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1 第五章 一元函数的导数及其应用 典型例题讲解目录一、基本概念回归二、重点例题（高频考点）高频考点一：物体运动的平均速度及瞬时速度高频考点二：导数几何意义的应用角度1：求切线方程（在型，过型）角度2：根据切线斜率求切点坐标高频考点三：解析式中含的导数问题高频考点四：利用相切关系求最小距离高频考点五：求函数的单调区间高频考点六：函数与导函数图象间的关系高频考点七：已知函数的单调性求参数取值范围：角度1：已知函数在区间上单调，求参数角度2：已知函数在区间上存在单调区间，求参数角度3：已知函数在的单调区间为（是），求参数角度4：已知函数在区间上不单调，求参数高频考点八：含参问题讨论单调性角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型角度3：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型高频考点九：函数图象与极值（点）的关系高频考点十：求已知函数的极值（点）高频考点十一：根据函数的极值（点）求参数高频考点十二：函数的最值问题高频考点十三：利用导数研究不等式恒成立问题高频考点十四：利用导数研究不等式能成立（有解）高频考点十五：利用导数研究函数的零点问题一、基本概念回归知识回顾1：函数在处的导数（瞬时变化率）函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.知识回顾2：曲线的切线问题1、在型求切线方程已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.第二步：计算切线斜率.第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。根据直线的点斜式方程得到切线方程：.2、过型求切线方程已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.步骤：第一步：设切点第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.知识回顾3：导数的四则运算法则1、两个函数和的和（或差）的导数法则：.2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：；.3、由函数的乘积的导数法则可以得出，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即知识回顾4：函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）函数在区间内可导，(1)若，则在区间内是单调递增函数；(2)若，则在区间内是单调递减函数；(3)若恒有，则在区间内是常数函数．知识回顾5：求已知函数（不含参）的单调区间①求的定义域②求③令，解不等式，求单调增区间④令，解不等式，求单调减区间注：求单调区间时，令（或）不跟等号.知识回顾6：由函数的单调性求参数的取值范围的方法1、已知函数在区间上单调①已知在区间上单调递增，恒成立.②已知在区间上单调递减，恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.2、已知函数在区间上存在单调区间①已知在区间上存在单调增区间使得有解②已知在区间上存在单调减区间使得有解3、已知函数在区间上不单调，使得有变号零点知识回顾7：极大（小）值1、函数的极值一般地，对于函数，（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.2、函数的最大（小）值一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：（1）求在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.知识回顾8：函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.高频考点一：物体运动的平均速度及瞬时速度1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，其中，则此函数在区间上的平均变化率为__________.【答案】5【详解】函数在区间上的平均变化率为.故答案为：2．（2022·上海南汇中学高二期末）若函数在区间上的平均变化率为5，则______．【答案】3【详解】解：函数在区间上的平均变化率为，解得.故答案为：3.3．（2022·安徽省皖西中学高二期末）某物体做直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式，那么该物体在时的瞬时速度是____________．【答案】8【详解】由题知，，当时，故物体在时的瞬时速度为8故答案为：84．（2022·河南·睢县高级中学高三阶段练习（文））设函数在点处的切线方程为，则（ ）A．4 B．2 C．1 D．【答案】C【详解】函数在点处的切线方程为，则.故选:C.5．（2022·上海·复旦附中高三阶段练习）设在处可导，下列式子与相等的是（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】对于A，,A错误；对于B，，B正确；对于C, ，C错误；对于D，，D错误，故选：B6．（2022·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习）已知函数，且，则函数在处的切线方程是___________.【答案】【详解】解：由，得，而，所以，所以切线方程为，即.故答案为：.高频考点二：导数几何意义的应用角度1：求切线方程（在型）1．（2022·上海市奉贤中学高二期末）函数在点处的切线方程为______.【答案】【详解】由函数可得，故在点处的切线的斜率为，故切线方程为，即，故答案为：.2．（2022·新疆·高三期中（文））函数的图象在点处的切线方程为__________．【答案】【详解】由得，，，所以的图象在点处的切线方程为.故答案为：3．（2022·上海崇明·高二期末）已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数的值等于___________．【答案】【详解】因为，所以，所以，又，所以在处的切线方程为：，又切线方程过原点，把代入得，解得：．故答案为：.4．（2022·河北·模拟预测（理））已知函数，则曲线在点处的切线方程为 __．【答案】【详解】解：，，，，曲线在点处的切线方程为：，即，故答案为：．角度2：求切线方程(过型）`1．（2022·河北保定·高三阶段练习）过点且与曲线相切的直线方程为____________________.【答案】或【详解】设切点为的横坐标为，因为，故，故，整理得到：，故或，故切线的斜率为或，故切线方程为或，即或，故答案为：或，2．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数满足，则函数在处的切线的斜率为__________.【答案】【详解】由，有，所以，所以，因此函数在处的切线的斜率为.故答案为：.3．（2022·山西·高三阶段练习）过点与曲线相切的切线方程为___________．【答案】【详解】设切点为，则，得，则切点为，切线方程为，即．故答案为：.4．（2022·浙江·高三阶段练习）已知过点有三条直线与曲线相切，则（ ）A． B．C． D．【答案】D【详解】设切点，由可得切线方程为，将代入得，整理得，设，，因为,令解得，令解得或，所以在，单调递减，在单调递增，且当时，由题意得有3个不相等的实数根，则有，即，所以.故选:D.5．（2022·四川·成都金苹果锦城第一中学高三期中（文））过点有条直线与函数的图象相切，则的取值范围为______．