疑义相析21：一道加速度关联问题的深度辨析以及系统动能极值的快速判断方法

编者按：物理有趣，好玩有理！

我终于整理好思路，要开始写这个问题了，

我真的是花了整整一天时间才搞明白这个问题，中间各种“犯错”，而且在“错误做法”中求得了“正确答案”，

所以说，有时候的“正确”并不是真的“正确”，

必须要非常正式的感谢同行“升哥物理”的指点，真的是“独学而无友，则孤陋而寡闻”！

我们开始！

题目是这样的，

例：如图所示，竖直固定的光滑细杆上穿着一个小球B，小球通过一根不可伸长的轻绳绕过轻质光滑定滑轮与质量为 m 的物块A相连，用手将物块A竖直向上托起至定滑轮左侧细绳与竖直方向的夹角为 θ ，现突然松手，物块A开始在竖直方向上做往复运动，小球最高能到达M点。已知定滑轮到细杆的距离为 d ，Q点和定滑轮的高度相同， OM\bot OP ， \sinθ=0.6 ，重力加速度大小为 g ，定滑轮可看作质点，下列说法正确的是（ ）

A．小球经过Q点时的加速度为 g

B．小球的质量为 \frac{m}{5}

C．绳中的最小张力为 \frac{3mg}{7}

D．该系统的最大总动能为 \frac{7-2\sqrt6}{5}mgd

解：我们先把参考答案给出来，指出其中的疑惑之处，然后深入分析，最后给出不同于参考答案的更加“物理”的方法。

参考答案：

分析A选项，小球经过Q点时水平方向平衡，在竖直方向仅受到重力作用，所以加速度大小为 g ，A选项正确。

分析B选项，小球从P点运动到M过程中，根据机械能守恒，

m_Bg(\frac{d}{\tanθ}+d\tanθ)=m_Ag(\frac{d}{\sinθ}-\frac{d}{\cosθ}) ，

解得， m_B=\frac{1}{5}m_A=\frac{1}{5}m ，

B选项正确。

A选项和B选项的分析难度并不大，后面两个选项相对较难，且存在疑惑。

分析C选项，设小球B在最高点的加速度大小为 a_B，物块A对应的加速度大小为 a_A ，则满足，

a_A=a_B\sinθ (1)

设此时绳子拉力为 T ，则，

对小球B分析， T\sinθ+m_Bg=m_Ba_B (2)

对物块A分析， m_Ag-T=m_Aa_A (3)

联立(1)(2)(3)，求解得到，

T=\frac{1}{7}mg ，

所以C选项错误。

这里至少有两处疑惑，

第一，加速度关联关系其实是借鉴了速度的关联关系的（沿绳子方向相等），那么这种加速度的关联关系对吗？

这里提前说明一下，加速度关联关系不能直接“照搬”速度关联关系的，但是在这里又是可以的，

因为小球B刚好在M点时速度为零，通过后面的分析，小伙伴们应该可以理解，当速度为零时，加速度关联关系就和速度关联关系一样了，小伙伴们不要着急，后面有分析。

第二，为什么在最高点时绳子的拉力最小，而不是在最低点呢，这里我也说不明白，但可以有比较模糊的认识，在最高点或者最低点时，拉力可能为极值，

但不管怎么样，我们算出了最高点拉力为 T=\frac{1}{7}mg ，已经比C选项所给的拉力 \frac{3}{7}mg 要小了，所以排除C选项没有任何问题，

小伙伴们也可以用同样的方法算一下最低点的拉力大小哟。

分析D选项，设轻绳与竖直方向的夹角为 α 时，系统的总动能为 E_k ，

根据机械能守恒，得到，

E_k=m_Ag(\frac{d}{\sinθ}-\frac{d}{\sinα})-m_Bg(\frac{d}{\tanθ}-\frac{d}{\tanα}) ，

