专题十  反比例函数中k的几何意义及应用

研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N（如图1所示），则矩形PMON的面积S=PM・PN=|y|・|x|=|xy|=|k|。

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。从而有。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。现举例说明。

应用一：比较面积大小

例1、如图2，在函数（x>0）的图象上有三点A、B、C。过这三点分别向x轴、y轴作垂线。过每一点所作的两条垂线与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为，则（    ）。

A、        B、

C、        D、

解：根据反比例函数中k的几何意义可知。所以。故选D。

应用二：求面积

例2、若函数与函数的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为（    ）。

A、1      B、2       C、k       D、

分析：如图3，若先求出A、C两点的坐标，再求△ABC的面积，则解题过程复杂烦琐。若能利用反比例函数中k的几何意义来解，则快刀斩乱麻。

解：由反比例函数图象关于原点成中心对称知O为AC中点。根据反比例函数中k的几何意义，有：。

又△ABO与△BOC是等底等高的三角形，

∴。故选A。

应用三：确定解析式

例3、如图4，反比例函数与一次函数的图象相交于A点，过A点作AB⊥x轴于点B。已知，直线与x轴相交于点C。求反比例函数与一次函数的解析式。

解：由反比例函数中k的几何意义知，故。又反比例函数图象的一支在第二象限，所以。从而可知，两个函数的解析式分别为和。