【答案】【详解】设切点为，对函数求导得，切线斜率为，所以，曲线在点处的切线方程为，将点的坐标代入切线方程可得，所以，，令，其中，所以，，列表如下：减 极小值 增 极大值 减由可得，解得或，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，因此，.故答案为：.6．（2022·山东·新泰市第一中学北校高三期中）已知函数，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数t的取值范围是______．【答案】【详解】设切点坐标为，则.由，可得，所以切线方程为，整理得，将代入可得，，，则在和上单调递减；在上单调递增.所以，在处有极小值，在处有极大值.易知当时，（如图所示）所以，当时，函数有3个零点，即，当时，过点可作3条与曲线相切的直线.故答案为：.7．（2022·江苏·常熟中学高三阶段练习）若过点可以作出3条直线与函数的图象相切，则的取值范围为_________．【答案】【详解】设过的直线与切于，，，∴的切线方程为，∵切线过，∴，问题转化为此方程有3个不等的实根，令，，即与有3个不同的交点，，令，则有或，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，此时恒成立；作出的大致图象，入下图所示：要使与有3个不同的交点，则即可，∴的取值范围为：．故答案为：．高频考点三：解析式中含的导数问题1．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）已知，若，则（ ）A． B． C． D．e【答案】B【详解】因为．所以，由，解得e．故选：B.2．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（理））记函数的导函数为，且溥足，则＝______．【答案】##1.5【详解】由题意得，，∴，解得，∴，∴．故答案为：3．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知函数，则___________.【答案】2【详解】,所以，故答案为：.高频考点四：利用相切关系求最小距离1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）若点为曲线上的动点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）A． B． C．1 D．【答案】A【详解】由题意，要使的最小，为平行于的直线与的切点，令，可得，故切点为，以为切点平行于的切线为，此时有.故选：A2．（2022·陕西·宝鸡中学高三阶段练习（理））已知函数，直线的方程为，则函数上的任意一点到直线的距离的最小值为_________【答案】【详解】函数上任意一点的坐标为，过该点的切线为，当直线与直线平行时，点到直线的距离的最小，由，所以直线的方程为，因此函数上的任意一点到直线的距离的最小值为，故答案为：3．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为___________.【答案】【详解】由已知，设点曲线上一点，则有，因为，所以，所以，所以曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为，即．要求得曲线上任意一点，到直线的最小距离即找到曲线上距离直线最近的点，即，解得或（舍去），此时，以点为切点，曲线的切线方程为：，此时，切点为曲线上距离直线最近的点，即点与点重合，最小距离为直线与直线之间的距离，设最小距离为，所以.故答案为：.高频考点五：求函数的单调区间1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（ ）A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞)【答案】A【详解】由题设，则，可得，而，则，所以，即，则且递增，当时，即递减，故递减区间为(-,0).故选：A2．（2022·北京交通大学附属中学高二期中）函数的单调递减区间是（ ）A．， B．C． D．【答案】D【详解】因为的定义域为，所以，令，得，所以函数的单调递减区间是.故选：D.3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cos x，则f(x)的单调递增区间为________．【答案】，【详解】f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π)．令f′(x)＝0，得x＝或x＝，当00，当0，∴f(x)在和上单调递增，在上单调递减．故答案为：，.高频考点六：函数与导函数图象间的关系1．（2022·上海市奉贤中学高二期末）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（ ）A． B．C． D．【答案】C【详解】由函数图象可知当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则；故的解集是，故选:C.2．（2007·浙江·高考真题（理））设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，下列不可能正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】D【详解】对于A，如果把 作为的图象，则，原点处取等号，则单调递增，故A正确；对于B，如果把 作为的图象，则，则单调递增，故B正确；对于C，如果把 作为的图象，则，则单调递增，故C正确；对于D，如果把 作为的图象，则，在个别点处取等号，则单调递增，与图中不符；如果把 作为的图象，则在图象所对应的范围内，在个别点处取等号，则单调递减，与图中不符；故D不可能，故选：D3．（2022·山东·宁阳县第四中学高二阶段练习）偶函数为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：由题意可知，为偶函数，设的图象与x轴的两个交点的横坐标分别为，，，由图象可得，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，故选项A错误，选项Ｄ错误；由的图象可知，在左右的函数值是变化的，不同的，而选项C中，的图象在左右是一条直线，其切线的斜率为定值，即导数为定值，故选项C错误，选项B正确．故选：B.4．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值【答案】C【详解】函数在上，故函数在上单调递增，故正确；根据函数的导数图象，函数在时，，故函数在区间上单调递减，故正确；由A的分析可知函数在上单调递增，故不是函数的极值点，故错误；根据函数的单调性，在区间上单调递减，在上单调递增，故函数在处取得极小值，故正确，故选：高频考点七：已知函数的单调性求参数取值范围：角度1：已知函数在区间上单调，求参数1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数在内单调递增，则在恒成立，即在上恒成立，又，所以，即.故选:D.2．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x2＋ax＋在[，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是（ ）A．[－1，0] B．[－1，＋∞)C．[0，3] D．[3，＋∞)【答案】D【详解】f′(x)＝2x＋a－，由于函数f(x)在[，＋∞)上是增函数，故f′(x)≥0在[，＋∞)上恒成立.即a≥－2x在[，＋∞)上恒成立.设h(x)＝－2x，x∈[，＋∞)，易知h(x)在[，＋∞)上为减，∴h(x)max＝h()＝3，∴a≥3.故选：D3．