节选自 汪林《实分析中的反例》

在[0,1]上定义函数g(x)=x2sin1x,x≠0，补充定义g(0)=0, 则函数g(x)为连续函数，图形如下。

导函数可求得

g′(x)=2xsin1x−cos1x,x≠0

并且g′(0)=0, 所以g′(x)在x=0处并不连续。导函数存在但并非R上连续函数。

设{rn}为闭区间[0,1]之间所有的有理数，则函数f(x)=∑n=0∞12ng(x−rn)在[0,1]一致收敛f′(x)=∑n=0∞12ng′(x−rn)。在[0,1]上的有理数点rn上不连续，在[0,1]上的无理数点连续。