm{e}^{-2\mu X_t}$ 是鞅, 故其在用鞅的停时定理求取漂移布朗运动停时大小概率时颇为有用.

首先验证绝对值的期望有限, \(\begin{aligned} &~E|\exp(\lambda B_t-\lambda^2t/2)|\\ =&~\exp(-\lambda^2t/2)E[\exp(\lambda B_t)]\\ =&~\exp(-\lambda^2t/2)\int_{-\infty}^\infty\mathrm{e}^{\lambda x}\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\exp\left(-\frac{x^2}{2t}\right)\mathrm{d}x\\ =&~\exp(-\lambda^2t/2)\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\exp\left(-\frac{(x-t\lambda)^2-t^2\lambda^2}{2t}\right)\mathrm{d}x\\ =&~\exp(-\lambda^2t/2)\exp(\lambda^2t/2)\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\exp\left(-\frac{(x-t\lambda)^2}{2t}\right)\mathrm{d}x\\ =&~1 < \infty\\ \end{aligned}\)

对于 \(\forall~0\leqslant t_0 < t_1 < \cdots < t_n < t_{n+1}\) 有 \(\begin{aligned} &~E(\exp(\lambda B_{t_{n+1}}-\lambda^2t_{n+1}/2)\big|B_{t_1},B_{t_2},\cdots,B_{t_n})\\ =&~E(\exp(\lambda(B_{t_{n+1}}-B_{t_n})+\lambda B_{t_n}-\lambda^2t_{n+1}/2)\big|B_{t_1},B_{t_2},\cdots,B_{t_n})\\ =&~\exp(\lambda B_{t_n}-\lambda^2t_{n+1}/2)E[\exp(\lambda(B_{t_{n+1}}-B_{t_n}))]\\ =&~\exp(\lambda B_{t_n}-\lambda^2t_{n+1}/2)E[\exp(\lambda B_{t_{n+1}-t_n})]\\ =&~\exp(\lambda B_{t_n}-\lambda^2t_{n+1}/2)\exp(\lambda^2({t_{n+1}-t_n})/2)\\ =&~\exp(\lambda B_{t_n}-\lambda^2t_{n}/2)\\ \end{aligned}\)

则 ${\exp(\lambda B_t-\lambda^2t/2):t\geqslant0}$ 关于布朗运动 ${B_t:t\geqslant0}$ 是鞅.

由以上结论可知, 布朗运动本身既是马尔可夫过程, 又是连续参数鞅. 这个结果很别致, 但并不奇怪. 因为已讨论的泊松过程, 马尔可夫链, 鞅, 布朗运动等随机过程, 不过是对一些随机过程某些方面的特殊性质进行了专门的、分类的讨论, 并不排斥这些性质可以交叉, 可以共存于一个随机过程中. 在介绍这些概念时只能串行讲述, 但实际上要能够并行应用, 融会贯通.

定理

对给定的 $t>0$, 有 \(P\left(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2^n}\left(B_{\frac{kt}{2^n}}-B_{\frac{(k-1)t}{2^n}}\right)^2=t\right)=1\)

引理

令 \(Y_n=\max_{1\leqslant k\leqslant2^n}\left|B_{\frac{kt}{2^n}}-B_{\frac{(k-1)t}{2^n}}\right|\)

则 \(P\left(\lim_{n\to\infty}Y_n=0\right)=1\)

定理 布朗运动非有限变差

定理 均方收敛

固定 $t>0$, 设 \(0=t_0 < t_1 < \cdots < t_n=t\) 记 \(\lambda=\max_{1\leqslant k\leqslant n}(t_k-t_{k-1})\) 则布朗运动差值平方和均方收敛到 $t$ \(\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^n(B_{t_k}-B_{t_{k-1}})^2\overset{\text{m.s.}}{=}t\)

即两端差值平方的期望极限为 $0$ \(\lim_{\lambda\to0}E\left[\sum_{k=1}^n(B_{t_k}-B_{t_{k-1}})^2-t\right]^2=0\)

证明: 记 $Y_k=B_{t_k}-B_{t_{k-1}}$, $1\leqslant k\leqslant n$, 则 $Y_k\sim N(0,t_k-t_{k-1})$.