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】由，得，因为函数在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即恒成立，因为，所以，所以，所以实数的取值范围为，故选：A角度2：已知函数在区间上存在单调区间，求参数1．（2022·四川成都·高二期中（文））已知函数在区间上存在单调增区间，则m的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：因为，所以，在区间上存在单调递增区间，存在，使得，即，令，，则恒成立，所以在上单调递增，所以，，故实数的取值范围为．故选：D2．（2021·福建省泉州市剑影实验学校高三期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】∵，∴，若在区间内存在单调递增区间，则有解，故，令，则在单调递增，，故.故选：D.3．（2020·全国·高二课时练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )A． B．C． D．【答案】D【详解】∵函数在区间内存在单调递增区间，∴在区间上有解(成立)，即在区间上成立，又函数在上单调递增，∴函数在上单调递增，故当时，取最小值，即，即，得．故选：D﹒角度3：已知函数在的单调区间为（是），求参数1．（2020·湖北·麻城市第二中学高三阶段练习（理））若函数的递减区间为，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【解析】对函数进行求导，再根据函数的减区间为，可知在上为减函数，从而可得的范围.【详解】由题可知因为的解集为所以的递减区间为又的递减区间为所以故选：A2．（2020·浙江·高三阶段练习）已知函数的单调递增区间是，则（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：由题可得，则的解集为，即，，可得，∴，故选:C．3．（2020·全国·高二课时练习（理））已知函数的单调递减区间为，则的值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题得的解集为，所以不等式的解集为，所以故选：B角度4：已知函数在区间上不单调，求参数1．（2020·江西·奉新县第一中学高三阶段练习（理））若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，所以，当函数在区间上不单调时，且在内有解，由解得或，在内有解，即在内有解，因为在内递减，在内递增，所以，即，综上所述：.故选：C.2．（2020·江苏省包场高级中学高二阶段练习）已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】，若在内不单调，则在内有实根，即和的图象在内有交点，显然在递增，故，故，故选：．3．（2020·陕西渭南·高二期末（理））已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】由可得当时，，在上单调递增，不满足题意当时，所以在上单调递减，在上单调递增要使得函数在区间上不是单调函数则有，解得故选：C高频考点八：含参问题讨论单调性角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)答案见解析．【详解】（1），时，恒成立，在上是增函数，时，时，，是减函数，时，，是增函数，综上，时，在R上是增函数，时，在上是减函数，在上是增函数；2．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知函数．(1)试判断函数的单调性；【答案】(1)答案见解析；【详解】（1）由题可知的定义域是，．当时，，所以在上单调递增；当时，令，解得，当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减．综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．3．（2022·上海崇明·高二期末）已知函数．(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数的值；(2)根据的取值，讨论函数的单调性；【答案】(1)(2)分类讨论，答案见解析.【详解】（1），因为函数在点处的切线方程为，所以，即，解得；（2）恒成立，当时，对恒成立，所以在R上单调递增；当时，时，时，所以在单调递减，在上单调递增；角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型1．（2022·四川·成都金苹果锦城第一中学高三期中（文））已知函数，．(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)答案见解析(2)①；②【详解】（1）解：函数的定义域为，.①当时，，由可得或，由可得，此时函数的增区间为、，减区间为；②当时，且不恒为零，此时函数的增区间为；③当时，，由可得或，由可得，此时函数的增区间为、，减区间为.综上所述，当时，函数的增区间为、，减区间为；当时，函数的增区间为；当时，函数的增区间为、，减区间为.2．（2022·江苏省江浦高级中学高三阶段练习）已知函数).(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）由，①当，即时，因为恒成立，故在上为减函数；②当，即时，由得，或；由得，，所以在和上为减函数，在上为增函数；③当，即时，由得，或；由得，，所以在和上为减函数，在上为增函数.综上：当时，在上为减函数；当时，在和上为减函数，在上为增函数；当时，在和上为减函数，在上为增函数.3．（2022·四川省合江县中学校高三阶段练习（理））已知函数.(1)若，试讨论在上的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）解：，，若，，有，则在上的单调递增；若，令，得，①当即时，，有，则在上的单调递减，，有，则在上的单调递增，②当 即时，，有，则在上的单调递增，综上所述：当时，在上的单调递增；当时，在上的单调递减，在上的单调递增.4．（2022·上海市南洋模范中学高三期中）已知函数.(1)若函数在处取得极大值，求a的值；(2)设，试讨论函数的单调性.【答案】(1)；(2)见解析【详解】（1），由在处取得极大值得；经检验成立（2） ，，i. 当时，（仅在取等号），故在递增；ii. 当时，由得，得，故在递增，在递减；iii. 当时，由得，得，故在递增，在递减.5．（2022·北京·昌平一中高三阶段练习）已知函数.(1)当时，求函数的极小值；(2)当时，讨论的单调性.【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）当时：，令解得，又因为当，，函数为减函数；当，，函数为增函数.所以的极小值为.（2），当时，由，得或.①若，则，故在上单调递增；②若，则.故当时，或；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.③若，则.故当时，或；当时，.所以在，单调递增，在单调递减.角度3：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型1．（2022·江西九江·高三阶段练习（文））已知函数.(1)讨论函数的单调性；【答案】(1)在单调递减，在单调递增【详解】（1）由已知的定义域为.令，，有两根，因为，，时，，，单调递减；时，，，单调递增.故函数在单调递减，在单调递增.2．（2022·宁夏六盘山高级中学高三阶段练习（理））已知函数.(1)讨论的单调性；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）由，得.当，即时，，在上单调递增.当，即时，令，得，.