设 $M$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶方阵, 则有如下的分解: $$M=\frac{1}{2}(M+M')+\frac{1}{2}(M-M'),$$ 其中 $A=\dfrac{1}{2}(M+M')$ 是 $n$ 阶对称阵 (称为 $M$ 的对称化), $S=\dfrac{1}{2}(M-M')$ 是 $n$ 阶反对称阵 (称为 $M$ 的反对称化). 进一步, 我们可以证明 (高代白皮书的例 3.48): $n$ 阶方阵全体构成的线性空间 $M_n(\mathbb{K})$ 是 $n$ 阶对称阵全体构成的子空间与 $n$ 阶反对称阵全体构成的子空间的直和. 因此, 对称阵和反对称阵的研究对于矩阵理论来说十分重要.

本文的主要目的是, 按照复旦高代教材的章节顺序将反对称阵的相关性质做一总结, 其中不仅包含反对称阵一些常见的性质和定理, 也包含一些有趣的习题和试题等, 供读者在准备各类考试时作一参考. 以下若无特殊说明, 总在数域 $\mathbb{K}$ 上考虑问题.

第一章  行列式

利用行列式的性质容易证明反对称阵的性质 1, 这也是行列式章节中的一道常见习题.

性质 1 (高代白皮书第一章的解答题 8)  奇数阶反对称阵的行列式等于零.

利用行列式的组合定义, 我们还可以证明偶数阶反对称阵的行列式是其 Pfaffian 的平方, 具体的证明过程请参考教学博文 [3].

性质 2  设 $A=(a_{ij})$ 为 $2n$ 阶反对称阵, 则 $|A|=\mathrm{Pf}(A)^2$, 其中 $$\mathrm{Pf}(A)=\sum_{(i_1,j_1,i_2,j_2,\cdots,i_n,j_n)\in A_{2n}}(-1)^{N(i_1,j_1,i_2,j_2,\cdots,i_n,j_n)}a_{i_1j_1}a_{i_2j_2}\cdots a_{i_nj_n},$$ $$A_{2n}=\{(i_1,j_1,i_2,j_2,\cdots,i_n,j_n)\in S_{2n}\mid i_10$ 当且仅当 $r(A+S)=n$, 由 (1) 可知这当且仅当 $r(A\mid S)=n$.  $\Box$

最后, 我们利用实反对称阵强调一下实内积空间与复内积空间之间的区别.

例 12 (高代白皮书的例 9.9)  证明: 在 $\mathbb{R}^n$ (取标准内积) 中存在一个非零线性变换 $\varphi$, 使得 $\varphi(\alpha)\perp\alpha$ 对任意的 $\alpha\in\mathbb{R}^n$ 成立, 但在 $\mathbb{C}^n$ (取标准内积) 中这样的非零线性变换不存在.

证明  任取一个 $n$ 阶非零实反对称阵 $A$, 定义 $\varphi(x)=Ax$, 则对任意的 $\alpha\in\mathbb{R}^n$, 由反对称阵的性质 4 可得 $(\alpha,\varphi(\alpha))=\alpha'A\alpha=0$. 对 $\mathbb{C}^n$ 的情形, 我们可以利用复数域上的 Jordan 标准型理论或直接利用标准单位列向量的性质 (注意需要虚数单位的帮助) 推出矛盾, 具体的细节请参考高代白皮书的例 9.9.  $\Box$

参考文献

[1]  高代教材: 姚慕生, 吴泉水, 谢启鸿 编著, 高等代数学 (第三版), 复旦大学出版社, 2014.

[2]  高代白皮书: 姚慕生, 谢启鸿 编著, 学习方法指导书: 高等代数 (第三版), 复旦大学出版社, 2015.

[3]  谢启鸿, 行列式的组合定义及其应用--反对称阵的Pfaffian, https://www.cnblogs.com/torsor/p/3554028.html

[4]  谢启鸿, 复旦大学2016--2017学年第一学期（16级）高等代数I期末考试第六大题解答, https://www.cnblogs.com/torsor/p/6268962.html

[5]  谢启鸿, 复旦大学数学学院19级高等代数I期中考试第七大题的三种证法及其推广, https://www.cnblogs.com/torsor/p/12272213.html

[6]  谢启鸿, 实对称阵可对角化的几种证明及其推广, https://www.cnblogs.com/torsor/p/6785447.html

[7]  谢启鸿, 复旦大学2016--2017学年第二学期（16级）高等代数II期末考试第六大题解答, https://www.cnblogs.com/torsor/p/7123731.html