由正态分布的性质可知 \(\begin{aligned} EY_k^2&=t_k-t_{k-1}\\ EY_k^4&=3(t_k-t_{k-1})^2\\ \end{aligned}\)

又 $Y_k^2$ 相互独立, 故当 $k\neq l$ 时, 有 \(\begin{aligned} E(Y_k^2Y_l^2) &=EY_k^2EY_l^2\\ &=(t_k-t_{k-1})(t_l-t_{l-1})\\ \end{aligned}\)

因此 \(\begin{aligned} &~E\left[\sum_{k=1}^n(B_{t_k}-B_{t_{k-1}})^2-t\right]^2\\ =&~E\left(\sum_{k=1}^nY_k^2-t\right)^2\\ =&~E\left(\sum_{k=1}^nY_k^2\right)^2-2tE\left(\sum_{k=1}^nY_k^2\right)+t^2\\ =&~\sum_{k=1}^nEY_k^4+2\sum_{k < l}E(Y_k^2Y_l^2)-2t\sum_{k=1}^nEY_k^2+t^2\\ =&~3\sum_{k=1}^n(t_k-t_{k-1})^2+2\sum_{k < l}(t_k-t_{k-1})(t_l-t_{l-1})-2t\sum_{k=1}^n(t_k-t_{k-1})+t^2\\ =&~2\sum_{k=1}^n(t_k-t_{k-1})^2+\left(\sum_{k=1}^n(t_k-t_{k-1})\right)^2-2t^2+t^2\\ =&~2\sum_{k=1}^n(t_k-t_{k-1})^2+t^2-t^2\\ =&~2\sum_{k=1}^n(t_k-t_{k-1})^2\\ \leqslant&~2\lambda\sum_{k=1}^n(t_k-t_{k-1})\\ =&~2\lambda t\to0~(\lambda\to0)\\ \end{aligned}\)

其中用到了求和平方的逆运算 \(\left(\sum_{k=1}^n(t_k-t_{k-1})\right)^2=\sum_{k=1}^n(t_k-t_{k-1})^2+2\sum_{k < l}(t_k-t_{k-1})(t_l-t_{l-1})\)

故 \(\lim_{\lambda\to0}E\left[\sum_{k=1}^n(B_{t_k}-B_{t_{k-1}})^2-t\right]^2=0\)

所以 \(\lim_{\lambda\to0}\sum_{k=1}^n(B_{t_k}-B_{t_{k-1}})^2\overset{\text{m.s.}}{=}t\)

定理

证明: 令 \(\begin{aligned} A_n&=\sum_{k=1}^nB_{t_{k-1}}(B_{t_k}-B_{t_{k-1}})\\ C_n&=\sum_{k=1}^nB_{t_{k}}(B_{t_k}-B_{t_{k-1}})\\ \end{aligned}\)

则 \(A_n+C_n=B_t^2,\quad C_n-A_n\overset{\text{m.s.}}{\to}t\)

故 \(A_n\overset{\text{m.s.}}{\to}\frac{B_t^2-t}{2},\quad C_n\overset{\text{m.s.}}{\to}\frac{B_t^2+t}{2}\)

由于我们只知道区间差平方的均方收敛情况, 故需先将原式化为区间差的平方的组合 \(\begin{aligned} &\sum_{k=1}^nB_{t_{k}+\theta(t_k-t_{k-1})}(B_{t_k}-B_{t_{k-1}})\\ =~&\frac{1}{2}\sum_{k=1}^n\Big[B_{t_k}^2-B_{t_{k-1}}^2+(B_{t_{k}+\theta(t_k-t_{k-1})}-B_{t_{k-1}})^2-(B_{t_k}-B_{t_{k}+\theta(t_k-t_{k-1})})^2\Big]\\ \overset{\text{m.s.}}{\to}~&\frac{1}{2}[B_t^2+\theta t-(1-\theta)t]\\ =~&\frac{B_t^2-t+2\theta t}{2}.\\ \end{aligned}\)

定理 布朗运动轨道不存在有限导数

设 ${B_t:t\geqslant0}$ 为标准布朗运动, 则对任意固定的 $t\geqslant0$ 和 $h>0$, 有 \(P\left(\limsup_{h\downarrow0}\frac{B_{t+h}-B_t}{h}=+\infty\right)=1\)

可知布朗运动对几乎所有轨道 $\omega$ 都没有有限的导数.

设 ${B_t:t\geqslant0}$ 为零初值标准布朗运动, 令 \(T_a=\inf_{t>0}\{t:B_t=a\}\) 则 $T_a$ 表示首次到达 $a$ 的时间.