所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增.综上所述，当时，在上单调递增，当时，在，上单调递增，在上单调递减.高频考点九：函数图象与极值（点）的关系1．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示．则函数的零点个数不可能为（ ）个．x -1 0 4 51 2 2 1A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【详解】由导函数的图象知，函数在，上都单调递增，在，上都单调递减，，函数有最大值，函数在处取得极小值，显然，函数的零点个数即是直线与函数的图象交点个数，当时，直线与函数的图象有4个交点，C可能；当时，若，直线与函数的图象有2个交点，A可能；若，直线与函数的图象有3个交点，B可能；若，直线与函数的图象有4个交点，C可能，所以函数的零点个数不可能为5个，即D不可能.故选：D2．（2022·全国·高二）已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示．下列关于的命题：x -1 0 4 51 2 2 1①函数在，4处取到极大值； ②函数在区间上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；④当时，函数不可能有3个零点．其中所有真命题的序号是（ ）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】A【详解】解：①观察导数的图象可得在，处左正右负，取得极大值，故①正确；②函数在的导数为负，则在区间上是减函数，故②正确；③如果当时，的最大值是2，可能是或，结合单调性可得t的最大值为5，故③错误；④当时，令函数，即，转化为图象交点个数可得零点个数，当的极小值时,函数有三个零点，故④错误．综上可得，①②正确．故选：A．3．（2022·全国·高二单元测试）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值【答案】B【详解】由图知：当时，有、，∴，，又时，而则，即递增；时，而则，即递减；时，而则，即递增；时，而则，即递增；综上，、上递增；上递减.∴函数有极大值和极小值.故选：B4．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数，其导函数为，且函数的图象如图所示，则（ ）A．有极大值和极小值B．有极大值和极小值C．有极大值和极小值D．有极大值和极小值【答案】B【详解】解：由函数图像可知，当时，，则，当时，，则，当时，，则，当时，，则，所以有极大值和极小值，故选：B高频考点十：求已知函数的极值（点）1．（2022·湖南·安仁县第一中学高二阶段练习）已知函数．(1)若，求的极大值；【答案】(1)0【详解】（1）当时，，且则．当时，，所以在上单调递增；当时，，所以在上单调递减，所以的极大值为．2．（2022·广东·佛山一中高三阶段练习）已知函数．(1)若，求函数在区间上的值域；(2)求函数的极值．【答案】(1)(2)答案见解析【详解】（1）解：当时，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，，，，所以，即函数在区间上的值域.（2）解：因为，，则，当时，所以在定义域上单调递增，不存在极值；当时令，解得或，又，所以当或时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极大值，，在处取得极小值，，当时令，解得或，又，所以当或时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极大值，，在处取得极小值，，综上可得：当时无极值，当时，，，当时，，．3．（2022·青海玉树·高二期末（理））已知．(1)若，求的单调区间与极值；【答案】(1)答案见解析【详解】（1）解：当时，，该函数的定义域为，，列表如下：增 极大值 减 极小值 增所以，函数的增区间为、，减区间为，极大值为，即小值为.4．（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数，．(1)若，求的极值；【答案】(1)极小值为，无极大值【详解】（1）由函数，则，．当时，令得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，无极大值．高频考点十一：根据函数的极值（点）求参数1．（2022·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（文））若函数处有极大值，则常数的值为（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数，依题意得，即或，时，，当时，，当时，，则在处取极小值，不符合条件，时，，当时，，当时，，则在处取极大值，符合条件，所以常数的值为6.故选：D.2．（2022·河南·高三期中（文））已知函数.(1)若有两个极值点，求的取值范围；(2)设分别是的极大值点与极小值点，若，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1），∵有两个极值点，∴有两个零点，∴，即，解得或，∴实数的取值范围是.（2）由（1）知，且，令，则，∵，∴，∴，即，得，得或，∴的取值范围为.3．（2022·江西南昌·高三阶段练习（文））已知函数．(1)若在（0，+∞）上存在极值，求a的取值范围；【答案】(1)；【详解】（1），令，解得因为，所以，所以，所以，经检验当时，存在极值，故a的取值范围是.4．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，其中.(1)若的极小值为－16，求；【答案】(1)（1）由题得，其中，当时，，单调递增，无极值；当时，令，解得或；令，解得，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，，所以当时，取得极小值，所以，解得.高频考点十二：函数的最值问题1．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知函数在上有最小值，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为函数在上有最小值，所以函数在上先减后增，即在上先小于0，再大于0，令，得，，，故只需的斜率大于过的的切线的斜率即可，设切点，则切线方程为：，把代入切线方程可得，故切点为，切线斜率为，故只需.故选：A2．（2022·黑龙江·宾县第二中学高三阶段练习）已知在时有极小值．(1)求常数，的值；(2)求在区间上的最值．【答案】(1)，(2)最大值为，最小值为【详解】（1）由，得，在时有极小值，，，解得或，经检验，当，时，符合题意，，．（2）由（1）知，，令，则或，，当或时，，当时，；函数在和上单调递增，上单调递减；的极大值为，极小值为，又，；，，的最大值为，最小值为.3．（2022·上海市松江二中高二期末）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在区间上的最大值为12，求实数的值；【答案】(1)答案见详解(2)或【详解】（1）由得，当时，，故在上单增；当时，令，解得，时，，单增；时，，单减；时，，单增；综上所述，当时，在上单增；当时，在单增；在单减；在当单增；（2）由（1）可知，当时，在上单增，故当时，，解得，故；当时，令，解得，和时，，单增；时，，单减；故最大值在或处取到，，解得（舍去），，解得舍去；当，即时，时，，单增；时，，单减，故，解得，故；当时，即时，时，，单减，故，解得（舍去），综上所述，或4．（2022·四川省隆昌市第七中学高三阶段练习（文））已知函数.(1)若，曲线在处的切线过点，求的值；(2)若，求在区间上的最大值.