高等数学:第一章 函数与极限(10)闭区间上连续函数的性质 |
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§1.11 闭区间上连续函数的性质 如果函数 一、最大值与最小值定理 先介绍最大值与最小值概念: 对于区间 则称 【定理一】(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定取得最大值和最小值。 这一定理在几何上是十分显然的。 设想有一条有弹性的弦,两个端点固定,呈水平地放置在坐标系中;若它上面的两点受到方向相反的两个力的作用,则产生形变,成为一条有高低起伏的曲线。 显然,C点与D点的纵坐标分别是曲线所代表的函数的最大值与最小值。 最值存在定理中的两个条件:(1)、闭区间,(2)、连续缺一不可,否则结论不成立。 根据定理一,下面的定理二,几乎是一望便知的事实。 【定理二】( 有界性定理 ) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界。 为了介绍闭区间上连续函数十分常用零点定理,先引入一个概念: 如果 事实上, 【定理三】( 零点定理 ) 设 零点定理的几何意义十分显然, 它表明: 若连续曲线弧 利用这一思想,可用计算机作图来观察方程是否有实数根,有几个实根;若有实根,其实根所处的大致位置。 下面我们用 matlab 来介绍几个实例。具体做法是:将函数 【例1】判断方程 解:利用MATLAB,作函数的图形 从图形上可看出,函数在[-2,2]之间确有两个零点。其作图程序如下: x=-2:0.0005:2; y=x.^2+x-1; plot(x,y,'*') hold plot([-2,2],[0,0],'r') plot([0,0],[-2,5],'r') 【例2】判断方程 解:利用MATLAB,作函数的图形 从图形上可看出,函数在[-1,1]之间确有两个零点。其作图程序如下: x=-4:0.0005:4; y=exp(-x.^2)-0.5; plot(x,y,'*') hold plot([-4,4],[0,0],'r') plot([0,0],[-0.5,0.5],'r') 【定理4】( 介值定理 ) 设函数
那末,对于 使得 这定理的几何意义是: 连续曲线弧 证明:设
异号。据零点定理,开区间 但 【推论】 闭区间上的连续函数必取得介于最大值 M 与最小值 m 之间的任何值。 【例3】给定一元三次方程 ![]() 解:函数
根据零点定理,在(0,1)内至少有一点 即 故方程 下面作出函数 x=-1:0.0005:4; y=x.^3-4*x.^2+1; plot(x,y,'*') hold plot([-1,4],[0,0],'r') plot([0,0],[-10,2],'r') 从图象可看出,函数在(0,1)间有一个零点,大约在0.5附近。但较为精确地给出该根却是作图无法企及的。 利用零点定理的原理,采用下面介绍的两分法来解决这一问题。 注1:课堂上的两分法演示(做四次 ) 具体做法: 建立一个函数文件f.m,存放在盘符X:\matlab\bin下function y=f(x) y=x^3-4*x^2+1; 在命令窗口下键入命令示意图注2:真正的两分法程序为gs0107.m 注3:利用matlab内部函数,可以直接求出根 c=[1,-4,0,1] roots(c) 输出结果为:3.9354 0.5374 -0.4728 【例4】试证明 证明:设 而 同理 利用函数的保号性: 必存在两个充分大的正数 使得 在闭区间 即:方程 (下面来证明,函数的零点是唯一的) 假设函数 于是有 而 另一方面 产生矛盾。 故:
转自: https://sxyd.sdut.edu.cn/_upload/tpl/02/32/562/template562/onlineLearning/gaodengshuxueshang/index.htm
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