对 $\forall~t>0$, \(M_t=\max_{0\leqslant u\leqslant t}B_u\geqslant0\) 表示 $[0,t]$ 上布朗运动达到的最大值.

当 $a>0$ 时, 有下列事件等价关系 \(\{T_a\leqslant t\}=\{M_t\geqslant a\}\)

即到达 $a$ 的时间若想要小于等于 $t$, 则布朗运动在 $[0,t]$ 上到达的最大值必须大于等于 $a$.

因此有 \(P(T_a\leqslant t)=P(M_t\geqslant a)\) 又由全概率公式有 \(P(B_t\geqslant a)=P(T_a\leqslant t)P(B_t\geqslant a|T_a\leqslant t)+P(T_a>t)P(B_t\geqslant a|T_a>t)\)

显然可知 \(P(B_t\geqslant a|T_a>t)=0\) 又由布朗运动的对称性可知, 在 $T_a\leqslant t$ 的条件下, 即 $B_{T_a}=a$ 时, ${B_t\geqslant a}$ 与 ${B_t < a}$ 是等可能的, 即 \(P(B_t\geqslant a|T_a\leqslant t)=P(B_t < a|T_a\leqslant t)=\frac{1}{2}\)

故 \(P(T_a\leqslant t)=2P(B_t\geqslant a)\)

于是 $a>0$ 时有 \(\begin{aligned} P(T_a\leqslant t) &=2P(B_t\geqslant a)\\ &=2\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_a^\infty\exp\left(-\frac{u^2}{2t}\right)\mathrm{d}u\\ &=2\left[1-\Phi\left(\frac{a}{\sqrt{t}}\right)\right]\\ \end{aligned}\)

因此也有 \(\begin{aligned} P(M_t\leqslant a) &=1-P(M_t>a)\\ &=1-2\left[1-\Phi\left(\frac{a}{\sqrt{t}}\right)\right]\\ &=2\Phi\left(\frac{a}{\sqrt{t}}\right)-1\\ \end{aligned}\)

则 $M_t$ 分布函数为 \(F(a)= \begin{cases} \displaystyle2\frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{-\infty}^a\exp\left(-\frac{u^2}{2t}\right)\mathrm{d}u-1,&\text{if}~a>0\\ 0,&\text{if}~a\leqslant0 \end{cases}\)

可知 $F(a)$ 连续, 且除 $a=0$ 外其导数存在且连续, 故 $M_t$ 为连续型随机变量, 其概率密度函数为 \(p(a)=\frac{2}{\sqrt{2\pi t}}\exp\left(-\frac{a^2}{2t}\right)\pmb{1}_{\{a>0\}}\)

当 $a < 0$ 时, 由布朗运动的对称性有 $P(T_{-a}\leqslant t)=P(T_a\leqslant t)$, 所以对一般的 $a\in\mathbb{R}$ 有 \(P(T_a\leqslant t)=2\left[1-\Phi\left(\frac{|a|}{\sqrt{t}}\right)\right]\)

令 $T=\inf{t:B_t\notin(-r,2r)},~r>0$, 即 \(T=\inf\{t:B_t=-r~\text{or}~B_t=2r\}\) 由于 $T$ 是停时, 故可用鞅 \(\{Z_t=B_t^2-t:t\geqslant0\}\) 的停时定理来求取 $ET$.

记 $\forall~a\in\mathbb{R}$, \(T_a=\inf\{t:B_t=a\}\) 由 $T_{2r}\subset T$ 有 \(1\geqslant P(T < \infty)\geqslant P(T_{2r} < \infty)=1\)

故 \(P(T < \infty)=1\) 所以 \(\sup_{t\geqslant0}|T\wedge t| < \infty\) 又 $|B_{T\wedge t}|\leqslant 2r$, 则 \(\begin{aligned} E\left(\sup_{t\geqslant0}|Z_{T\wedge t}|\right) &=E\left(\sup_{t\geqslant0}|B_{T\wedge t}^2-{T\wedge t}|\right)\\ &\leqslant 4r^2+\sup_{t\geqslant0}|T\wedge t| < \infty \end{aligned}\)

故由连续时间参数鞅停时定理有 \(EZ_{T}=EB_T^2-ET=EZ_0=0\)

所以 \(\begin{aligned} ET&=EB_T^2\\ &=(-r)^2P(T_{-r} < T_{2r})+(2r)^2P(T_{2r}\leqslant T_{-r})\\ &=r^2\cdot\frac{2}{3}+4r^2\cdot\frac{1}{3}\\ &=2r^2 \end{aligned}\)

其中, $P(T_{-a} < T_{b})$ 这种概率可由5.6节定理取 $\mu\to0$ 极限得到, 也可由鞅的停时定理求得.