【答案】(1)或(2)【详解】（1）解：当时，，，，，所以，曲线在处的切线方程为，将点的坐标代入切线方程可得，整理可得，解得或.（2）解：因为且，，则，①当时，对任意的，且不恒为零，此时函数在上单调递增，当时，；②当时，，当时，；当时，.所以，函数在上单调递减，在上单调递增，且，，故当时，.综上所述，当时，.5．（2022·贵州毕节·高三期中（文））已知函数.(1)当时，求的最小值；(2)若在上恒成立，求整数a的最小值.【答案】(1)；(2)1【详解】（1）当时，，则，令得.若，则；若，则.所以；（2）（法一）由，可得在上恒成立.令，则，令，则，因此在上为减函数.而，可知在区间上必存在，使得满足，且在上单调递增，在上单调递减.由于，而，故，由，可知，所以，因此整数a的最小值为1.（法二）由，可得，当时，，则，即.当时，令，则，则在上单调递增，所以，所以成立.因此整数a的最小值为1.6．（2022·安徽·合肥市第十中学高三阶段练习）已知，.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间上的最小值是，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，，所求切线的斜率为，切点为，所求切线的方程为，即．（2）假设存在实数a，使有最小值3，①当时，在上单调递减，故，解得（舍去），所以此时不存在符合题意的实数a；②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，故，解得，满足条件；③当，即时，在上单调递减，故，解得（舍去），所以此时不存在符合题意的实数a．综上，存在实数，在区间上的最小值是．高频考点十三：利用导数研究不等式恒成立问题1．（2022·广东·惠州市光正实验学校高三阶段练习）已知函数，若对于任意，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由得且，两边同时除以x得，两边同时除以得，即，设函数，则，当时，，递增．若，则,若，有，于是得，，设，则，当时，，递减，，，，．若，，，符合题意，．综上：．故选：A．2．（2022·湖北·高三期中）若不等式对任意恒成立，则a的取值范围是_______________.【答案】【详解】由，令，即对任意恒成立，易知时为增函数，且时，时，故存在使得，即，所以时为减函数，时为增函数，所以所以，即，所以，，故答案为：3．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知函数，其中，设为的导函数.(1)若，证明：；(2)若时，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）由题设，则，所以，令，故，所以在R上单调递增，而，故上，上，则上递减，上递增，故，得证.（2）由，则，由（1）知：上，故在上递增，所以，而，当时，即，趋向时趋向，故使，所以上，递减，上，递增，故，不满足恒成立；当时，即，故在上，所以上递增，此时恒有，满足恒成立；综上，时，时恒成立.4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数在点处的切线方程为.(1)求实数，的值；(2)设函数的两个极值点为，且，若恒成立，求满足条件的的最大整数值.【答案】(1)(2)【详解】（1），因为在切线方程上，所以，解得：，所以，所以，解得：.（2）由（1）知，，的定义域为，则，由，得，因为（）是函数的两个极值点，所以方程有两个不相等的正实根，所以，，所以，因为，所以，解得或，因为，所以，所以令，则，所以在上单调递减，所以当时，取得最小值，即，所以，所以实数的最大整数值为：.5．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三期中（理））已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)见解析(2)【详解】（1）函数的定义域为，且，当时，，当时，，当时，，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.当时，，有两根－1，，且，，则；，则；故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.综上可知：当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）函数恒成立转化为在上恒成立.令，则，，，，，故在上为增函数，在上为减函数.所以，则，又，故实数的取值范围为.高频考点十四：利用导数研究不等式能成立（有解）1．（2022·河南省驻马店高级中学模拟预测（理））已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】当时，，显然成立，符合题意；当时，由，，可得，即，，令，，在上单增，又，故，即，即，，即使成立，令，则，当时，单增，当时，单减，故，故；综上：.故选：A.2．（2022·河南·洛阳市第一高级中学高三阶段练习（理））已知函数.若存在实数，使得成立，则正实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】A【详解】令，则，当时，，函数在上单调递减，，若存在实数，使得不等式成立，等价于成立，又，，，所以.当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，为正实数，，又函数在上单调递增，，解得正实数的取值范围为.故选：A.3．（2022·福建·厦门外国语学校高三阶段练习）已知函数，其中，若不等式有解，则______【答案】2【详解】不等式有解，即.表示动点到动点间距离的平方，其最小值即函数上的动点到直线距离的最小值的平方.令，解得，即函数上的动点为时，其到直线距离最小，最小值为，即，又，此时直线只有唯一点满足题意，即，，即.故答案为：24．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知函数(1)若函数f（x）在处取得极值，求m；(2)在（1）的条件下，，使得不等式成立，求a的取值范围.【答案】(1)1(2)【详解】（1），在处取得极值，则.，当，所以f（x）的减区间为 ，增区间为符合题意.（2）由（1）知，函数，使得不等式成立等价于不等式在时有解即不等式在时有解...设时， 而所以恒成立即F（x）在[0，]上是增函数，则因此a的取值范围是5．（2022·全国·高二期末）已知函数.(1)当时，求的单调区间与极值；(2)若在上有解，求实数a的取值范围.【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值(2)(1)当时，，所以当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时函数有极小值，无极大值.(2)因为在上有解，所以在上有解，当时，不等式成立，此时，当时在上有解，令，则由（1）知时，即，当时；当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，所以，综上可知，实数a的取值范围是.高频考点十五：利用导数研究函数的零点问题1．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数（），且在有两个零点，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，由得，，则，令，依题意，函数在有两个零点，显然，而在上单调递增，则有，当或，即或时，在上单调递增或单调递减，即有函数在只有一个零点1，因此，此时当时，，当时，，函数在上单调递减，在单调递增，则，要函数在有两个零点，当且仅当在上有一个零点，即有，解得，所以的取值范围.故选：C2．（2022·青海·海东市教育研究室高二期末（文））已知函数在上有零点，则的最小值是（ ）A． B． C． D．