一、动机：

1. 最直接的诱因是，最近上网冲浪，看见一些网上有些同学（一些工科生）讨论一些数学问题，然后我感觉他们可能对一些问题的理解和认识尚且不足，比如对实数和极限的理解，原因可能是没有较为系统的学习数学，所以想写这篇博客，介绍一些课程和书籍帮助有需要的人或者有兴趣的朋友去自己找寻答案。比如问题一：1 = 0.9999999...（无限循环）吗？ 自然的想法是如果等于，请问符合直观认识吗？如何给出严谨的定义呢？还有比如说问题二：大名鼎鼎的欧拉公式exp{ix} = cosx + i*sinx，请问如何给出严谨的证明呢？

2. 还有一个很大的原因，是我自己本科学习傅里叶变换的时候，就没有搞懂傅里叶变换的一些相关问题，比如收敛性问题，脑子中大大的问号一直没有消除，所以我一直想着怎么摸索一条学习之路通往傅里叶分析，现在走过了一条感觉还不错的学习路径，所以写在这里，给同样对这方面尚且有疑问的朋友提供一条参考学习路径。傅里叶分析的广泛应用可能让这篇博客能让更多的读者受益，它的应用不仅仅局限于工科中的控制，信号处理方面（比如一个重要的应用成果，如惠及人类的CT图像重建（提出者获得诺贝尔医学奖），说radon变换可能大家知道）。

二、先大致介绍一下，每门课程和书籍（这里针对特定的课程和书本，因为就算是对于特定的课程，不同的老师授课或者不同的教材讲的内容也有差异）能学到什么。再说如何到傅里叶分析。

数学分析（推荐网课：B站复旦大学陈纪修老师的数学分析网课）

数学分析可以学习到极限，黎曼积分，级数，级数收敛（包括重要的点态收敛和一致性收敛的相关知识）等等。个人感觉在这门课应该建立起对极限的深刻认识，这对后续的分析学课程至关重要。还有一个就是，学这门课，一定重视证明能力的培养，可以在理解的基础上多尝试自己证明一些定理或者命题。这对后续分析学课程的学习大有裨益。

实变函数 （推荐书籍：陶哲轩老师的《陶哲轩实分析》，夏道行老师的《实变函数论与泛函分析》上册）

《陶哲轩实分析》关于自然数，整数，分数，实数建立的部分，讲述了数的建立过程，给出了严谨的定义，能够帮助我们认识数的建立过程。这本书的其它部分个人感觉太简洁了，比如说用了不到20页讲了测度论的建立和可测函数，所以其它部分可以用更系统详细的教材。《实变函数论与泛函分析》上册讲的是实变函数，讲述了实数的性质，测度论的建立（个人感觉讲的非常好，逻辑严谨丝滑），然后基于测度论讨论积分（主要是勒贝格积分），实变函数可以算是对黎曼积分的拓展，解决一些“性质不好的函数”的积分问题。

泛函分析（推荐书籍：孙炯老师的《泛函分析》）

这本书从三大空间（距离空间，赋范线性空间，内积空间）入手，相当于从一个新的角度去认识函数，譬如用范数定义函数的大小，讨论某些函数空间的完备性等等，关于应用方面（比如控制里面的鲁棒控制等等）。这本书基本没怎么涉及到实变函数，算是比较入门的一本书，阅读起来难度不大，但是书的逻辑架构很好，阅读体验很好。

傅里叶分析（推荐书籍：Elias M. Stein的《傅里叶分析》）

本博客重点的目标之一是通往傅里叶分析，所以对本书介绍详细一些，本书一共9章。前4章讨论傅里叶级数的基本性质和收敛性（其实傅里叶级数在数学分析和泛函分析中都有讨论），并给出了在实际问题中的应用。第5章和第6章讨论了定义在实数域的函数的傅里叶变换和反变换，引入了“好核”来帮助推导相关公式。第7章，讲了Z变换，引入了群来解释这块内容（这里引入的群的内容相对简单，可以参考丘维声老师的《抽象代数基础》关于群的部分）。第8章，结合一些数论（我直接跳过，跳过的原因比较简单，单纯的有其它的事要做，不想啃这块内容。。。）。第9章，介绍黎曼积分，建立测度理论来拓展黎曼积分，其实这个是实变函数中的内容。

总结一下学习顺序：学习Elias M. Stein的《傅里叶分析》的前置课程：数学分析，泛函分析。如果时间不允许，可以暂且跳过实变函数。学习孙炯老师的《泛函分析》的前置课程：数学分析。虽然说，可以跳过实变函数，但是还是建议学习，毕竟实变函数中对实数性质的讨论，对测度论的建立，扩展黎曼积分对不少其它课程还是有奠基性作用的。

还有一个较好的资源也推一下，对于广大工科朋友肯定有很大帮助，那就是B站复旦大学谢启鸿老师的《高等代数》，这门课程系统的包含了工科“线性代数”和进阶版的“矩阵分析”。学工科数学很大的感受是，悬在空中，很多时候不得其要义，一个很大的原因是工科没有把数学当数学来教。所以系统的学习数学专业的数学课程，能够帮助我们从底层了解数学，做到知其然知其所以然。

写在最后：我深知自己水平非常有限，推荐的资源和给出的看法个人主观意识浓厚，所以诚恳的希望大家指正批评，不胜感激。如果大家有认为比较好的书籍或者课程，非常欢迎推荐。