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教学设计课程基本信息学科 高中数学 年级 高一年级 学期 春季课题 分层随机抽样教科书 书 名：《普通高中教科书 数学 必修 第二册 A版》教材 出版社：人民教育出版社教学目标1. 通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围。 2. 了解分层随机抽样的必要性，掌握分层随机抽样的样本均值估计总体平均数。 3. 理解简单随机抽样与分层随机抽样对总体平均数估计效果的影响，提升学生数据分析、逻辑分析素养。教学内容教学重点： 分层随机抽样的特点和适用范围。 教学难点： 用分层随机抽样的样本均值估计总体平均值。教学过程一、温故知新，提出问题 问题1：回看上节课的探究，我们发现，因为抽样的随机性，可能会出现“极端”样本。应该如何减少极端样本的出现，以提高样本的代表性呢？以此问题为例。 例 在树人中学高一年级的712名学生中，男生有326名，女生有386名。能否利用这个辅助信息改进简单随机抽样方法，减少“极端”样本的出现，从而提高对整个年级平均身高的估计效果呢？ 设计意图：通过再现上节课的探究，从问题出发，自然引出学习分层随机抽样的目的，再以具体例子为开端，引导学生自主成长。 二、改进方法，解决问题 问题2：对男生、女生分别进行简单随机抽样，样本量在男生、女生中应如何分配？ 设计意图：从经验出发，抓住性别这一关键要素，选择对男生、女生分别进行简单随机抽样，顺利将问题转化为简单随机抽样问题或分配问题，课前预设时，学生大约会出现均分、按权重分这两种思路，教师可以利用这个机会再次检验简单随机抽样相关知识的掌握情况。 三、确定方法，巩固要点 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样（stratified random sampling），每一个子总体称为层。在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配。 问题3：分层随机抽样的特点是什么？ 问题4：分层随机抽样的适用范围是什么？ 问题5：分层随机抽样的步骤是什么？ 设计意图：明确分层随机抽样的定义、特点、适用范围和步骤，结合集合相关知识作知识的再加工。 四、类比探究，学会应用 问题6：类比随机抽样，在分层随机抽样中，我们能用样本平均数去估计总体平均数吗？请同学们根据以下数据进行探究。 （续）例 我们按上述方法抽取了一个容量为50的样本，其观测数据（单位：cm）如下： 男生，23人，平均数为170.6 173.0 174.0 166.0 172.0 170.0 165.0 165.0 168.0 164.0 173.0 172.0 173.0 175.0 168.0 170.0 172.0 176.0 175.0 168.0 173.0 167.0 170.0 175.0 女生，27人，平均数为160.6 163.0 164.0 161.0 157.0 162.0 165.0 158.0 155.0 164.0 162.5 154.0 154.0 164.0 149.0 159.0 161.0 170.0 171.0 155.0 148.0 172.0 162.5 158.0 155.5 157.0 163.0 172.0 问题7：如何用数学语言严格论证以上结论？ 问题8：如果不按比例分配，怎么计算总体平均数？ 练习1 某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程． 解析：抽样过程如下： 第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为. 第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×＝2(人)；从教师中抽取112×＝14(人)；从后勤人员中抽取32×＝4(人)． 第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师人员14人，后勤人员4人． 第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本． 变式 下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是(　　) A．从10名同学中抽取3人参加座谈会 B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本 C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间 D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量 解析：B　[A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样．] 练习2 交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　) A．101 B．808 C．1212 D．2012 解析：因为甲社区有驾驶员96人，在甲社区中抽取驾驶员的人数为12，所以每个个体被抽到的概率为 ，样本容量为12+21+25+43=101，所以这四个社区驾驶员的总人数N为 ，故选B。 变式：将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体．若A，B，C三层的样本的平均数分别为15,30,20，则样本的平均数为________． 解析： 20 20.5　[由题意可知样本的平均数为] 设计意图：通过具体事例，在多种方法中体会用样本平均数估计总体平均数的思维过程，再将感性结论用数学语言理性化，进一步感受逻辑论证、数据分析的魅力。 五、蓦然回首，觅得本质 问题9：与考察简单随机抽样估计效果类似，也通过多次抽样考察分层随机抽样的估计效果。按照抽样方法，从高一年级的学生中抽取了10个样本量为50的样本，计算出样本平均数得到图表。 （引用自《人教A版普通高中数学必修Ⅱ》表9.1-2，图9.1-4） 小结：由于抽样结果的随机性，好的统计方法并不意味着每次都会有好的结果，比较两种方法需要多次试验。实际上，在个体之间差异较大的情形下，只要选取的分层变量合适，使得各层间差异明显、层内差异不大，分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样，操作方便且信息多。 设计意图：继续深挖同一个例子，评估不同抽样方法的利弊，巩固分层随机抽样的特点、适用范围和高效性要求。 六、总结回顾，拓展延伸 问题10：根据以下思维导图，总结本节课内容。 七、课后巩固，实践探究 根据本节课所学，完成书本上的探究活动，可参考《9.3 统计案例 公司员工的肥胖情况调查分析》 （引用自《人教A版普通高中数学必修Ⅱ》第184、218页内容） 设计意图：将数学建模、项目化学习引入教学中，培养学生综合素养，引导学生关心生活、研究生活。 八、板书设计，一目了然备注：教学设计应至少含教学目标、教学内容、教学过程等三个部分，如有其它内容，可自行补充增加。

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