【答案】D【详解】函数在上有零点，等价于关于的方程在上有解，即在上有解.令，则.由，得；由，得.则在上单调递增，在上单调递减.因为，，所以，则，即的最小值为.故选：D.3．（多选）（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知函数，其中，为实数，则下列条件能使函数仅有一个零点的是（ ）A．， B．， C．， D．，【答案】ACD【详解】由已知可得的定义域为.对于A、当时，，则.当或时，;当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，在处取得极小值.因为 且的图象连续不断，故的图象与轴有且只有一个交点，故此时有且只有一个零点，故该选项符合题意.对于B、当时，，则.当或时，;当时，，故在和上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，在处取得极小值.又因为，且的图象连续不断，故的图象与轴有且只有两个交点，故此时有且只有两个零点，故该选项不合题意.对于C、当时，，则在上恒成立，当且仅当时取等号，故在上单调递增，又因为 ，且的图象连续不断，故的图象与轴有且只有一个交点，故此时有且只有一个零点，故该选项符合题意.对于D、当时，，则在上恒成立，故在上单调递增，又因为，且的图象连续不断，故的图象与轴有且只有一个交点，故此时有且只有一个零点，故该选项符合题意.故选:ACD.4．（2023·广东广州·高三阶段练习）方程有唯一的实数解，实数的取值范围为__________．【答案】【详解】令函数，依题意，函数有唯一零点，求导得，当时，，无零点，当时，，函数在上单调递增，，当且时，，则在上存在唯一零点，因此，当时，当时，，当时，，函数在上递减，在上递增，，当且仅当，即时，在上存在唯一零点，因此，所以实数的取值范围为.故答案为：5．（2022·安徽·合肥市第十中学高三阶段练习）设定义在上的函数满足，且，函数有且只有一个零点，则的取值范围为______【答案】【详解】，设函数，即，所以，因为，所以，即，即，于是有，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递增，当时，，当时，，函数图象如下图所示：函数有且只有一个零点，即方程有一个实数根，即函数的图象与直线有一个交点，如上图所示：所以，因此的取值范围为，故答案为：6．（2022·河北·模拟预测（理））已知函数．(1)若存在，使得成立，求的取值范围；(2)若函数有三个不同的零点，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）若存在，使得成立，则在时成立，故，令，，则，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，故，所以，故的取值范围为；（2）有3个不同实数解，所以有三个不同的实数解，令，则，令，则，因为，所以当或时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，，由题意得，故的取值范围为．7．（2022·江苏盐城·高三期中）已知函数是常数．(1)求函数的图象在点处的切线的方程.并证明函数的图象在直线的下方；(2)讨论函数零点的个数．【答案】(1)切线的方程为，证明见解析；(2)见解析【详解】（1），，，所以函数的图象在点处的切线的方程为，即.证明：令，其中；，令得.当时，，为增函数；当时，，为减函数；所以有最大值，即时，，所以函数的图象在直线的下方.（2）令，即，由（1）知，当时，直线与曲线相切于点，此时只有一个零点；作出简图，直线恒过.当时，直线与的图象有且只有一个交点，即只有一个零点；当时，直线与的图象有两个交点，即有两个零点；当时，直线与的图象没有交点，即无零点.综上可知，当时，无零点；当或时，有且仅有一个零点；当时，有两个零点.1 第五章 一元函数的导数及其应用 典型例题讲解目录一、基本概念回归二、重点例题（高频考点）高频考点一：物体运动的平均速度及瞬时速度高频考点二：导数几何意义的应用角度1：求切线方程（在型，过型）角度2：根据切线斜率求切点坐标高频考点三：解析式中含的导数问题高频考点四：利用相切关系求最小距离高频考点五：求函数的单调区间高频考点六：函数与导函数图象间的关系高频考点七：已知函数的单调性求参数取值范围：角度1：已知函数在区间上单调，求参数角度2：已知函数在区间上存在单调区间，求参数角度3：已知函数在的单调区间为（是），求参数角度4：已知函数在区间上不单调，求参数高频考点八：含参问题讨论单调性角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型角度3：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型高频考点九：函数图象与极值（点）的关系高频考点十：求已知函数的极值（点）高频考点十一：根据函数的极值（点）求参数高频考点十二：函数的最值问题高频考点十三：利用导数研究不等式恒成立问题高频考点十四：利用导数研究不等式能成立（有解）高频考点十五：利用导数研究函数的零点问题一、基本概念回归知识回顾1：函数在处的导数（瞬时变化率）函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.知识回顾2：曲线的切线问题1、在型求切线方程已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.第二步：计算切线斜率.第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。根据直线的点斜式方程得到切线方程：.2、过型求切线方程已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.步骤：第一步：设切点第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；第三步：令：，解出，代入求斜率第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.知识回顾3：导数的四则运算法则1、两个函数和的和（或差）的导数法则：.2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则：；.3、由函数的乘积的导数法则可以得出，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即知识回顾4：函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）函数在区间内可导，(1)若，则在区间内是单调递增函数；(2)若，则在区间内是单调递减函数；(3)若恒有，则在区间内是常数函数．知识回顾5：求已知函数（不含参）的单调区间①求的定义域②求③令，解不等式，求单调增区间④令，解不等式，求单调减区间注：求单调区间时，令（或）不跟等号.知识回顾6：由函数的单调性求参数的取值范围的方法1、已知函数在区间上单调①已知在区间上单调递增，恒成立.②已知在区间上单调递减，恒成立.注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.2、已知函数在区间上存在单调区间①已知在区间上存在单调增区间使得有解②已知在区间上存在单调减区间使得有解3、已知函数在区间上不单调，使得有变号零点知识回顾7：极大（小）值1、函数的极值一般地，对于函数，（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.2、函数的最大（小）值一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：（1）求在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.