常用离散、连续分布及期望、方差总结

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常用离散、连续分布及期望、方差总结

2024-07-14 01:30| 来源: 网络整理| 查看: 265

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预备定义数学期望定义

E [ g ( x ) ] = { ∑ i g ( x i ) p ( x i ) , 离散场合 ∫ − ∞ ∞ g ( x ) p ( x ) d x , 连续场合 E[g(x)]=\begin{cases}\sum\limits_ig(x_i)p(x_i),&\text{离散场合} \\ \\ \int_{-\infty}^\infty{g(x)p(x)\mathrm{d}x},&\text{连续场合}\end{cases} E[g(x)]=⎩ ⎨ ⎧i∑g(xi)p(xi),∫−∞∞g(x)p(x)dx,离散场合连续场合

性质常数期望为其自身； E ( a X + b ) = a E ( X ) + b E(aX+b)=aE(X)+b E(aX+b)=aE(X)+b;多维随机变量亦满足线性性质；级数（积分）收敛，则期望存在；反之不存在，如Cauchy分布。方差定义

方差： D ( X ) = E [ X − E ( X ) ] 2 = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 D(X)=E[X-E(X)]^2=E(X^2)-[E(X)]^2 D(X)=E[X−E(X)]2=E(X2)−[E(X)]2,

标准差： D X \sqrt{DX} DX ,

标准化的随机变量： X − E X D X \frac{X-EX}{\sqrt{DX}} DX X−EX.

性质常数方差为零； D ( a X + b ) = a 2 D ( X ) D(aX+b)=a^2D(X) D(aX+b)=a2D(X)；极值性质：若 c ≠ E ( X ) c\neq E(X) c=E(X), 则 D ( X ) = E [ X − E ( X ) 2 ] = E ( X − c ) 2 − ( c − E X ) 2 < E ( X − c ) 2 ; D(X)=E[X-E(X)^2]=E(X-c)^2-(c-EX)^2

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