设随机变量X的可能取值为有限个或可列个，记 X 1 , X 2 , . . . X_1,X_2,... X1​,X2​,... 则称X为离散型随机变量或X具有离散型分布，并称 p k = P { ( X = x k ) } p_k=P\lbrace(X=x_k)\rbrace pk​=P{(X=xk​)}    \; (k=1,2…)为X的分布列或概率函数

单点分布：随机变量X满足P(X=c)=1，即X的分布函数F是一个 退 化 分 布 函 数 ‾ \underline{退化分布函数} 退化分布函数​,称X服从单点分布，记 X ∼ S c X\sim S_c X∼Sc​ 分布列 X c P 1 \begin{array}{c|lcr} X&\text{c}\\ \hline P&{1} \end{array} XP​c1​​

E ( a ξ + b ) = a E ξ + b E(a\xi+b)=aE\xi+b E(aξ+b)=aEξ+b E ξ = x 1 p 1 + . . . + x n p n + . . . E\xi=x_1p_1+...+x_np_n+... Eξ=x1​p1​+...+xn​pn​+...

分布列性质： 设 p k ( k ≥ 1 ) p_k(k\geq1) pk​(k≥1) 是随机变量X的分布列，性质： （1） 非负性 p k ≤ 0 , k = 1 , 2... p_k\leq0,k=1,2... pk​≤0,k=1,2... （2） 正则性 ∑ k = 1 ∞ p k = 1 \sum^{\infty}_{k=1}{p_k}=1 ∑k=1∞​pk​=1 若一数列满足非负性和正则性，其必为某随机变量的分布列

定理 设离散型随机变量X具有分布列 p k = P ( X = x k ) , k = 1 , 2... p_k=P(X=x_k),k=1,2... pk​=P(X=xk​),k=1,2... 则X的分布函数 F ( x ) = ∑ k : x k < x p k = ∑ k p k ⋅ 1 ( − ∞ , x ] ( x k ) F(x)=\sum_{k:x_k1, p k p_k pk​表示X取 x k x_k xk​ 的概率。

设随机变量X的概率密度函数为p(x),且p(x)为偶函数。对任意实数x,p(x)=p(-x),于是对任意a>0,其分布函数F有，F(-a)= 1 2 \frac{1}{2} 21​- ∫ 0 a p ( x ) d x \int^{a}_{0}p(x)dx ∫0a​p(x)dx,F(a)+F(-a)=1 特别地，F(0)= 1 2 \frac{1}{2} 21​, P(|x| ≤ a \leq a ≤a)=2F(a)-1, P(|x| ≥ a \geq a ≥a)=2(1-F(a))