化解得到，

E_k=mgd(\frac{7}{5}+\frac{1}{5}\cdot \frac{\cosα-5}{\sinα}) ，

下面，我们只要求解， \frac{\cosα-5}{\sinα} 的最大值即可，

可以求导，也可以用别的方法，参考答案提供的方法为，

将 \frac{\cosα-5}{\sinα} 看做动点 (\sinα,\cosα) 与定点 (0,5) 的斜率 k ，

这里需要做个单位圆，然后过定点做圆的切线，如下图，

其最大值为， k=-2\sqrt6 ，此时， \cosα=\frac{1}{5} ，

从而得到，E_{kmax}=\frac{7-2\sqrt6}{5}mgd ，

所以，D选项正确。

上述求解三角函数极值的方法，我在文章“袁野：高中数学物理方法18.1：三角函数求极值”中也有过类似的介绍，小伙伴们喜欢的话，也可以看一看！

但上述做法让我有一点疑惑，

上面的做法数学技巧太强了，有没有更加“物理”的方法，能不能直接先找到系统动能最大的这个特殊位置呢？

这里我们也可以借鉴加速度关联的做法，然后快速找到最大动能的位置，

如下图，

我们根据加速度关联关系得到，

a_B\cosα=a_A ，

然后，我们根据一个很经典的结论，就是“加速度为零时，速度最大”，

得到动能最大处为， a_B=a_A=0 ，

然后对物块A分析， T=m_Ag (4)

对小球B分析， T\cosα=m_Bg (5)

联立(4)(5)，很容易得到最大动能位置为， \cosα=\frac{m_B}{m_A}=\frac{1}{5} ，

然后再根据机械能守恒得到动能大小，答案同上，

但是，这可能只是一种巧合吧！

因为我们前面也已经说过，并且后面还会分析，加速度关联关系在这个位置是不能“照搬”速度关联关系的。

不管怎么样，本题答案ABD。

然后，我们深入分析一下整个运动过程，

我们还是假设任意位置，此时轻绳与竖直方向的夹角为 α ，

为了后面计算需要，这里取特殊值为， m_A=5kg ， m_B=1kg ， d=6m ，

画一下受力分析示意图，如下，

先受力分析，

对物块A， m_Ag-T=m_Aa_A ，

代入数据，50-T=5a_A (6)

对物块B， T\cosα-m_Bg=m_Ba_B ，

代入数据，T\cosα-10=a_B (7)

然后容易得到速度关联关系，

v_B\cosα=v_A (8)

再分析加速度关联关系，

只要将速度关联关系式(8)两边同时对时间求导数，得到，

\frac{dv_B}{dt}\cosα+v_B(-\sinα)\frac{dα}{dt}=\frac{dv_A}{dt} ，

其中， \frac{dv_B}{dt}=a_B ，\frac{dv_A}{dt}=a_A ，

重点要分析 \frac{dα}{dt} ，这是角度随时间的变化，其实就是角速度，

所以我们得到， \frac{dα}{dt}=\omega=\frac{v_B\sinα}{r}=\frac{v_B\sinα}{\frac{d}{\sinα}} ，

从而得到，加速度关联关系式为，

a_B\cosα-\frac{v_B^2\sin^3α}{d}=a_A ，

代入数据得到，

a_B\cosα-\frac{v_B^2\sin^3α}{6}=a_A (9)

在这里，我们应该可以明白了，就是当速度 v_B=0 时，加速度关联关系就可以“照搬”速度关联关系了，这只是在特殊位置时成立而已！

最后写从初始位置( θ )到该位置( α )的机械能守恒，

m_Ag(\frac{d}{\sinθ}-\frac{d}{\sinα})-m_Bg(\frac{d}{\tanθ}-\frac{d}{\tanα})=\frac{1}{2}m_Av_A^2+\frac{1}{2}m_Bv_B^2 ，

代入数据得到，

420-\frac{300}{\sinα}+\frac{60}{\tanα}=\frac{5}{2}v_A^2+\frac{1}{2}v_B^2 (10)

