设二元函数 f ( P ) = f ( x , y ) f(P) = f(x,y) f(P)=f(x,y)的定义域为D, P 0 ( x 0 , y 0 ) P_0(x_0,y_0) P0​(x0​,y0​)为D的聚点，且 P 0 ∈ D P_0 \in D P0​∈D,若

l i m ( x , y ) → ( x 0 , y 0 ) f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 ) \displaystyle lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y) = f(x_0,y_0) lim(x,y)→(x0​,y0​)​f(x,y)=f(x0​,y0​)

则称函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 P 0 P_0 P0​连续

聚点：如果给定任意的 δ > 0 \delta > 0 δ>0，点P的去心领域 U ( P , δ ) U(P,\delta) U(P,δ)内总有E的点，那么称P是E的聚点

设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)的某一领域内有定义，当 y y y固定在 y 0 y_0 y0​，而x在 x 0 x_0 x0​处有增量 Δ x \Delta x Δx时，相应的函数有增量

f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) \displaystyle f(x_0+\Delta x,y_0) - f(x_0,y_0) f(x0​+Δx,y0​)−f(x0​,y0​)

如果

l i m Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x \displaystyle lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x,y_0) - f(x_0,y_0)}{\Delta x} limΔx→0​Δxf(x0​+Δx,y0​)−f(x0​,y0​)​

存在，那么称此极限为函数 z = f ( x , y ) z = f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)处对 x x x的偏导数，记作

∂ z ∂ x ∣ x = x 0 , y = y 0 \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}|_{x=x_0,y=y_0} ∂x∂z​∣x=x0​,y=y0​​ , ∂ f ∂ x ∣ x = x 0 , y = y 0 \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}|_{x=x_0,y=y_0} ∂x∂f​∣x=x0​,y=y0​​, Z x ∂ x ∣ x = x 0 , y = y 0 \displaystyle \frac{Z_x}{\partial x}|_{x=x_0,y=y_0} ∂xZx​​∣x=x0​,y=y0​​ 或 f x ( x 0 , y 0 ) f_x(x_0,y_0) fx​(x0​,y0​)

设函数 z = f ( x , y ) z = f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)的某领域内有定义，如果函数在 ( x , y ) (x,y) (x,y)的全增量

Δ z = f ( x + Δ x , y + Δ y ) − f ( x , y ) \Delta z = f(x+\Delta x, y+\Delta y) - f(x,y) Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)

可表示为

Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) \Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho) Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)

其中A和B不依赖于 Δ x \Delta x Δx 和 Δ y \Delta y Δy而仅与x和y有关， ρ = ( Δ x ) 2 + Δ y ) 2 \rho = \sqrt{(\Delta x)^2 +\Delta y)^2} ρ=(Δx)2+Δy)2 ​，那么称函数 z = f ( x , y ) z = f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)可微分，而 A Δ x + B Δ y A\Delta x + B\Delta y AΔx+BΔy称为函数 z = f ( x , y ) z = f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)的全微分，记作 d z dz dz，即

d z = A Δ x + B Δ y dz = A\Delta x + B\Delta y dz=AΔx+BΔy

可导不一定连续

对于不成立的推导，我们只需举出一个反例即可

f ( x , y ) = { x y x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) 0 ( x , y ) = ( 0 , 0 ) \displaystyle f(x,y)=\begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2} & (x,y) ≠ (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases} f(x,y)={x2+y2xy​0​(x,y)=(0,0)(x,y)=(0,0)​

由于

f x ′ ( 0 , 0 ) = l i m Δ x → 0 f ( Δ x , 0 ) − f ( 0 , 0 ) Δ x = l i m Δ x → 0 0 − 0 Δ x = 0 \displaystyle f'_x(0,0) = lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x,0) - f(0,0)}{\Delta x} = lim_{\Delta x\to 0}\frac{0-0}{\Delta x} = 0 fx′​(0,0)=limΔx→0​Δxf(Δx,0)−f(0,0)​=limΔx→0​Δx0−0​=0