知识回顾8：函数的最值与极值的关系（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.高频考点一：物体运动的平均速度及瞬时速度1．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，其中，则此函数在区间上的平均变化率为__________.2．（2022·上海南汇中学高二期末）若函数在区间上的平均变化率为5，则______．3．（2022·安徽省皖西中学高二期末）某物体做直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式，那么该物体在时的瞬时速度是____________．4．（2022·河南·睢县高级中学高三阶段练习（文））设函数在点处的切线方程为，则（ ）A．4 B．2 C．1 D．5．（2022·上海·复旦附中高三阶段练习）设在处可导，下列式子与相等的是（ ）A． B．C． D．6．（2022·安徽省亳州市第一中学高三阶段练习）已知函数，且，则函数在处的切线方程是___________.高频考点二：导数几何意义的应用角度1：求切线方程（在型）1．（2022·上海市奉贤中学高二期末）函数在点处的切线方程为______.2．（2022·新疆·高三期中（文））函数的图象在点处的切线方程为__________．3．（2022·上海崇明·高二期末）已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数的值等于___________．4．（2022·河北·模拟预测（理））已知函数，则曲线在点处的切线方程为 __．角度2：求切线方程(过型）`1．（2022·河北保定·高三阶段练习）过点且与曲线相切的直线方程为____________________.2．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数满足，则函数在处的切线的斜率为__________.3．（2022·山西·高三阶段练习）过点与曲线相切的切线方程为___________．4．（2022·浙江·高三阶段练习）已知过点有三条直线与曲线相切，则（ ）A． B．C． D．5．（2022·四川·成都金苹果锦城第一中学高三期中（文））过点有条直线与函数的图象相切，则的取值范围为______．6．（2022·山东·新泰市第一中学北校高三期中）已知函数，过点可作3条与曲线相切的直线，则实数t的取值范围是______．7．（2022·江苏·常熟中学高三阶段练习）若过点可以作出3条直线与函数的图象相切，则的取值范围为_________．高频考点三：解析式中含的导数问题1．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高二期末）已知，若，则（ ）A． B． C． D．e2．（2022·江西·金溪一中高三阶段练习（理））记函数的导函数为，且溥足，则＝______．3．（2022·上海市实验学校高三阶段练习）已知函数，则___________.高频考点四：利用相切关系求最小距离1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）若点为曲线上的动点，点为直线上的动点，则的最小值为（ ）A． B． C．1 D．2．（2022·陕西·宝鸡中学高三阶段练习（理））已知函数，直线的方程为，则函数上的任意一点到直线的距离的最小值为_________3．（2022·内蒙古·赤峰二中高三阶段练习（理））若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为___________.高频考点五：求函数的单调区间1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f(x)满足，则f(x)的单调递减区间为（ ）A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞)2．（2022·北京交通大学附属中学高二期中）函数的单调递减区间是（ ）A．， B．C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cos x，则f(x)的单调递增区间为________．高频考点六：函数与导函数图象间的关系1．（2022·上海市奉贤中学高二期末）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的解集是（ ）A． B．C． D．2．（2007·浙江·高考真题（理））设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，下列不可能正确的是（ ）A． B．C． D．3．（2022·山东·宁阳县第四中学高二阶段练习）偶函数为的导函数，的图象如图所示，则函数的图象可能为（ ）A． B．C． D．4．（2022·安徽省临泉第一中学高二阶段练习）定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论不正确的是（ ）A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值高频考点七：已知函数的单调性求参数取值范围：角度1：已知函数在区间上单调，求参数1．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）若函数f(x)＝x2＋ax＋在[，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是（ ）A．[－1，0] B．[－1，＋∞)C．[0，3] D．[3，＋∞)3．（2023·全国·高三专题练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．角度2：已知函数在区间上存在单调区间，求参数1．（2022·四川成都·高二期中（文））已知函数在区间上存在单调增区间，则m的取值范围为（ ）A． B． C． D．2．（2021·福建省泉州市剑影实验学校高三期中）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．3．（2020·全国·高二课时练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )A． B．C． D．角度3：已知函数在的单调区间为（是），求参数1．（2020·湖北·麻城市第二中学高三阶段练习（理））若函数的递减区间为，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．2．（2020·浙江·高三阶段练习）已知函数的单调递增区间是，则（ ）A． B． C． D．3．（2020·全国·高二课时练习（理））已知函数的单调递减区间为，则的值为（ ）A． B． C． D．角度4：已知函数在区间上不单调，求参数1．（2020·江西·奉新县第一中学高三阶段练习（理））若函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．2．（2020·江苏省包场高级中学高二阶段练习）已知函数在内不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D．3．（2020·陕西渭南·高二期末（理））已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．高频考点八：含参问题讨论单调性角度1：导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）1．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）已知函数.(1)讨论函数的单调性；2．