联立上述(6)(7)(8)(9)(10)五个式子，

解出 a_A 、a_B 、v_A 、v_B 和 T 随角度 α 的表达式，

这里还是很复杂的，

我算了好久，但是呀！

啊啊啊啊啊啊啊啊啊！即使我算完了，我也没能从表达式中直接看出各种极值关系，

但既然算都已经算过一遍了，我们就索性画一些曲线关系，看看其中的物理变化规律，

如下图，为物块A速度 v_A 和加速度 a_A 随角度 α 的变化情况，（α 从 37°\rightarrow127° ）

如下图，为小球B速度 v_B 和加速度 a_B 随角度 α 的变化情况，（α 从 37°\rightarrow127° ）

从图像中可以得到，

确实满足那条经典的结论，“对于单个物体，加速度为零时，速度取得极大值或者极小值”，

其实这样说不是很严谨，单纯从数学上来分析的话，还可能存在加速度为零，但左右两侧并不变号的情况，这样就不是速度“极值”了，当然这种情况一般比较少见。

更多时候，我们只是根据情境稍作分析后就直接运用这个结论了，比如我们要求解某个物体的最大速度，我们直接就分析得到其加速度为零了，而不用反过来再去想，加速度为零时到底是速度极大值还是极小值。

这就是具体情境问题了！

顺便，我们把绳子拉力 T 随角度 α 变化的情况也画一下，（α 从 37°\rightarrow127° ）

确实也发现了在最高点处拉力为最小值，在最低点处拉力也比较小，但是最高点时更小！

我们继续，

注意，上面也说了，对于单个物体，我们可以根据加速度为零来判断速度极值，那么对于多个物体组成的系统呢？

也就是比如本题中的D选项，如何判断系统整体动能的极值呢？

这个时候，我们可以通过类比“加速度为零时，速度取得极大值或者极小值”这个结论，

我想到了做功和能量的方法，

至于怎么想到的呢，只能说是突然想到的，毕竟这个问题我想了一天，

我们可以这么想，

做功决定了动能的变化，做正功，动能增加，做负功，动能减少，

在一个连续做功的过程中，如果先正功后负功，那么动能先增大后减小，如果先负功后正功，那么动能先减小后增大，那么显然，在正负功转化的瞬间，也就是瞬间做功为零时，动能取得极大值或者极小值，

现在我们需要思考一下，用一个什么物理量来描述瞬间做功为零的状态呢，

不知道小伙伴们想到了没有，那就是瞬时功率！

瞬时功率的定义就是极短时间内的做功与时间的比值，也就是可以描述一瞬间的做功情况，

P=\lim_{\Delta t\rightarrow0}\frac{\Delta W}{\Delta t} 。

其实我们可以反过来想，会更好理解一些，比如功率为零就是正功率向负功率转化的瞬间（或者负功率向正功率转化的瞬间），也就是说，该瞬间前后做功正负性相反。

总结一下，就是，“对于多个物体组成的系统，功率为零时，系统整体动能取得极大值或者极小值”。

好了，有了这种方法，我们再来看D选项，

如图，假设在轻绳与竖直方向的夹角为 α 时，系统动能最大，

在整个过程中，对系统而言只有重力做功，所以只要此时重力的功率为零即可，

即， m_Agv_A-m_Bgv_B=0 ，

因为一个重力为正功率，另一个重力为负功率，所以也可以直接写成，

m_Agv_A=m_Bgv_B ，

再结合速度关系， v_B\cosα=v_A ，

计算得到， \cos α=\frac{1}{5} ，

这样就找到了系统动能最大的位置，然后再根据机械能守恒计算动能大小即可。

而这里刚刚好，和上面用错误的加速度关联的方法得到了一样的结果，但本质是不一样的！错误的加速度关联的方法只是巧合而已哈！

我们顺便再看一下整个过程中，系统整体动能大小和重力功率随角度的变化情况，（α 从 37°\rightarrow127° ），如下图，

通过曲线，很直观看到，重力功率为正功率时，系统动能增加，重力功率为负功率时，系统动能减小，重力功率为零的瞬间，系统动能取得最大值。

注意了，这里只有重力做功哈，若有其他力对系统做功，也是要考虑的哈！

最后，我们再回过来想一下，对于单个物体，“加速度为零，速度取极值”这件事情，其实和“功率为零，动能取极值”是一样的，毕竟一个物体的话，功率为零一般情况下也就表现为合力为零，也就是加速度为零了。

小伙伴们想明白了吗？

啊啊啊啊啊啊啊啊啊，我终于写完啦！小伙伴们一定要支持呀！

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附：文章提到的相关阅读

1.袁野：高中数学物理方法18.1：三角函数求极值