函数的奇偶性

【教材分析】

函数奇偶性是函数的又一个重要性质，是函数概念的拓展和深化，奇偶性充分体现了函数图象在研究函数性质的重要性，渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法。奇偶性的教学在知识和能力方面对学生的教育起着非常重要的作用，是后续学习幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的基础。因此，在函数的学习中，本节课起着承上启下的重要作用。

【教学目标与核心素养】

1．知识目标：理解、掌握函数奇偶性的概念、图象特征和性质；能够根据定义和图象判断简单函数的奇偶性；能够应用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。

2．核心素养目标：通过函数奇偶性概念的学习和简单的应用，体会数形结合、归纳转化等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。

【教学重难点】

1．函数奇偶性的概念、图象特征和性质；

2．根据定义和图象判断简单函数的奇偶性；

3．用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。

【课前准备】

多媒体课件

【教学过程】

一、知识引入

在日常生活中，我们经常会看到一些具有对称性的图片，如美丽的蝴蝶、精彩的剪纸等等。

思考讨论：

（1）上列各图，分别是怎样的对称图形？

提示：第1、2图为轴对称图形，第3、4图为中心对称图形．

（2）在我们学习的函数中，有些函数的图象也具有对称性，请举出几个这样的函数；

提示：一元二次函数图象（轴对称）、反比例函数图象（中心对称）等等．

例1．画出函数的图象，并观察它的对称性．

解：先列表，然后描点、连线，得到函数图象如图

（3）上例函数的图象是关于原点中心对称的，你能说出函数解析式是怎样体现这个性质的吗？

提示：对于定义域中任一个自变量的取值，都有函数值．

二、新知识

一般地，设函数定义域为．

如果当时,有，且，那么就称函数为奇函数；

如果当时,有，且，那么就称函数为偶函数。

如：函数、等等

注意：

①当函数是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性。

奇函数图象关于原点中心对称，反之亦然；

偶函数图象关于轴对称,反之亦然。

②函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称；

③若奇函数是在处有定义，则有；

④如果已知了一个函数的奇偶性，那么在研究它的性质时，可以先研究其在非负区间上的性质，然后利用对称性可得在轴另一侧函数的性质．

例2．根据定义，判断下列函数的奇偶性：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）．

解：（1）函数定义域为，对任意，有

，．

得，所以函数为奇函数．

（2）函数定义域为，对任意，有

，得，

所以函数为偶函数．

（3）函数定义域为，对任意，有

，得，

所以函数为偶函数．

（4）函数定义域为，定义域不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数．

思考讨论（综合练习）

（1）根据定义，判断下列函数的奇偶性：

①

②

③

④

（2）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．

①求函数的解析式；

②若函数在上单调递增，求实数的取值范围．

提示：（1）①函数有意义，则，即定义域为，有，

此时既有，又有

所以函数既是奇函数又是偶函数．

②函数定义域为，

若，则，

有，，有

若，则，

有，，仍有

所以函数为奇函数．

③函数有意义，则，即定义域为，函数即为

易得

所以函数为奇函数．

④函数定义域为，对任意，有

即

所以函数为奇函数．

（2）①函数是定义在上的奇函数，设，则

．

又函数为奇函数，，上式即为

得

所以函数

②函数在上单调递增，画出函数图象，如图

则，解得

所以实数的取值范围为．

注意：

①奇偶性的定义是判断函数奇偶性的基本方法，某些函数，如果不易直接看出的关系，可以通过验证或来判断函数的奇偶性；

②奇函数如果在处有定义，必有；

③函数在定义域内，如果满足，则函数图象关于直线对称；如果满足，则函数图象关于直线对称．

三、课堂练习

教材P66，练习1、2、3．

四、课后作业

教材P67，习题2-4：A组第1、2、3题．

【教学反思】

分析函数的性质，一般首先考察函数的定义域，然后考察函数的奇偶性等，如果可能，再画出函数的图象，这样函数的其他性质，比如单调性、值域、最值等等，就很容易得到了。所以奇偶性是函数最基本的性质之一，如果函数具备奇偶性，在考察其性质或图象时，就可以只考虑轴一侧的情况，从而事半而功倍。