同理 f y ′ ( 0 , 0 ) = 0 \displaystyle f'_y(0,0) = 0 fy′​(0,0)=0, 故 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点可导, 设点P为聚点，当点P沿着平行于 y = k x y = kx y=kx的方向趋于与 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)时，

l i m x → 0 , y → k x = l i m x → 0 k x 2 x 2 + k 2 x 2 = k 1 + k 2 \displaystyle lim_{ x \to 0, y \to kx} = lim_{ x \to 0}\frac{kx^2}{x^2 + k^2x^2} = \frac{k}{1+k^2} limx→0,y→kx​=limx→0​x2+k2x2kx2​=1+k2k​

该极限不存在，则 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点不连续

连续不一定可导

对于不成立的推导，我们只需举出一个反例即可

f ( x , y ) = ∣ x ∣ + ∣ y ∣ \displaystyle f(x,y) = |x| + |y| f(x,y)=∣x∣+∣y∣

由 l i m x → 0 , y → 0 f ( x , y ) = l i m x → 0 , y → 0 ( ∣ x ∣ + ∣ y ∣ ) = 0 = f ( 0 , 0 ) lim_{x\to0,y\to0}f(x,y) = lim_{x\to0,y\to0}(|x|+|y|) = 0 = f(0,0) limx→0,y→0​f(x,y)=limx→0,y→0​(∣x∣+∣y∣)=0=f(0,0),知 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点连续

而 f ( x , 0 ) = ∣ x ∣ f(x,0) = |x| f(x,0)=∣x∣在 x = 0 x = 0 x=0处不可导，则 f x ′ ( 0 , 0 ) f_x'(0,0) fx′​(0,0)不存在，由对称性知 f y ′ ( 0 , 0 ) f_y'(0,0) fy′​(0,0)也不存在，故函数不可导

可微一定偏导

设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)可微分，于是对于点P的某个领域内的任意一点 P ′ ( x + Δ x , y + Δ y ) P'(x+\Delta x,y+\Delta y) P′(x+Δx,y+Δy)式

Δ z = A Δ x + B Δ y + o ( ρ ) \Delta z = A\Delta x + B\Delta y + o(\rho) Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)

总成立。特别的,当 Δ y = 0 \Delta y = 0 Δy=0时， p = ∣ Δ x ∣ p=|\Delta x| p=∣Δx∣，所以上式成为

f ( x + Δ x , y ) − f ( x , y ) = A Δ x + o ( ∣ Δ x ∣ ) f(x+\Delta x, y) - f(x,y) = A\Delta x + o(|\Delta x|) f(x+Δx,y)−f(x,y)=AΔx+o(∣Δx∣)

上式两边各除 Δ x \Delta x Δx，再令 Δ → 0 \Delta \to 0 Δ→0而取极限，就得

l i m Δ x → 0 f ( x + Δ x , y ) − f ( x , y ) Δ x = A \displaystyle lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x, y) - f(x,y)}{\Delta x} = A limΔx→0​Δxf(x+Δx,y)−f(x,y)​=A

从而偏导数 ∂ f ∂ x \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} ∂x∂f​存在，且等于A，同理可证 ∂ z ∂ x = B \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = B ∂x∂z​=B，证毕

偏导不一定可微

对于不成立的推导，我们只需举出一个反例即可

f ( x , y ) = { x y x 2 + y 2 ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) 0 ( x , y ) = ( 0 , 0 ) \displaystyle f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} & (x,y) ≠ (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases} f(x,y)=⎩ ⎨ ⎧​x2+y2 ​xy​0​(x,y)=(0,0)(x,y)=(0,0)​

由于

f x ′ ( 0 , 0 ) = l i m Δ x → 0 f ( Δ x , 0 ) − f ( 0 , 0 ) Δ x = l i m Δ x → 0 0 − 0 Δ x = 0 \displaystyle f'_x(0,0) = lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(\Delta x,0) - f(0,0)}{\Delta x} = lim_{\Delta x\to 0}\frac{0-0}{\Delta x} = 0 fx′​(0,0)=limΔx→0​Δxf(Δx,0)−f(0,0)​=limΔx→0​Δx0−0​=0