令 \(T=\inf\{t:B_t=-a~\text{or}~B_t=b\}\) $a,b>0$, 易知 $T$ 关于 $B_t$ 是停时, \(P(T < \infty)=1\) 且 \(E\left(\sup_{t\geqslant0}|B_{T\wedge t}|\right)\leqslant \max\{a,b\} < \infty\)

则由连续时间参数鞅停时定理有 \(EB_{T}=EB_0=0\)

即 \(EB_T=(-a)P(T_{-a} < T_b)+b[1-P(T_{-a} < T_b)]\)

所以 \(P(T_{-a} < T_b)=\frac{b}{a+b}\)

设 \(Z_t= \begin{cases} B_t,&\text{if}~t < T_x\\ x&\text{if}~t\geqslant T_x\\ \end{cases}\)

其中 \(T_x=\min_{t>0}\{t:B_t=x\}\)

${Z_t:t\geqslant0}$ 表示一旦随机过程第一次到达 $x$ 后即被吸收停留在 $x$, 称为在 $x$ 点被吸收的布朗运动, 其为混合型随机变量.

其分布函数为 \(\begin{cases} P(Z_t\leqslant y)=1,&\text{if}~y>x\\ P(Z_t=y)=P(T_y\leqslant t),&\text{if}~y=x\\ P(Z_t\leqslant y)=P(B_t\leqslant y,M_t < x),&\text{if}~y < x\\ \end{cases}\)

其中 \(\begin{aligned} P(B_t\leqslant y,M_t < x) &=P(B_t\leqslant y)-P(M_t\geqslant x,B_t\leqslant y)\\ &=P(B_t\leqslant y)-P(B_t\geqslant x+x-y)\\ &=P(B_t\leqslant y)-P(B_t\leqslant y-2x)\\ &=P(y-2x\leqslant B_t\leqslant y) \end{aligned}\)

令 $Y_t=|B_t|$, 则称 ${Y_t:t\geqslant0}$ 为在原点反射的布朗运动. 当 $y < 0$ 时, \(P(Y_t\leqslant y)=0\)

当 $y\geqslant0$ 时, \(\begin{aligned} P(Y_t\leqslant y) &=P(|B_t|\leqslant y)\\ &=P(-y\leqslant B_t\leqslant y)\\ &=2P(B_t\leqslant y)-1\\ \end{aligned}\)

令 $W_t=\mathrm{e}^{B_t}$, 则称 ${W_t:t\geqslant0}$ 为几何布朗运动, 且由布朗运动矩母函数可直接得 \(EW_t=\mathrm{e}^{t/2},~EW_t=\mathrm{e}^{2t}-\mathrm{e}^{t}\)

令 $\displaystyle S_t=\int_0^tB_u\mathrm{d}u$, 则称 ${S_t:t\geqslant0}$ 为布朗运动的积分. \(\begin{aligned} ES_t&=0\\ ES_t^2&=\int_0^t (t-s)^2\mathrm{d}s=\frac{t^3}{3}\\ \end{aligned}\)

令 $D_t=\dfrac{\Delta B_t}{\Delta t}$, 则称 ${D_t:t\geqslant0}$ 为布朗运动的形式导数, 是正态过程, 且 \(D_t\sim N(0,1/\Delta t)\)

定义 带有漂移的布朗运动

设 ${B_t:t\geqslant0}$ 为标准布朗运动, 记 \(X_t=B_t+\mu t,~\mu\in\mathbb{R}\) 称 ${X_t:t\geqslant0}$ 为带有漂移系数 $\mu$ 的布朗运动.