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知函数．(1)试判断函数的单调性；3．（2022·上海崇明·高二期末）已知函数．(1)若函数的图象在点处的切线方程为，求实数的值；(2)根据的取值，讨论函数的单调性；角度2：导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型1．（2022·四川·成都金苹果锦城第一中学高三期中（文））已知函数，．(1)讨论函数的单调性；2．（2022·江苏省江浦高级中学高三阶段练习）已知函数).(1)讨论的单调性；3．（2022·四川省合江县中学校高三阶段练习（理））已知函数.(1)若，试讨论在上的单调性；4．（2022·上海市南洋模范中学高三期中）已知函数.(1)若函数在处取得极大值，求a的值；(2)设，试讨论函数的单调性.5．（2022·北京·昌平一中高三阶段练习）已知函数.(1)当时，求函数的极小值；(2)当时，讨论的单调性.角度3：导函数有效部分是二次型且不可因式分解型1．（2022·江西九江·高三阶段练习（文））已知函数.(1)讨论函数的单调性；2．（2022·宁夏六盘山高级中学高三阶段练习（理））已知函数.(1)讨论的单调性；高频考点九：函数图象与极值（点）的关系1．（2022·重庆市育才中学高二阶段练习）已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示．则函数的零点个数不可能为（ ）个．x -1 0 4 51 2 2 1A．2 B．3 C．4 D．52．（2022·全国·高二）已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示．下列关于的命题：x -1 0 4 51 2 2 1①函数在，4处取到极大值； ②函数在区间上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么t的最大值为4；④当时，函数不可能有3个零点．其中所有真命题的序号是（ ）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④3．（2022·全国·高二单元测试）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）A．函数有极大值和极小值B．函数有极大值和极小值C．函数有极大值和极小值D．函数有极大值和极小值4．（2022·全国·高三专题练习）定义在上的函数，其导函数为，且函数的图象如图所示，则（ ）A．有极大值和极小值B．有极大值和极小值C．有极大值和极小值D．有极大值和极小值高频考点十：求已知函数的极值（点）1．（2022·湖南·安仁县第一中学高二阶段练习）已知函数．(1)若，求的极大值；2．（2022·广东·佛山一中高三阶段练习）已知函数．(1)若，求函数在区间上的值域；(2)求函数的极值．3．（2022·青海玉树·高二期末（理））已知．(1)若，求的单调区间与极值；4．（2022·山东菏泽·高三期中）已知函数，．(1)若，求的极值；高频考点十一：根据函数的极值（点）求参数1．（2022·河南·上蔡县衡水实验中学高三阶段练习（文））若函数处有极大值，则常数的值为（ ）A． B． C． D．2．（2022·河南·高三期中（文））已知函数.(1)若有两个极值点，求的取值范围；(2)设分别是的极大值点与极小值点，若，求的取值范围.3．（2022·江西南昌·高三阶段练习（文））已知函数．(1)若在（0，+∞）上存在极值，求a的取值范围；4．（2022·全国·高二专题练习）已知函数，其中.(1)若的极小值为－16，求；高频考点十二：函数的最值问题1．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知函数在上有最小值，则实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．2．（2022·黑龙江·宾县第二中学高三阶段练习）已知在时有极小值．(1)求常数，的值；(2)求在区间上的最值．3．（2022·上海市松江二中高二期末）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若函数在区间上的最大值为12，求实数的值；4．（2022·四川省隆昌市第七中学高三阶段练习（文））已知函数.(1)若，曲线在处的切线过点，求的值；(2)若，求在区间上的最大值.5．（2022·贵州毕节·高三期中（文））已知函数.(1)当时，求的最小值；(2)若在上恒成立，求整数a的最小值.6．（2022·安徽·合肥市第十中学高三阶段练习）已知，.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间上的最小值是，求的值．高频考点十三：利用导数研究不等式恒成立问题1．（2022·广东·惠州市光正实验学校高三阶段练习）已知函数，若对于任意，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．2．（2022·湖北·高三期中）若不等式对任意恒成立，则a的取值范围是_______________.3．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习）已知函数，其中，设为的导函数.(1)若，证明：；(2)若时，恒成立，求的取值范围.4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知函数在点处的切线方程为.(1)求实数，的值；(2)设函数的两个极值点为，且，若恒成立，求满足条件的的最大整数值.5．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高三期中（理））已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若函数恒成立，求实数的取值范围.高频考点十四：利用导数研究不等式能成立（有解）1．（2022·河南省驻马店高级中学模拟预测（理））已知e是自然对数的底数．若，使，则实数m的取值范围为（ ）A． B． C． D．2．（2022·河南·洛阳市第一高级中学高三阶段练习（理））已知函数.若存在实数，使得成立，则正实数的取值范围为（ ）A． B． C． D．3．（2022·福建·厦门外国语学校高三阶段练习）已知函数，其中，若不等式有解，则______4．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知函数(1)若函数f（x）在处取得极值，求m；(2)在（1）的条件下，，使得不等式成立，求a的取值范围.5．（2022·全国·高二期末）已知函数.(1)当时，求的单调区间与极值；(2)若在上有解，求实数a的取值范围.高频考点十五：利用导数研究函数的零点问题1．（2022·江苏南京·模拟预测）已知函数（），且在有两个零点，则的取值范围为（ ）A． B． C． D．2．（2022·青海·海东市教育研究室高二期末（文））已知函数在上有零点，则的最小值是（ ）A． B． C． D．3．（多选）（2022·浙江·慈溪中学高三期中）已知函数，其中，为实数，则下列条件能使函数仅有一个零点的是（ ）A．， B．， C．， D．，4．（2023·广东广州·高三阶段练习）方程有唯一的实数解，实数的取值范围为__________．5．（2022·安徽·合肥市第十中学高三阶段练习）设定义在上的函数满足，且，函数有且只有一个零点，则的取值范围为______6．（2022·河北·模拟预测（理））已知函数．(1)若存在，使得成立，求的取值范围；(2)若函数有三个不同的零点，求的取值范围．7．（2022·江苏盐城·高三期中）已知函数是常数．(1)求函数的图象在点处的切线的方程.并证明函数的图象在直线的下方；(2)讨论函数零点的个数．

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