【自控笔记】非线性系统&描述函数法

一、非线性系统概述

一般来说，系统的非线性部分在一定条件下可以线性化处理，并可以应用线性理论研究的系统称为非本质非线性系统；若非线性部分线性化后误差较大，无法用线性理论来分析的系统称为本质非线性系统。

二、非线性系统的特点

首先，非线性系统区别于线性系统的最大特点是不满足叠加定理。 其次，非线性系统的响应受初始条件或外作用影响。 第三，由于非线性系统的响应不是唯一的，故不存在系统是否稳定的笼统概念。 第四，非线性系统在外作用为零的情况下，可能会产生一定频率和振幅的周期运动，并且这种周期运动稳定，称为自激振荡。

三、描述函数法

描述函数，即为非线性环节的近似等效频率特性，记为 N ( A ) N(A) N(A)。

应用描述函数法分析非线性系统应具备三个条件： 1、非线性系统可以简化为一个非线性环节 N ( A ) N(A) N(A)和一个线性部分 G ( s ) G(s) G(s)串联的典型结构。如下图所示：

2、非线性环节 N ( A ) N(A) N(A)满足奇对称性，即y(x)=-y(-x)，以保证非线性环节的正弦响应不含有直流分量。

3、系统的线性部分 G ( s ) G(s) G(s)具有良好的低通滤波特性。一般来说 G ( s ) G(s) G(s)的阶次越高，低通滤波性能越好。

根据典型结构图知，系统的闭环特征方程为 1 + N ( A ) G ( j ω ) = 0 1+N(A)G(jω)=0 1+N(A)G(jω)=0 即 G ( j ω ) = − 1 N ( A ) G(jω)=-\frac{1}{N(A)} G(jω)=−N(A)1​

分别绘制 − 1 N ( A ) -\frac{1}{N(A)} −N(A)1​与 G ( j ω ) G(jω) G(jω)的幅相特性曲线可进行自振分析。

如上所示， − 1 N ( A ) -\frac{1}{N(A)} −N(A)1​与 G ( j ω ) G(jω) G(jω)相交于M、N两点。

N点不是自振点：当质点从稳定区经过N点进入不稳定区时，在不稳定区发散，振幅不断增加，远离N点。

M点是自振点：当质点从不稳定区经过M点进入稳定区时，在不稳定区发散，振幅不断增加，质点越过M点进入稳定区；在稳定区，振幅收敛又回到不稳定区，循环往复形成周期自振运动。

此外，当 − 1 N ( A ) -\frac{1}{N(A)} −N(A)1​轨迹完全落在不稳定区内，则非线性系统发散，不稳定。当 − 1 N ( A ) -\frac{1}{N(A)} −N(A)1​轨迹完全落在稳定区内，则非线性系统收敛，系统稳定。