定理 首达时大小关系

设 ${X_t=B_t+\mu t:t\geqslant0}$ 是漂移系数为 $\mu$ 的布朗运动, 对 $a,b>0$, $-b < x < a$, 令 \(\begin{aligned} T_a&=\min\{t:t>0,X_t=a\}\\ T_{-b}&=\min\{t:t>0,X_t=-b\}\\ \end{aligned}\) 有 \(\begin{aligned} f(x) &=P(T_a < T_{-b} < \infty|X_0=x)\\ &=\frac{\mathrm{e}^{2\mu b}-\mathrm{e}^{-2\mu x}}{\mathrm{e}^{2\mu b}-\mathrm{e}^{-2\mu a}}\\ \end{aligned}\)

特别地, 当 $\mu=0$ 时, 有 \(\begin{aligned} f(x) &=P(T_a < T_{-b} < \infty|X_0=x)\\ &=\frac{2\mu b+2\mu x}{2\mu b+2\mu a}\\ &=\frac{b+x}{b+a} \end{aligned}\)

当 $x=0,~\mu=0$ 时, 有 \(P(T_a < \infty|X_0=0)=\frac{b}{b+a}\)

上式与用连续鞅的停时定理求出的概率相同.

证明: 首先假设 $X_0=0$, 记 \(T_{ab}=\inf\{t\geqslant0:X_t=a~\text{or}~X_t=b\}\) 并且令 \(T\wedge n=\min\{T,n\},~T=T_{a(-b)}\)

因为 \(\{B_t=X_t-\mu t:t\geqslant0\}\) 是鞅, 又易知 $T\wedge n$, $n\geqslant1$ 关于 $B_t$ 是停时, 且 \(P(T\wedge n < \infty)=1\) 故由停时定理有 \(0=EB_0=EB_{T\wedge n}=EX_{T\wedge n}-\mu E(T\wedge n)\)

所以 \(E(T\wedge n)\leqslant\frac{1}{\mu}EX_{T\wedge n}\leqslant\frac{1}{\mu}(a+b) < \infty\)

即对 $\forall~n\geqslant1$ 有 \(E(T\wedge n)\leqslant\frac{1}{\mu}(a+b) < \infty\)

又 $\forall~n\geqslant1$, \(T\wedge n\leqslant T\wedge (n+1)\)

由单调收敛定理, 有 \(ET=\lim_{n\to\infty}E(T\wedge n)\leqslant\frac{1}{\mu}(a+b) < \infty\)

从而 \(P(T < \infty)=1\)

令 $V_t=\mathrm{e}^{-2\mu X_t}$, 前述定理已证明 $V_t$ 是鞅. 由连续鞅停时定理, 有 \(EV_T=EV_0=1\)

则 \(P(X_T=a)\cdot\mathrm{e}^{-2\mu a}+P(X_T=-b)\cdot\mathrm{e}^{-2\mu (-b)}=1\)

所以 \(P(X_T=a)=\frac{1-\mathrm{e}^{2\mu b}}{\mathrm{e}^{-2\mu a}-\mathrm{e}^{2\mu b}}\)

将上述结果向下平移 $x$, 即 $a=a-x$, $-b=-b-x$, 可得 \(\begin{aligned} P(T_a < T_{-b} < \infty|X_0=x) &=\frac{1-\mathrm{e}^{2\mu (b+x)}}{\mathrm{e}^{-2\mu (a-x)}-\mathrm{e}^{2\mu (b+x)}}\\ &=\frac{\mathrm{e}^{2\mu b}-\mathrm{e}^{-2\mu x}}{\mathrm{e}^{2\mu b}-\mathrm{e}^{-2\mu a}} \end{aligned}\)

推论

设 ${X_t=B_t+\mu t:t\geqslant0}$ 是漂移系数为 $\mu$ 的布朗运动, 若 $\mu < 0$, 则 \(\begin{aligned} P(T_a < \infty|X_0=x) &=\lim_{b\to\infty}\frac{\mathrm{e}^{2\mu b}-\mathrm{e}^{-2\mu x}}{\mathrm{e}^{2\mu b}-\mathrm{e}^{-2\mu a}}\\ &=\frac{0-\mathrm{e}^{-2\mu x}}{0-\mathrm{e}^{-2\mu a}}\\ &=\mathrm{e}^{2\mu (a-x)}\\ \end{aligned}\)

特别地, 当 $x=0$ 时, 有 \(P(T_a < \infty|X_0=0)=\mathrm{e}^{2\mu a}\)

当 $x=0,~\mu=0$ 时, 有 \(P(T_a < \infty|X_0=0)=1\)

上式再次验证了 $T_a$ 几乎处处有限的事实.