①： ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a) ∫ab​f(x)dx=F(b)−F(a) ②： ∫ x 0 x f ′ ( t ) d t = f ( x ) − f ( x 0 ) \int_{x_0}^{x}f'(t)dt=f(x)-f(x_0) ∫x0​x​f′(t)dt=f(x)−f(x0​) ③： ∫ − a a f ( x ) d x = { 2 ∫ 0 a f ( x ) d x , f ( x ) = f ( − x ) , 0 , f ( x ) = − f ( − x ) . \int_{-a}^{a}f(x)dx=\left\{\begin{matrix}2\int_{0}^{a}f(x)dx, f(x)=f(-x), \\ 0, f(x)=-f(-x).\end{matrix}\right. ∫−aa​f(x)dx={2∫0a​f(x)dx,f(x)=f(−x),0,f(x)=−f(−x).​

①：看出正负，如 ∣ x ∣ ≥ 0 |x|\ge0 ∣x∣≥0 ；当 x ∈ [ π , 2 π ] x\in[\pi,2\pi] x∈[π,2π] 时， sin ⁡ x ≤ 0 \sin x\le0 sinx≤0 等； ②：作差， I 1 − I 2 I_1-I_2 I1​−I2​ ，再换元，常用 x = π ± t x=\pi\pm t x=π±t ， x = π 2 ± t x=\frac{\pi}{2}\pm t x=2π​±t 。

将 n + i ( a n + b i , a b ≠ 0 ) n+i(an+bi,ab\ne0) n+i(an+bi,ab​=0) ， n 2 + i 2 n^2+i^2 n2+i2 ， n 2 + n i n^2+ni n2+ni 等式子凑为 i n \frac{i}{n} ni​ 即可。

通常使用夹逼准则处理，或者放缩后再凑为基本形。

在通项中含 x n i \frac{x}{n}i nx​i ，考虑使用以下式子： lim ⁡ n → ∞ ∑ i = 1 n f ( 0 + x − 0 n i ) x − 0 n = ∫ 0 x f ( t ) d t . \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f\left(0+\frac{x-0}{n}i\right)\frac{x-0}{n}=\int_{0}^{x}f(t)dt. n→∞lim​i=1∑n​f(0+nx−0​i)nx−0​=∫0x​f(t)dt.

①： ∫ a + ∞ f ( x ) d x \int_{a}^{+\infty}f(x)dx ∫a+∞​f(x)dx 叫无穷区间上的反常积分； ②： ∫ a b f ( x ) d x \int_{a}^{b}f(x)dx ∫ab​f(x)dx ，其中 lim ⁡ x → a + f ( x ) = ∞ \lim_{x\to a^+}f(x)=\infty limx→a+​f(x)=∞ ， a a a 叫瑕点，此积分叫无界函数的反常积分。

①：要求每个积分有且仅有一个奇点； ②：尺度： { ∫ 0 1 1 x p d x { 0 < p < 1 时 收 敛 p ≥ 1 时 发 散 ∫ 1 + ∞ 1 x p d x { p > 1 时 收 敛 p ≤ 1 时 发 散 \left\{\begin{matrix} \int_{0}^{1}\frac{1}{x^p}dx\left\{\begin{matrix} 0p>1时收敛p≤1时发散​​