同理 f y ′ ( 0 , 0 ) = 0 \displaystyle f'_y(0,0) = 0 fy′​(0,0)=0, 故 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点可导，但

l i m Δ x → 0 , Δ y → 0 [ f ( Δ x , Δ y ) − f ( 0 , 0 ) ] − [ f x ′ ( 0 , 0 ) Δ x + f y ′ ( 0 , 0 ) Δ y ] ρ = l i m Δ x → 0 , Δ y → 0 Δ x Δ y ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \displaystyle lim_{\Delta x \to 0,\Delta y \to 0}\frac{[f(\Delta x,\Delta y) - f(0,0)] - [f_x'(0,0)\Delta x + f_y'(0,0)\Delta y]}{\rho} = lim_{\Delta x \to 0,\Delta y \to 0}\frac{\Delta x \Delta y}{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2} limΔx→0,Δy→0​ρ[f(Δx,Δy)−f(0,0)]−[fx′​(0,0)Δx+fy′​(0,0)Δy]​=limΔx→0,Δy→0​(Δx)2+(Δy)2ΔxΔy​

设 g ( x , y ) = x y x 2 + y 2 \displaystyle g(x,y) = \frac{xy}{x^2+y^2} g(x,y)=x2+y2xy​, 设点P为聚点，当点P沿着平行于 y = k x y = kx y=kx的方向趋于与 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)时，

l i m x → 0 , y → k x = l i m x → 0 k x 2 x 2 + k 2 x 2 = k 1 + k 2 \displaystyle lim_{ x \to 0, y \to kx} = lim_{ x \to 0}\frac{kx^2}{x^2 + k^2x^2} = \frac{k}{1+k^2} limx→0,y→kx​=limx→0​x2+k2x2kx2​=1+k2k​,该极限不存在，则 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点不可微

可微一定连续

若 z = f ( x , y ) z = f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)可微分，那么由微分的定义有

l i m ρ → 0 Δ z = 0 lim_{\rho \to 0}\Delta z = 0 limρ→0​Δz=0

从而

l i m Δ x → 0 , Δ y → 0 = f ( x + Δ x , y + Δ y ) = l i m ρ → 0 [ f ( x , y ) + Δ z ] = f ( x , y ) lim_{\Delta x \to 0,\Delta y \to 0}= f(x+\Delta x, y+\Delta y) = lim_{\rho \to 0}[f(x,y) + \Delta z] = f(x,y) limΔx→0,Δy→0​=f(x+Δx,y+Δy)=limρ→0​[f(x,y)+Δz]=f(x,y)

因此 z = f ( x , y ) z = f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处连续

连续不一定可微

同上举反例即可

f ( x , y ) = ∣ x ∣ + ∣ y ∣ \displaystyle f(x,y) = |x| + |y| f(x,y)=∣x∣+∣y∣

由3.1.2知 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点连续且函数不可导，而因为偏导存在是全微分的必要条件, 因此也不可微

与一元函数连续可导可微对比记忆即可(一元函数关系可参考笔者上一篇文章), 两者的区别在于

其余部分都相同,那么为什么二元函数偏导推不出连续和可微呢? 下面从几何角度证明

函数可导,即偏导数 f x ( x 0 , y 0 ) f_x(x_0,y_0) fx​(x0​,y0​), f y ( x 0 , y 0 ) f_y(x_0,y_0) fy​(x0​,y0​)存在

而 f x ( x 0 , y 0 ) f_x(x_0,y_0) fx​(x0​,y0​)本质上是 f ( x , y 0 ) f(x,y_0) f(x,y0​)函数的导数,把 y y y用 y 0 y_0 y0​代进去,现在只有 x x x在变化,而 x x x在变化的时候,只能在 y = y 0 y=y_0 y=y0​的线上变化, 如下图 f x ( x , y 0 ) f_x(x,y_0) fx​(x,y0​)

这说明这点偏导数只跟这个二元函数沿 y = y 0 y=y_0 y=y0​这条线上函数值有关

同理,代入 x 0 x_0 x0​,这点的另一个偏导数只跟二元函数沿 x = x 0 x=x_0 x=x0​这条线上函数值有关, 如下图 f y ( x 0 , y ) f_y(x_0,y) fy​(x0​,y)

以上说明两个偏导数只跟过 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)点平行于两个坐标轴的十字线有关.

但连续是要求动点以任意方式趋向 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)的极限等于 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0​,y0​)点函数值 f ( x 0 , y 0 ) f(x_0,y_0) f(x0​,y0​).

故十字线上的函数值决定不了函数的重极限

同理,决定不了全微分