利用定积分的换元法，我们可以得到一种比较有用的求定积分的方法：利用对称性求积分。

1，定理（利用对称性求积分）：假设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，则

（1）若 \(f(x)\) 是奇函数 \(\Longrightarrow\int_{-a}^{a}f(x)dx=0\);

（2）若 \(f(x)\) 是偶函数 \(\Longrightarrow\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx\)。

证明：因为 \[\int_{-a}^{a}f(x)dx=\int_{-a}^0f(x)dx+\int_0^af(x)dx\]

令 \(t=-x\)，则 \(dx=-dt, x=-a\) 时，\(t=a, x=0\) 时，\(t=0\)，所以

\[\int_{-a}^0f(x)dx=\int_a^0f(-t)(-dt)=\int_0^af(-t)dt\]

（1）若 \(f(x)\) 是奇函数， \(f(-t)=-f(t)\)，

\[\int_{-a}^0f(x)dx=\int_0^af(-t)dt=-\int_0^af(t)dt=-\int_0^af(x)dx\]最后一个等式是因为积分与变量无关。从而

\[\begin{align*}\int_{-a}^{a}f(x)dx&=\int_{-a}^0f(x)dx+\int_0^af(x)dx\\&=\int_0^af(x)dx-\int_0^af(x)dx=0\end{align*}\]

（2）若 \(f(x)\) 是奇函数， \(f(-t)=f(t)\)，

\[\int_{-a}^0f(x)dx=\int_0^af(-t)dt=\int_0^af(t)dt=\int_0^af(x)dx\]

所以

\begin{align*}\int_{-a}^{a}f(x)dx&=\int_{-a}^0f(x)dx+\int_0^af(x)dx\\&=\int_0^af(x)dx+\int_0^af(x)dx\\&=2\int_0^af(x)dx\end{align*}

例1：求积分 \(\displaystyle\int_{-2}^2(x^6+1)dx\)。

解：因为 \(x^6+1\) 是偶函数，所以

\[\begin{align*}\int_{-2}^2(x^6+1)dx&=2\int_{0}^2(x^6+1)dx=2\left(\frac{x^7}{7}+x\right)\Big|_0^2\\ &=\frac{256}{7}+4=\frac{284}{7}\end{align*} \]

例2：求积分 \(\int_{-1}^{1}\frac{x^2\tan x}{x^4+x^2+1}dx\)。

解：这个被积函数的原函数是没有办法求出来的，但是因为是对称区间上的积分，可以考虑函数的奇偶性。

因为\(x^2\) 为偶函数，\(\tan x\) 为奇函数，所以分子为奇函数；显然分母为偶函数，所以被积函数为奇函数，因而积分为 \(0\)，即

\[\int_{-1}^{1}\frac{x^2\tan x}{x^4+x^2+1}dx=0\]

例3：求积分 \(\int_{-1}^1\frac{x^2\sin x}{x^6+1}dx\)。

解：因为被积函数为奇函数，所以积分为 \(0\)，即

\[\int_{-1}^1\frac{x^2\sin x}{x^6+1}dx=0\]